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1、第 1 页 共 19 页2020 届北京市海淀区高三一模数学试题一、单选题1在复平面内,复数(2)ii对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【解析】试题分析：21 2iii，对应的点为()1,2，在第一象限【考点】复数运算2已知集合|03Axx，1AB=I，则集合B可以是（）A1，2 B1，3 C0，1，2 D1，2，3 【答案】B【解析】集合A，B是数集，|03Axx,1AB=I,B集合中一定没有元素2，由选项可得.【详解】1AB=I，则集合B中一定有元素1，又|03Axx,B集合中一定没有元素2B可以是1 3，故选：B.【点睛】本题考查集合交集运算.交集运算口诀
2、：“越交越少，公共部分”.3已知双曲线2221(0)yxbb的离心率为5,则 b 的值为（）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】由题知21a，5cea及222+cab=联解可得.【详解】由题知21a，5cea，222222+5cabeaa=，第 2 页 共 19 页2b.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程.求双曲线方程的思路:(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于abc，的方程组，解出22ab，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置
3、不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为221(0)mxnymn求解4已知实数a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）Abaca-+B2cabCccbaDb ca c-Q，不成立.对于 B，2(3)(2)(1)-Q，不成立.对于 C，3231Q，不成立.对于 D，(3)1(3)2-?-?，因此成立.故选：D【点睛】利用不等式性质比较大小要注意不等式性质成立的前提条件解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法5在61(2)xx的展开式中，常数项为（）A120B120 C160D160【答案】C 第 3 页
4、 共 19 页【解析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.【详解】61(2)xx展开式的通项2616(1)2kkkkkTC x-+=-，令260,3kk-=常数项3333 16(1)2=160TC+=-故选：C【点睛】本题考查二项定理.二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数可依据条件写出第1k项，再由特定项的特点求出k值即可(2)已知展开式的某项或其系数求参数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k项，由特定项得出k值，最后求出其参数6如图，半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点A，圆 M 沿着直线l 滚动.当圆 M 滚动到圆M时，圆M与直线l相切于点B，点
5、A 运动到点A，线段 AB 的长度为3,2则点M到直线BA的距离为（）A1 B32C22D12【答案】C【解析】线段 AB 的长度为3,2即圆滚动了34圈，此时A到达A，90BM A?，则点M到直线BA的距离可求.【详解】线段 AB 的长度为3,2设圆滚动了x圈，则332,24xxpp?=即圆滚动了34圈，此时A到达A，90BM A?o，则点M到直线BA的距离为2sin452r 窗=.故选：C【点睛】第 4 页 共 19 页本题考查圆的渐开线变式运用.圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.7已知函数f(x)=|x-m|与函
6、数 g(x)的图象关于y 轴对称.若 g(x)在区间(1，2)内单调递减，则 m 的取值范围为（）A-1，+)B(-，-1 C-2，+)D(-，-2【答案】D【解析】函数()f x 与()g x的图象关于y轴对称,得到()=()g xfxxm-=+，再利用绝对值函数性质列出不等式求解.【详解】函数()f xxm与函数()g x的图象关于y轴对称,()=()g xfxxm-=+，()g x在区间(12)，内单调递减，则22mm-砛?，故选：D【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题
7、意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.8某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（）第 5 页 共 19 页A5B2 2C2 3D13【答案】C【解析】四棱锥底面是直角梯形，EA底面ABCD,可知最长棱是EC,在直角三角形EAC中利用勾股定理可解.【详解】由三视图知，四棱锥底面是直角梯形，EA底面ABCD,2EAABBC=,最长棱是 EC，在Rt ABC中，222ACABBC，在Rt EACD中，222ECEAAC=+，222212ECEAABBC=+=，2 3EC.故选：D【点睛】由几何体三视图还原其直观图时应注意的问题.要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原
8、为直观图9若数列na满足12,a则“*,p rprp raa aN”是“na为等比数列”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】*,p rprp raa aN,不妨设1r，则11ppaa a，12ppaa，可证充分性；第 6 页 共 19 页na为等比数列且2q 1时得不到p rpraa a，可知必要性不成立【详解】不妨设1r，则11ppaa a，12ppaa，12ppaa+=na为等比数列；故充分性成立反之若na为等比数列，不妨设公比为q，111=2p rrprpqaa q，22214p rp rpra aa qq+-+-=当2q 1时
9、prpraa a，所以必要性不成立故选：A【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1 时的情况进行验证10 形如221n(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.nF数学家费马根据0123,FFFF4F都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F不是质数，那5F的位数是（）(参考数据:lg2 0.3010)A9 B10 C11 D12【答案】B【解析】32521F=+,设322m=,两边取常用对数估算m的位数即可.【详解】32
10、521F=+Q,设322m=，则两边取常用对数得32lglg 232lg 2320.30109.632m=?.9.63291010m=?，故5F的位数是10，故选：B【点睛】解决对数运算问题的常用方法：第 7 页 共 19 页(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的lg 2lg51简化计算.二、填空题11已知点 P(1，2)在抛物线C2:2ypx 上，则抛物线C 的准线方程为_.【答案】1x【解析】(12)P，代入抛物线方程，求出2p，可求准线方程.
11、【详解】(1 2)P，在抛物线C2:2ypx 上，24,2pp，准线方程为12px，故答案为：1x.【点睛】本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性12在等差数列na中，1253,16aaa，则数列na的前 4 项的和为 _.【答案】24【解析】利用等差数列基本量关系求通项.利用等差数列前n项和公式求出nS.【详解】设等差数列的公差为d.Q2516aa，11146daad，13a，2d，1(1)3(1)22+1naandnn=+-=+-?，（2）1444()4(39)=2422a
12、aS+=.故答案为：24第 8 页 共 19 页【点睛】本题考查解决等差数列通项公式及前n项和nS.（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式1(1)naand和前n项和公式11()(1)22nnn aan ndSna+-=+，在两个公式中共涉及五个量：1nnadnaS，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量13已知非零向量abr r，满足aab=-rrr，则1()2abbrrr=_.【答案】0【解析】aab=-rrr两边平方求出2|2ba brr r；化简1()2abbrrr可求解.【详解】由aab=-rrr两边平方，得22
13、2|+|2aaba brrrrr，2|2ba brrr，211()=022abba bba ba brrrrrrrrrr，故答案为：0【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量ar是以坐标形式出现的，求向量ar的模可直接利用公式22+axyr.(2)若向量abr r，是以非坐标形式出现的，求向量ar的模可应用公式22?aaa arrrr 或2222|)2?(ababaa bb北?rrrrrrrr，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解14如图，在等边三角形ABC 中，AB=6.动点 P 从点 A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记 P 运动的路程为
14、x，点 P 到此三角形中心O 距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：第 9 页 共 19 页 函数 f(x)的最大值为12；函数 f(x)的图象的对称轴方程为x=9；关于 x 的方程3fxkx最多有 5 个实数根.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】写出P分别在,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f xOP，利用分段函数图象可解.【详解】P分别在AB上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f xOPxx，P分别在BC上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f xOPxx，P分别在CA上运动时的函数解析式22()3(12),(1218)f xOPxx，2222
15、3(3),(06)()|3(9),(612)3(12),(1218)xxf xOPxxxx，由图象知：正确的是.故答案为：【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.三、双空题15 在ABC 中，43,4ABB，点 D 在边 BC 上，2,3ADCCD=2，则 AD=_；ACD 的面积为 _.【答案】4 22 6第 10 页 共 19 页【解析】在ABD中用正弦定理求解AD，在ACDV用面积公式可得.【详解】2,3ADCQ,3ADB在ABD
16、中由正弦定理得：sinBsinADABADB，4 3sinsinB442sinsin3ABADADB.在ACDV中，113sin422 62222ACDSADDCCDAV，故答案为：4 2;2 6.【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果四、解答题16 如图，在三棱柱111ABCA B C中，AB平面1111,22,3BBC C ABBBBCBC，点 E 为11A C的中点.(I)求证：1C B平面 ABC；(II)求二面角ABC
17、E的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】(I)证1BCC B，在同一平面内用“数据说话”，证1ABC B用线面垂直的性质；第 11 页 共 19 页(II)以B为原点，建立空间直角坐标系，求出(1,0,0),BC=uu u r1(,3,1),2BE=-uu u r求出平面BEC求出的法向量，利用空间向量夹角公式可得.【详解】(I)ABQ平面11,BB C C1C B平面11CBB C，1ABC B，在1CBC中，1112,1,3CCBBBCBC，22211BCBCCC，1BCC B，ABBCB，1C B平面 ABC；(II)由(I)知11ABC BABCBBCC B，,则建立空间直
18、角坐标系Bxyz，则1(0,0,0),(,3,1),(1,0,0)2BEC-，1(1,0,0),(,3,1),2BCBE=-uuu ru uu r设平面BEC的法向量为(,)nx y zr，故00n BCn BEuuu vvuuu vv，01302xxyz.令3y，0,3,3xyz=-，(0,3,3)nr=-，又平面BAC的法向量为(0,1,0)mu r，1cos,2m nm nm n=u r ru r rgu r r.由题知二面角ABCE为锐二面角，所以二面角ABCE的大小为3.【点睛】第 12 页 共 19 页本题考查线面垂直判定及利用空间向量计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别
19、求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小17已知函数212()2cossinf xxx.(I)求 f(0)的值；(II)从121,2；121,1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数 f(x)在,2 6上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.【答案】(I)0；(II)121,2时min()21f x，T；121,1时min()1f x，2T.【解析】(I)将0 x代入求值即可；(II)用二倍角和辅助角公式化简可得()2 sin(2+)+14f xx，再由,26x可得372,4412x，结合正弦函
20、数图象求解最值；121,1，222cossin2sinsin2fxxxxx利用抛物线知识求解【详解】(I)2(0)2cos 0sin02f；(II)121,2，由题意得2()2cossin 2cos2sin 212 sin(2+)+14fxxxxxx，T，,2 6xQ，372,4412x，故2sin 2124x，所以当2x时，fx取最小值1.121,1，22()2cossin2sinsin2fxxxxx，,2 6xQ，令sinxt，21 1,()222tf ttt，当1t时，函数取得最小值为(1)1f.第 13 页 共 19 页2()2cossinf xxxQ，22(+2)2cos(+2)si
21、n(+2)2cossinf xxxxx，2T【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()Axkwj+或cos()Axkwj+的形式；（2）根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值.18科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障，下图是某公司从2010 年到 2019年这 10 年研发投入的数据分布图:其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值(单位
22、:十亿元).(I)从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；(II)从 2010 年至 2019 年中随机选取两个年份，设X 表示其中研发投入超过500 亿元的年份的个数，求X 的分布列和数学期望；(III)根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由.【答案】(I)910；(II)1E X,分布列如下：第 14 页 共 19 页X0 1 2 P X295929(III)2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有 9 年，每年基本上都在增加，因此公司在发展
23、的过程中重视研发.【解析】(I)折线图中2010 年到 2019 年共 10 年中，2010 年公司研发投入占当年总营收的百分比在10%以下(II)2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入超过500 亿元的有5 年，X的取值可能为0，1，2，超几何分布求概率.(III)图中信息10 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有 9 年，每年基本上都在增加,判断公司在发展的过程中比较重视研发.【详解】(I)由题知，2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有 9年，设从 2010 年至 2019 年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的
24、百分比超过 10%为事件A,9()10P A.(II)由题意得X的取值可能为0，1，2 25210209CP XC,1155210519CPCXC,25210229CP XC.X的分布列为X0 1 2 P X2959292520121999E X.（III）2010 年到 2019 年共 10 年中，研发投入占当年总营收的百分比超过10%有 9 年，第 15 页 共 19 页每年基本上都在增加，因此公司在发展的过程中重视研发.【点睛】超几何分布的特征.(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布求离散型随机变量分布列的步骤.19已知函
25、数()xf xeax.(I)当 a=-1 时，求曲线 y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；求函数 f(x)的最小值；(II)求证:当2,0a时，曲线yfx与1ylnx 有且只有一个交点.【答案】（1）切线方程1y；min()1f x；（2）证明见解析【解析】(I)函数求导()1xfxe，求出(0)kf得切线方程；解0fx求单增区间，解0fx求单减区间；利用单调性求最值；(II)构造ln10 xg xeaxxx得到函数调调性，由零点存在性定理证有且只有一个零点.【详解】(I)当1a时，函数()xf xex，0(0)=1fe，()1xfxe，即0(0)1=0fe，曲线()yf x在点(0)
26、0f，处的切线方程为1y.令()10 xfxe，得0 x，令()10 xfxe，得0 x，所以()f x 在(0,+)上单增，在(,0)单减,函数()f x 的最小值为min()(0)1f xf.(II)当2,0a时，曲线yfx与1lnyx有且只有一个交点.等价于ln10 xg xeaxxx有且只有一个零点.10 xgxea xx，第 16 页 共 19 页当0,1x时，11,1xex，2,0aQ，则10 xgxeax，当1,x时，12,0 xeex，2,0aQ，则10 xgxeax，g x在0,上单增，又1121()220eageeeeQ，220eg eeaeee，由零点存在性定理得g x有
27、唯一零点，即曲线yfx与1lnyx有且只有一个交点.【点睛】判断函数零点个数及分布区间的方法：（1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上；（2）定理法：利用零点存在性定理进行判断；（3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.20已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为123,(,0),(,0),(0,)2AaA aBb，12A BA的面积为2.(I)求椭圆 C 的方程；(II)设 M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B与直线2A M交于点 P
28、，直线1A M与直线2A B交于点 Q.求证:BPQ 为等腰三角形.【答案】(I)2214xy；(II)证明见解析【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合,a b c的关系，解方程可得2,1ab，从而得到椭圆方程(II)设,M m n，直线2A M的直线方程为22nyxm直线1A B的直线方程为第 17 页 共 19 页112yx，联解求出P点坐标，同理求出Q坐标，22225(1)4pppBPxyx,22225(1)4QQQBQxyx，只需证明22=PQxx,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得222321222caabbca，解得2,1,3abc，故椭圆的方程为2214xy
29、.(II)由题意得122,0,2,0,0,1AAB,设点,M m n，则有2244mn，又直线2A M的直线方程为22nyxm，直线1A B的直线方程为112yx，22112nyxmyx，解得24422422mnxnmnynm，P点的坐标为2444,2222mnnnmnm.又直线1A M的直线方程为22nyxm，直线2A B的直线方程为112yx.22112nyxmyx，解得24422422mnxnmnynm，Q 点的坐标为2444,2222mnnnmnm.22225(1)4pppBPxyx，22225(1)4QQQBQxyx.2222244244()()2222PQmnmnxxnmnm222
30、22242222422222222mnnmmnnmnmnm222264(44)02222mn mnnmnm，22=BPBQ，BPBQ，BPQ 为等腰三角形.第 18 页 共 19 页【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21 已知数列na是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*kN，使得212nnnaaka任意的*nN成立，则称数列na具有性质()k.（1）分别判断下列数列na是否具有性质(2)；(直接写出结论)1na2,nna（2）若数列na满足
31、1(1,2,3,)nnaanL，求证:“数列na具有性质(2)”是“数列na为常数列”的充分必要条件；（3）已知数列na中11,a且1(1,2,3,)nnaanL.若数列na具有性质(4)，求数列na的通项公式.【答案】（1）1na时，数列na具有性质(2)；2nna时，数列na不具有性质(2).（2）证明见解析（3）21nan.【解析】（1）代入验证即可得.（2）充分性:由212+2nnnaaa及数列na具有性质(2)可得212=2nnnaaa；必要性：数列na为常数列，所以1naa可证2122nnnaaa.（3）数列na具有性质(4)，求出2=3a，由3424=12aaa，34a对34,a
32、a取值进行证明排除，得到1234=13=5=7aaaa，,，猜想21nan，用反证法证明猜想成立.【详解】（1）1na时，数列na具有性质(2).2nna时，数列na不具有性质(2).（2）1(1,2,3,)nnaanQL，2122+nnnaaa，等号成立，当且仅当212=2nnnaaa，第 19 页 共 19 页因为数列na具有性质(2)，即2122nnnaaa，所以数列na为常数列.必要性：因为数列na为常数列，所以1naa，2122nnnaaa成立，即数列na具有性质(2).（3）11,a数列na具有性质(4)，1221=34aaaa，3424=12aaa，34a.若34=4=8aa,，
33、1nnaaQ569+10=19aa563=164aaaQ矛盾；若36a,则46a矛盾.所以1234=13=5=7aaaa，,，所以猜想21nan.证明如下：假设命题不成立，设212min|4341iiriNaiai或（3r），考虑数列nb，当24=4(2)nnrbar时具有性质(4)，此时1234=13=5=7bbbb，,，即21=43rar或2=41rar，矛盾，21nan.【点睛】数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理