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1、北京市延庆区2020 届高三 3 月模拟考试试题数学第一部分（选择题，共40 分）一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知复数是正实数，则实数的值为A.B.C.D.2.已知向量若 与 方向相同，则等于A.B.C.D.3.下列函数中最小正周期为的函数是A.B.C.D.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是A.B.C.D.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为,，则它的表面积为A.8 B.12 C.D.20 6.的展开式中，的系数是A.160 B.80 C.50 D.10 7.在平面直角坐标系中，将点绕原点逆
2、时针旋转到点，设直线与 轴正半轴所成的最小正角为，则等于A.B.C.D.8.已知直线，平面，那么“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）A.6年B.7 年C.8 年D.9 年10.已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为A.B.C.D.第二部分（非选择题，共110 分）二、填空题共5 小题，每小题 5 分，共 2
3、5 分。11.已知集合,且则的取值范围是12.经过点且与圆相切的直线的方程是13.已知函数则14.某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19 种商品，第二天售出13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有种；这三天售出的商品至少有种.15.在中，是边的中点.若，则的长等于；若，则的面积等于.三、解答题共6 小题，共85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题14 分）如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.（）求证：是的中点；（）求证：和所成角等于1
4、7.（本小题14 分）已知数列是等差数列，是的前项和，.（）判断是否是数列中的项，并说明理由；（）求的最值.从，中任选一个，补充在上面的问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18.（本小题14 分）三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：班班班（）试估计班的学生人数；（）从这120 名学生中任选1 名学生，估计这名学生一周上网时长超过15 小时的概率；（）从 A班抽出的6 名学生中随机选取2 人，从 B班抽出的7 名学生中随机选取1 人，求这 3 人中恰有2 人一周上网时长超过15 小时的概率.19.（
5、本小题14 分）已知函数其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.20.（本小题15 分）已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.（）求椭圆的标准方程；（）若，求直线的方程；（）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.21.（本小题14 分）在数列中，若且则称为“数列”。设为“数列”，记的前项和为（）若，求的值；（）若，求的值；（）证明：中总有一项为或.一、选择题:（每小题4 分，共 10 小题，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C 2D 3D 4C
6、 5.B 6B 7A 8.C 9.B 10.A 二、填空题:（每小题 5 分，共 5 小题，共25 分）11(,3)；12.3(2)3yx；13 132；1416,29；157,42.10.考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.15.在ACD中，sin2sin 45ACCD，在ABD中，sin1sin3ABBD，相除得：3sin35，所以72sinsin(453)10A，所以1sin422ABCSABACA.三、解答题：（共 6 小题，共85 分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.（）联结AC，设
7、AC与BD交于F，联结EF，1 分因为/PA平面BDE，平面PAC平面BDE=EF,所以/PAEF 4 分因为ABCD是正方形，所以F是AC的中点所以E是PC的中点 6 分（）（法一）因为PO平面ABCD，所以POBC 7 分因为ABCD是正方形，所以BCCD因为PO CD O所以BC平面PDC 10 分所以BCPD因为PDPC因为BC PC C所以PD平面PBC 13 分因为BE平面PBC所以PDBE所以PD与BE成90角.14 分（法二）连接OF，因为PO平面ABCD，所以POCD，POOF.7 分因为ABCD是正方形，所以OFCD.所以,OF OC OP两两垂直.以,OF OC OP分别
8、为x、y、z建立空间直角坐标系Oxyz.8 分则(0,0,2)P，(0,2,0)D，(4,2,0)B，(0,1,1)E，9 分(0,2,2)PD，(3,1,1)BE,10 分0(3)(2)(1)(2)1PD BE（1 分）0 13 分所以所以PD与BE成90角.14 分17.解：选（）因为10816,10aa，所以3d 2 分所以187102111aad 4 分所以1(1)11(1)3naandn314n 6 分令3142024n，则32038n此方程无正整数解所以2024不是数列na中的项.8 分不能只看结果；某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；只有结果，正确给1 分
9、.（）（法一）令0na，即3140n，解得：142433n当5n时，0,na当4n时，0,na 11 分当4n时，nS的最小值为41185226S.13 分nS无最大值 14 分只给出最小值-26，未说明n=4 扣 1 分.nS无最大值 1 分（）（法二）21()325222nnn aaSnn，2514266ba 11 分当4n时，nS的最小值为43251642622S.13 分nS无最大值 14 分选（）10816,8aa，4d 2 分18782820aad 4分1(1)20(1)4naandn424n 6分令4242024n，则42048n解得512n2024是数列na中的第 512 项.
10、8 分（）令0na，即4240n，解得：6n当6n时，0,na当6n时，0,na当6n时，0,na 11 分当5n或6n时，nS的最小值为5620 16 12 8460SS.13 分nS无最大值 14 分选（）10816,20aa，2d 2 分187201434aad 4分1(1)34(1)(2)naandn236n 6 分令2362024n，则994n（舍去）2024不是数列na中的项.8 分（）令0na，即2360n，解得：18n当18n时，0,na当18n时，0,na当18n时，0,na 11 分当17n或18n时，nS的最大值为171818(340)3062SS.13 分nS无最小值.
11、14 分18（本小题满分14 分）解：（）由题意知，抽出的20 名学生中，来自A班的学生有6 名根据分层抽样方法，A班的学生人数估计为61203620 3 分只有结果36 扣 1 分（）设从选出的20 名学生中任选1 人，共有20 种选法，4 分设此人一周上网时长超过15 小时为事件D,其中 D包含的选法有3+2+4=9 种，6 分9()20P D.7 分由此估计从120 名学生中任选1 名，该生一周上网时长超过15 小时的概率为920.8 分只有结果920而无必要的文字说明和运算步骤，扣2 分.（）设从A班抽出的6 名学生中随机选取2 人，其中恰有(12)ii人一周上网超过15 小时为事件i
12、E,从 B 班抽出的 7 名学生中随机选取1 人，此人一周上网超过15 小时为事件F则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C CC C CP E FE FC C.14 分（）另解：从A班的 6 人中随机选2 人，有26C 种选法，从B班的 7 人中随机选1 人，有17C 种选法，故选法总数为：2167157105CC种 10 分设事件“此3 人中恰有2 人一周上网时长超过15 小时”为E，则E中包含以下情况：（1）从 A班选出的2 人超 15 小时，而B班选出的1 人不超 15 小时，（2）从 A班选出的2 人中恰有1 人超 15 小时，而B班选出的1
13、人超 15 小时，11 分所以21111353322167151811()15 735C CC C CP EC C.14 分只有21111353322167151811()15 735C CC C CP EC C，而无文字说明，扣1 分有设或答，有11()35P E，给 3 分19（本小题满分14 分）（）解：222)1()1(2)(1xxxfa时，当.切线的斜率2)0(fk；0)0(f曲线)(xfy在原点处的切线方程为：xy2.5 分（）2222)1(2)12()1(2)(xxaaxxaxf22222222221()(1)(1)axaxaaxxaxx（）（）7 分（1）当时，0a0100)(
14、21axaxxf；则的变化情况如下表：随、xxfxf)()(）上单调递减，）上单调递增，在（在（,11,0)(aaxf 9 分x0（0，a1）a1（，a1）)(xf0)(xf12a递增)1(af递减法 1：2)1()(aafxf的最大值为 10 分,1)0()(0)(2恒成立）时，（存在最小值，则若afxfxxf1112222axaax即：xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立，0212aa.1001,02aaa，13 分所以 a 的取值范围为 1,0(.14 分法 2：2)1()(aafxf的最大值为；10 分当1xa时，22ax，222110axaa，0)(,xfx时；即1,
15、0ax时，22()1,f xaa；)1，ax时，2()0f xa（，01)0()(2afxf存在最小值，则若，所以 a 的取值范围为 1,0(.14 分用趋近说：0)(,xfx时，论述不严谨，扣1 分.（2）当时，0a0100)(21axaxxf；.则的变化情况如下表：随、xxfxf)()(x0（0，a）a（，a）)(xf-0+)(xf12a递减)(af递增）上单调递增，）上单调递减，在（在（,0)(aaxf法 1：1)()(afxf的最小值为.2()0()1,fxxfxa若存在最大值，则，）时，恒成立2222111axaax即：xaaxaax12112222）（在),0(x恒成立，101,0
16、,02122aaaaa，.综上：a 的取值范围是 1,0(1,（.法 2：1)()(afxf的最小值为；当 xa时，222axa，222110axaa，0)(,xfx；（论述不严谨，扣1 分）即0,xa时，1,1)(2axf；)xa，时，)0,1)(xf01)0()(2afxf存在最大值，则若，1.a综上：a 的取值范围是 1,0(1,（.20（本小题满分15 分）解：（）法一：依题意可得222222,211,.cababc解得222.abc，（试根法）所以椭圆的标准方程为22142xy.3 分法二：设椭圆的右焦点为1F，则1|3CF，24,2aa，2c，2b，所以椭圆的标准方程为22142x
17、y.3 分（）因为点Q在第一象限，所以直线l的斜率存在，4 分设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx，设直线l与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x yQ xy由2224ykxxy可得22(12)40kx，5 分易知0，且1212240,12xxx xk，6 分则222212121212()()1()4PQxxyykxxx x7 分222241104431212kkkk，所以2714,22kk(负舍)，所以直线l的方程为142yx.8分用Q到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，设点11(,)Q x y，3,PQ3,2OQ29,4OQ22119,4xy又221124,xy解得
18、：1127,22xy所以直线l的方程为11yyxx，即142yx.（）设(,)mmM xy，00,Q xy，则00,Pxy，易知002x，001y.由2,0A，(0,2)B，所以直线AB的方程为220 xy.9 分若使BOP的面积是BMQ的面积的4 倍，只需使得4OQMQ，10 分法一：即34MQxx.11 分设直线l的方程为ykx，由+220ykxxy得，22(,)1212kMkk12 分由2224ykxxy得，2222(,)1212kQkk，13 分代入可得21418 270kk，即：2779 202kk（约分后求解）解得9 2814k，所以92814yx.15 分法二：所以444(,)3
19、33mmOQOMxy，即44(,)33mmQxy.11 分设直线l的方程为ykx，由220ykxxy得，22(,)1212kMkk12 分所以88(,)33 233 2kQkk，因为点Q在椭圆G上，所以2200142xy，13 分代入可得21418 270kk，即：2779 202kk解得9 2814k，所以9 2814yx.15 分法三：所以00333(,)444OMOQxy，即0033(,)44Mxy.11 分点 M在线段 AB上，所以0033 22044xy，整理得00823xy，12 分因为点Q在椭圆G上，所以2200142xy，把式代入式可得200912 270yy，解得02213y
20、.13 分于是00842233xy，所以，009 2814ykx.所以，所求直线l的方程为9 2814yx.15 分21.解：（）当110a时，na中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,，所以3716nSn.3 分（）若1a 是奇数，则213aa是偶数，213322aaa，由317S，得1113(3)172aaa，解得15a，适合题意.若1a 是偶数，不妨设*12()ak kN，则122aak.若 k 是偶数，则2322aka，由317S，得 2172kkk，此方程无整数解；若 k 是奇数，则33ak，由317S，得 2317kkk，此方程无整数解.综上，15a.8 分（）首先证明：一定存在某个ia，使得6ia成立.否则，对每一个*iN，都有6ia，则在ia 为奇数时，必有232iiiaaa；在ia 为偶数时，有232iiiaaa，或24iiiaaa.因此，若对每一个*iN，都有6ia，则135,aaa单调递减，注意到*naN，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个ia，使得6ia成立.经检验，当2ia，或4ia，或5ia时，na中出现1；当6ia时，na中出现3，综上，na中总有一项为1或3.14 分