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1、.科学技术学院上机报告课程名称数学建模上机项目动物繁殖的规律问题专业班级姓 名学 号一、问题提出谋农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15 岁，将其分为三个年龄组：第一组05岁；第二组6 10 岁；第三组1115 岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4 个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3 个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5 和 0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各有1000 头。（1）编程，计算5 年后、10 年后、15 年后、20 年后各年龄段动物数量，50 年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样
2、？（2）根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有)1(kX1)(kX（1是莱斯利矩阵L的唯一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。（3）如果每五年平均向市场供应动物数cTsss，在20 年后农场动物不至灭绝的前提下，计算c应取多少为好？二、问题分析在初始时刻05 岁、610 岁、1115 岁的三个年龄段动物数量分别为：)0(1x1000，)0(2x1000，)0(3x1000 以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量XTxxx321表示。以五年为一个时间段，记)(kXTkkkxxx)(3)(2)(1为第k个时段动物数分布向量。当k0，1，
3、2，3 时，)(kX分别表示现在、五年后、十年.后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4 个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3 个后代。由此得第一年龄组在第k1 个时间段的数量如下：)1(1kx4)(2kx3)(3kx同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式)1(2kx 0.5)(1kx，)1(3kx0.25)(2kx三、模型假设四、模型建立建立数学模型如下：)1(1kx4)(2kx3)(3kx)1(2kx 0.5)(1kx（k0，1，2，3）)1(3kx 0.25)(2kx改写成矩阵形式)(3)(2
4、)(1)1(3)1(2)1(1025.00005.0340kkkkkkxxxxxx（k0，1，2，3）由此得向量)(kX和)1(kX的递推关系式)1(kXL)(kX其中矩阵.L025.00005.0340称为莱斯利矩阵，进一步有)1(kX1kL(0)X五、模型求解（1）编程，计算5 年后、10 年后、15 年后、20 年后各年龄段动物数量，50 年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？程序为:x0=1000;1000;1000;L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;x1=L*x0%计算 5 年后农场中三个年龄段动物的数量x2=L*x1%计算 10 年后农场中三个年龄段动物的数量x3=L
5、*x2%计算 15 年后农场中三个年龄段动物的数量x4=L*x3%计算 20 年后农场中三个年龄段动物的数量x1=7000 500 250 x2=2750 3500.125 x3=14375 1375 875 x4=1.0e+003*8.125000000000000 7.187500000000000 0.343750000000000 x10=1.0e+005*1.323769531250000 0.666669921875000 0.068061523437500.（2）根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有)1(kX1)(kX（1是莱斯利矩阵L的唯一正特征值）。请检验这一结果
6、是否正确，如果正确给出适当的k的值。eig(L)%计算 Leslie 矩阵的特征值ans=1.5000-1.3090-0.1910 即矩阵 L 的唯一正特征值1.5.程序为:%exam01_17.m x=1000;1000;1000;d1=1.5;L=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;y=L*x;y1=d1*x;k=1;while max(abs(y-y1)0.1 x=y;y=L*x;y1=d1*x;k=k+1;end k%?DDexam01_17.m.:k=285 即当 k=285 时，有结论(1)()1kkXX成立。（3）如果每五年平均向市场供应动物数cTsss，在20 年后农场动物不至灭绝的前提下，计算c应取多少为好？解：如果每个五年平均向市场供应动物c=s s sT，分析动物数分布向量变化规律可知X(1)=AX(0)c.X(2)=AX(1)c X(3)=AX(2)c X(4)=AX(3)c 所以有X(4)=A4X(0)(A3+A2+A+I)c 考虑二十年后动物不灭绝，应有X(4)0 即(A3+A2+A+I)c A4X(0)由于 c 是常数向量，故可简单求解不等式组，可取c=152 152 152 T 这说明当五年平均向市场供应三个年龄段的动物各152 头可以使20 年后有各年龄段的动物生存。