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1、北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定同步练习题一、选择题1下列条件中，能判断四边形是菱形的是(D)A对角线互相垂直且相等的四边形B对角线互相垂直的四边形C对角线相等的平行四边形D对角线互相垂直且平分的四边形2在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3，4)，点 B的坐标是(3，4)，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是(C)A(3，0)B(3，0)C(6，0)D(5，0)3如图，在菱形ABCD 中，A130，连接BD，则 DBC(A)A25B 35C50D654如图，在菱形ABCD 中，点 E，F分别在 AB，CD上，且 AE CF，连接
2、 EF交 BD于点 O，连接 AO.若 DBC 25，则 OAD 的度数为(C)A50B 55C65D755.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为8 和 6，则这个菱形的周长是(A)A20 B 24 C40 D48 6如图，等边ABC沿射线 BC向右平移到DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：ADBC；BD，AC互相平分；四边形ACED 是菱形；ACD DCE，其中正确的个数是(D)A1 B 2 C3 D4 7.如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，AC 4，BD 16，将 ABO沿点 A 到点 C的方向平移，得到ABO.当点 A与点 C重合时，点A与点 B之间的距离
3、为(C)A6 B 8 C10 D12 二、填空题8.如图，菱形ABCD的周长是12，ABC 120，那么这个菱形的对角线BD的长是 39.如图，在菱形ABCD 中，A60，AD 8.P 是 AB边上的一点，E，F 分别是 DP，BP的中点，则线段EF的长为 410.如图，在菱形 OABC 中，点 B在 x 轴上，点 A的坐标为(3，5)，则点 C的坐标为(3，5)11如图，菱形ABCD 的周长为16，C120，E，F分别为 AB，AD的中点，则EF的长为2312.如图，在 ABC中，已知 ACB 90，A30，BC 6，D为斜边 AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当 AD 6
4、时，平行四边形CDEB 为菱形13如图，在?ABCD 中，对角线 AC，BD相交于点O，有以下四个式子：AB BC；AC BD；ACBD；ABC 90，从中任取一个作为条件，即可推出?ABCD 是菱形的概率为1214.若菱形的两条对角线的比为34，且周长为20 cm，则它的面积为24cm2.15.如图，线段AB 10，分别以点A，B为圆心，6 为半径作弧，两弧分别交于点C，D，连接 CD，则 CD的长为 21116.如图，在等边ABC中，BC8 cm，射线 AG BC，点 E 从点 A 出发沿射线AG以 1 cm/s的速度运动，同时点F 从点 B出发沿射线BC以 2 cm/s 的速度运动，设运
5、动时间为t(s)(1)当 t 83或 8s 时，以 A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形；17.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点 O，OC 2 cm，ABO 30，则菱形 ABCD的面积是83_cm218.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O，AC 8，BD 6，OE AD于点 E，交BC于点 F，则 EF的长为245三、解答题19.如图，BD是 ABC的角平分线，过点D作 DE BC交 AB于点 E，DF AB交 BC于点 F.(1)求证：四边形BEDF为菱形；(2)若 A90，C30，BD 6，则菱形BEDF的面积为63证明：DE BC，DFAB，四边形
6、BEDF是平行四边形DE BC，EDB DBF.BD平分 ABC，ABD DBF.ABD EDB.DEBE.四边形 BEDF为菱形20如图，在 ABC中，点 D是 AB边上一点，AC AD，连接 CD.点 O是 CD的中点，连接AO并延长交BC于点 E，连接 ED.过点 D 作 DFBC交 AE于点 F，连接 CF.求证：四边形CEDF是菱形证明：AC AD，点 O是 CD的中点，AO CD.DFBC，FDO ECO.在 FDO和 ECO 中，FDO ECO，DO CO，FOD EOC 90，FDO ECO(ASA)FO OE.又 EF CD，OC OD，21.如图，在 ABC中，AC BC，
7、点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC的中点，连接DE，DF.求证：四边形 DFCE是菱形证明：点D，E，F 分别是 AB，AC，BC的中点，DE CF，DE12BC，DFCE，DF 12AC.四边形 DECF是平行四边形AC BC，DE DF.22.如图，在四边形ABCD中，AD BC，E是 BC的中点，DFBC，垂足为 F，AD 5，BC 12，DF 4，C45，点 P是 BC边上一动点，设PB的长为 x.(1)当 x 的值为 1 或 11 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形；(2)点 P在 BC边上运动的过程中，以P，A，D，E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由解：能
8、，理由如下：当 x11 时，四边形AEPD是平行四边形，此时P在 E的右边，在 RtCFD中，C45，CFDF4.又 CP BC BP 12111，PFCF CP 413，在 RtPFD中，PD PF2DF232425，PD AD 5.四边形 AEPD是菱形23.如图，在?ABCD 中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为 O，分别交 AD，BC于点 E，F，连接 BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形证明：在?ABCD 中，O为对角线 BD的中点，BO DO，ADBC.EDO FBO.在 DOE 和 BOF中，EDO FBO，OD OB，EOD FOB，DOE BOF(ASA)OE OF.又
9、 EF BD，BO DO，四边形BFDE为菱形24.如图，AEBF，AC平分 BAD，交 BF于点 C，BD平分 ABC，交 AE于点 D，连接 CD，求证：四边形ABCD是菱形证明：AE BF，BCA CAD，CBD BDA.AC平分 BAD，BAC CAD BCA.AB BC.BD平分 ABC，ABD CBD BDA.AB AD.AD BC.又 BC AD，四边形 ABCD 是菱形四边形 DFCE是菱形25.如图，在菱形ABCD 中，B60，点 E在边 BC上，点 F 在边 CD上(1)如图 1，若 E是 BC的中点，AEF 60，求证：BE DF；(2)如图 2，若 EAF 60，求证：
10、AEF是等边三角形证明：(1)连接 AC.在菱形 ABCD 中，B60，AB BC CD，BCD 180 B120，ABC是等边三角形E是 BC的中点，AE BC.AEF 60，FEC 90 AEF 30.CFE 180 FEC ECF 180 30 120 30.FEC CFE.ECCF.BE DF.(2)连接 AC.ABC是等边三角形，AB AC，ACB BAC 60.B ACF 60.BAC EAF 60，BAE CAF.在 ABE和 ACF中，B ACF，AB AC，BAE CAF，ABE ACF(ASA)AE AF.EAF 60，AEF是等边三角形26.如图，在 RtABC中，B90
11、，AC 2AB，AD平分 BAC交 BC于 D，过点 A作 AF BC，连接 DF交 AC于 E.若 E是 DF的中点，请你判断四边形ADCF 的形状，并证明解：四边形ADCF 是菱形证明：AF CD，AFE CDE.E是 DF的中点，EFED.在 AFE和 CDE中，AFE CDE，EF ED，AEF CED，AFE CDE(ASA)AE CE.四边形 ADCF是平行四边形AC 2AE，AC 2AB，AB AE.AD平分 BAC，BAD EAD.在 AED和 ABD中，AE AB，EAD BAD，AD AD，AED ABD(SAS)AED B90，即 DFAC.四边形 ADCF是菱形27.如
12、图，在菱形ABCD 中，A60，H是对角线BD上任意一点(1)如图 1，当 H是线段 BD的中点，且AB 6 时，求 DBC的面积；(2)如图 2，当点 H 不是线段BD的中点时，I 是线段 CB延长线上一点，且DH BI，连接 CH，HI.求证：CH HI.解：(1)四边形 ABCD是菱形，BCD A60，BC DC AB 6.BCD是等边三角形BD BC 6.H是线段 BD的中点，BH 12BD 3，CH BD.CH BC2 BH233.SDBC12BD CH 93.(2)证明：过点H作 GH BC，交 CD于点 G.BCD是等边三角形，DHG DBC 60，DGH DCB 60，CD B
13、D.DGH 是等边三角形DH DG GH.CG HB，CGH HBI.DH BI，GH BI.在 CGH 和 HBI 中CG HB，CGH HBI，GH BI，CGH HBI(SAS)CH HI.28.如图，在?ABCD中，AE BC，AFCD，垂足分别为E，F，且 BE DF.(1)求证：?ABCD 是菱形；(2)若 AB 5，AC 6，求?ABCD的面积解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABC ADC.AE BC，AFCD，AEB AFD 90.又 BE DF，AEB AFD(ASA)AB AD.?ABCD 是菱形(2)连接 BD交 AC于点 O.四边形 ABCD 是菱形，AC
14、6，AC BD，AO CO 12AC 12 63.BO AB2 AO252324.BD 2BO 8.S?ABCD12AC BD 24.29.如图 1，在?ABCD中，E，F 分别为 CD，BC上两点，AF平分 BAE，EAD FEC.(1)求证：AB AE；(2)如图 2，若 B 90，AF与 DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE 为菱形；(3)在(2)的条件下，若DH 16，AD 8，则 AF的长为 55证明：(1)AEC AEF FEC EAD D，EAD FEC，AEF D.四边形 ABCD 是平行四边形，B D.B AEF.AF平分 BAE，BAF EAF.在 ABF和 AEF中
15、，B AEF，BAF EAF，AFAF，ABF AEF(AAS)AB AE.(2)四边形ABCD 是平行四边形，AB CD.BAF EHA.BAF EAF，EHA EAF.AE HE.AB AE，AB EH.又 AB EH，四边形ABHE为菱形30.如图，在?ABCD中，CE平分 BCD，交 AB边于点E，EF BC，交 CD于点 F，点 G是 BC边的中点，连接GF，且 1 2，CE与 GF交于点 M，过点 M作 MH CD于点 H.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若 CH 1，求 BC的长；(3)求证：EM FG MH.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB CD.1 E
16、CF.EFBC，四边形BCFE是平行四边形CE平分 BCD，BCE ECF.BCE 1.BC BE.四边形 BCFE是菱形(2)1 ECF，1 2，ECF 2.CM FM.MH CD，CF 2CH 212.四边形 BCFE是菱形，BC CF 2.(3)证明：连接BF，交 CE于点 O.点 G是 BC的中点，CG 12CB.CH 12CF，CG CH.在 CGM 和 CHM 中，CM CM，GCM HCM，CG CH，CGM CHM(SAS)CGM CHM 90，即 FG BC.CFBF.BC CF，BC CFBF.BCF是等边三角形BFC 60.2 BFG 30.BFCE，OM MH.12BC
17、 FG 12BFOC，OE OC FG.EM OE OM FG MH.31.如图，在菱形ABCD 中，过点D作 DE AB于点 E，作 DFBC于点 F，连接 EF.(1)求证：ADE CDF；(2)若 A60，AD 4，求 EDF的周长解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，AD CD，A C.DE BA，DFCB，AED CFD 90.在 ADE和 CDF中，A C，AED CFD，AD CD，ADE CDF(AAS)(2)ADE CDF，DE DF，ADE CDF.A 60，ADC 120，ADE CDF 30.EDF 60.DEF是等边三角形在 RtAED中，AD 4，A60，AE 2.
18、DE23.EDF的周长为3DE 63.32某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与三角板AFE按如图 1 所示放置，现将三角板AEF绕点 A 按逆时针方向旋转(090)，如图 2，AE与 BC交于点 M，AC与 EF交于点 N，BC与 EF交于点 P.(1)求证：AM AN；(2)当旋转角30时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由解：(1)证明：EAC 90，NAF EAC 90，NAF.又 B F，AB AF，ABM AFN(ASA)AM AN.(2)当旋转角30时，四边形ABPF是菱形理由：30，EAF 90，BAF 120.又 B F60，B BAF 60 120 180，F BAF 60 120 180.AFBC，ABEF.四边形 ABPF是平行四边形又 AB AF，四边形 ABPF是菱形