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1、2020 年高考数学（理）一轮复习讲练测专题 2.9 函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)y xn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随 n 值变化而各有不同知识点二种常见的函数模型函数模型
2、函数解析式一次函数模型f(x)axb(a、b 为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2 bxc(a，b，c 为常数，a0)与指数函数相关模型f(x)bax c(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0)与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b 0)与幂函数相关模型f(x)axn b(a，b，n 为常数，a0)【特别提醒】1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变
3、量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.考点一利用函数模型解决实际问题【典例 1】【2019 年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为_【答案】130；15【解析
4、】10 x时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付608010130元.设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，当120y元时，李明得到的金额为80%y，符合要求；当120y元时，有80%70%yxy恒成立，即87,8yyxy x，因为min158y，所以x的最大值为 15.综上，130；15.【方法技巧】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数(3)利用该模型求解实际问题【变式 1】（2019 河北衡水中学调研）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元.该建筑物
5、每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x 10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和.(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.【解析】(1)当 x0 时，C8，k40，C(x)403x5(0 x 10)，f(x)6x20 403x56x8003x 5(0 x 10).(2)由(1)得 f(x)2(3x5)8003x510.令 3x 5t，t5，35，则 y2t800t1022t800t1070(当且仅当2
6、t800t，即 t 20 时等号成立)，此时 x5，因此 f(x)的最小值为70.隔热层修建5 cm 厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70 万元.考点二构建一、二次函数模型解决实际问题【典例 2】（2019 山西康杰中学模拟）某企业为打入国际市场，决定从A，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品20m 10200 B 产品40818120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原料价格决定，预计 m6,8，另外，年销售x 件 B
7、产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B 两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划【解析】(1)由题意得y110 x1(20 mx1)(10m)x120(0 x1 200 且 x1N)，y218x2(408x2)0.05x22 0.05x2210 x240 0.05(x2 100)2460(0 x2 120 且 x2N)(2)6 m8，10m0，y1(10m)x120 为增函数又 0 x1 200，x1N，当 x1200 时，生产
8、A 产品的最大利润为(10m)200201 980200m(万美元)y2 0.05(x2 100)2460(0 x2 120，且 x2N)，当 x2100 时，生产 B 产品的最大利润为460 万美元(y1)max(y2)max(1 980200m)4601 520200m.易知当 6 m7.6 时，(y1)max(y2)max.即当 6 m 7.6 时，投资生产A 产品 200 件可获得最大年利润；当 m7.6 时，投资生产A 产品 200 件或投资生产B 产品 100 件，均可获得最大年利润；当 7.6m8 时，投资生产B 产品 100 件可获得最大年利润【方法突破】(1)二次函数的最值一
9、般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题【变式 2】（2019 河北唐山一中模拟）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20时，v 是 x 的一次函数，当x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年.(1)当 0
10、 x 20 时，求函数v 关于 x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.【解析】(1)由题意得当0 x4时，v2，当 4x20时，设 vax b(a0)，显然 vaxb 在(4，20内是减函数，由已知得20ab 0，4ab2，解得a18，b52，所以 v18x52.故函数 v2，0 x4，18x52，4x20.(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得 f(x)2x，0 x4，18x252x，4x 20.当 0 x4时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)4 28；当 4x20时，f(x)18x252
11、x18(x220 x)18(x10)2252，f(x)max f(10)12.5.所以当 0 x20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5 千克/立方米.考点三构建指数函数、对数函数模型解决实际问题【典例 3】（2019 长春外国语学校模拟）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718 为自然对数的底数，k，b 为常数)若该食品在0 的保鲜时间是 192 小时，在22 的保鲜时间是48 小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16 小时B20 小时C24 小时D28 小时【答案】
12、C【解析】由已知得192eb，48e22kbe22k eb，将代入得e22k14，则 e11k12，当 x33 时，ye33kbe33k eb123 192 24，所以该食品在33 的保鲜时间是24 小时故选 C.【方法技巧】(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题【变式 3】（2019 江苏省丹阳高级中学模拟）一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积
13、的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1)，则 a(1x)1012a，即(1x)1012，解得 x112110.故每年砍伐面积的百分比为112110.(2)设经过 m 年剩余面积为原来的22，则 a(1x)m22a，把 x112110代入，即12m101212，即m1012，解得 m 5.故到今年为止，该森林已砍伐了5 年.考点四构建分段函数模型解决实际问题【典例 4】（2019 西安市第一中学模
14、拟）某景区提供自行车出租，该景区有50 辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115 元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)(1)求函数 y f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解析】(1)当 x6 时，y50 x115，令 50 x1150，解得 x2
15、.3，x 为整数，3 x6，xZ.当 x6 时，y503(x6)x115 3x268x115.令 3x268x 1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得6 x20，x Z.f(x)50 x1153 x6，x Z，3x268x1156x20，xZ.(2)对于 y50 x115(3 x6，xZ)，显然当 x6 时，ymax185；对于 y 3x268x115 3 x34328113(6x 20，xZ)，当 x11 时，ymax 270.270185，当每辆自行车的日租金定为11 元时，才能使一日的净收入最多【方法突破】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个
16、不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.【变式 4】（2019 昆明第三中学模拟）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p(x)1600 x2 x150万元(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)815m（
17、60m），1 m 30，480，m30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解析】(1)由总成本p(x)1600 x2x 150 万元，可得每台机器人的平均成本ypxx1600 x2x150 x1600 x150 x121600 x150 x12.当且仅当1600 x150 x，即 x300 时，上式等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买300 台(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)815m（60m），1 m 30，480，m30当 1 m30时，300 台机器人的日平均分拣量为160m(60m)160m29 600m，当 m30 时，日平均分拣量有最大值144 000 件当 m 30 时，日平均分拣量为480 300144 000(件)300 台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000 件若传统人工分拣144 000 件，则需要人数为144 0001 200 120(人)日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少12030120 100%75%.