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1、四川省成都石室中学2019 届高三第二次模拟考试试题数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1 B.-1 C.D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合 Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,则，即 zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cossin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】，平方得，2coss
2、in，为第二象限角，故选：B【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某 7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8 个数的平均数为，方差为，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选 C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解
3、析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果【详解】由可得，解得选项 A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项 B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项 C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项 D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意故选 B【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题5.设等比数列的前项和为，公比为.若，则（）A.
4、3 B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可得等比数列an的公比q 1，进而由等比数列的前n 项和公式可得q2，从而可得a1值.【详解】等比数列an 中，若S69S3，则q 1，若S69S3，则，解可得q38，则q2，又由S562，则有S5 31a162，解得a12；故选：D【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题6.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A.2 种B.10 种C.12 种D.14 种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中
5、周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为，得 2，即f（x）sin（2x+）再根据函数yAsin（x+）的图象变换规律可得结论【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为，即，得 2，即f（x）sin（2x+）函数sin（+2x+）sin2（x+）+，把f（x）sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得函数g（x）的图象，
6、故选：B【点睛】本题考查函数yAsin（x+）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线 上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A.3 B.C.2 D.-3【答案】A【解析】动直线 与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，是线段的中点，设，解得，故选 A9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，则球体积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB?BC6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得
7、ABC的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案【详解】因为PA平面ABC，三棱锥PABC的体积为，得，另一方面，可得AB?BC6，由余弦定理得AB2+BC2AB?BC2AB?BCAB?BCAB?BC6，当且仅当时，等号成立，则AC，所以，ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为故选：B【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A.B.C.D.【答案】C【解
8、析】在中，设,右焦点 E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选 C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。11.已知平面向量，满足，则的最大值为（）A.-1 B.-2 C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意不妨设（1，0），（2，m），（1，n），利用求出的解析式，再由基本不等式求出最大值【详解】由,不妨设（1，0），又，可设（2，m），（1，n），则（1，m+n），又，1+（m+n）24，（m+n）23；2+mn 2+2+，当且仅当mn时取“”；的最大值为故选：D【点睛】本题考查平面向量的数量积运算与基本不等式的应
9、用问题，是综合题12.已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数使得，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令f（x）g（x）2x+e2x a1n（2x+2）+4ea2x，用导数求出y2xln（2x+2）的最小值；运用基本不等式得e2xa+4ea2x4，从而可证明f（x）g（x）3，由等号成立的条件，从而解得a【详解】令f（x）g（x）2x+e2xa1n（2x+2）+4ea2x，令y2xln（2x+2），y 2，故y2xln（2x+2）在（1，）上是减函数，（，+）上是增函数，故当x时，y有最小值 10 1，而e2xa+4ea2x 4（当且仅当e2xa4ea2x，即x（a+
10、ln2）时，等号成立）；故f（x）g（x）3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x（a+ln2），即a 1ln2故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率先由计算器给出0 到 9 之间取整数的随机数，指定0，1，2，3 表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，以4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了20 组如下的随机数：7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 141
11、7 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4 次至少击中3 次的概率为 _【答案】【解析】由 随 机 数 表 可 知,共 有20个 随 机 事 件,其 中 该 运 动 员 射 击4次 至 少 击 中3次有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有 7 个随机事件,因此估计该运动员射击4 次至少击中3 次的概率为.故答案为14.在的展开式中，常数项为_【答案】【解析】由二项展开式的通项公式得：，显然时可能有常数项，当时，有常数项，当，的展开式中含，故常数项为，当，
12、常数项为1，所以展开式中的常数项15.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2 的等边三角形，俯视图是半圆.现有一只蚂蚁从点出发沿该几何体的侧面环绕一周回到点，则蚂蚁所经过路程的最小值为_【答案】【解析】分析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，侧面展开图的半径为2，弧长为，再根据一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，利用余弦定理求出蚂蚁所经过路程的最小值【详解】由题目所给三视图可知该几何体为圆锥的一半，展开图如图所示，依题意，蚂蚁经过的路程的最小值为线段AM的长度，因为PA=PB=2,侧面展开图的半径为2，弧长为，圆心角为，因为,所以,在中，根据余弦定理知蚂蚁所
13、经过路程的最小值为故答案为：【点睛】本题考查蚂蚁所经过路程的最小值，考查立体图形转为平面图形以及余弦定理的应用，考查学生的计算能力16.四边形中，则的最大值为 _【答案】【解析】【分析】设ABC，ACB，在ABC中，由余弦定理得AC2,由正弦定理得sin,在BCD中，由余弦定理得BD2然后由正弦函数图像的性质可得最大值.【详解】设ABC，ACB，则在ABC中，由余弦定理得AC2 106cos由正弦定理得，即 sin,，CD=在BCD中，由余弦定理得：BD2BC2+CD2 2BC?CD?cos（900+），即DB29+23-2cos+2sin +4sin（）当 时，对角线BD最大，最大值为，则的
14、最大值为,故答案为：【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的应用，考查正弦函数的性质，属于中档题.三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分17.在斜三角形中，.（）求的值；（）若，求的周长.【答案】()；().【解析】【分析】（）利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值即可得C值（）在中，利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得ABC的周长【详解】（），即，又在斜三角形中，所以，即，亦即，因为，所以.（）在中，则，由正弦定理，得，故，
15、.所以的周长为.【点睛】本题考查两角和差的正切、正弦公式，诱导公式，正弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题18.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，箱内有一个“”号球、两个“”号球、三个“”号球、四个无号球，箱内有五个“”号球、五个“”号球，每次摸奖后放回，消费额满元有一次箱内摸奖机会，消费额满元有一次箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“”号球奖元、“”号球奖元、“”号球奖元，摸得无号球则没有奖金.（）经统计，消费额服从正态分布，某天有为顾客，请估计消费额（单位：元）在区间内并中奖的人数；（）某三位顾客各有一次箱内摸奖机会，求其中中奖人数的分布列；（）某顾客消费额为元，有两种摸奖方法，方法一
16、：三次箱内摸奖机会；方法二：一次箱内摸奖机会，请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.附：若，则【答案】()286;()答案见解析；()这位顾客选方法二所得的期望值较大.【解析】试题分析：（）依题意得=150，2=625，得=25，100=2，消费额X在区间（100，150 内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，人数约为1000P（2X），可得其中中奖的人数（）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数 服从二项分布B（3，0.6），（k=0，1，2，3），即可得出（）利用数学期望的计算公式即可得出试题解析：（）依题意得，得，消费额在区间内的顾客有一次箱内摸奖机
17、会，中奖率为，人数约为人，其中中奖的人数约为人，（）三位顾客每人一次箱内摸奖中奖率都为，三人中中奖人数服从二项分布故 的分布列为（）箱摸一次所得奖金的期望值为，想摸一次所得奖金的期望值为，方法一所得奖金的期望值为，方法二所得奖金的期望值为，所以这位顾客选方法二所得的期望值较大.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
18、第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.19.如图，四边形中，分别在，上，现将四边形沿折起，使平面平面.（）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（）在存在一点，且，使平面.（）.【解析】试题分析：（
19、）折叠后，连结，得，进而得平面，再由，得到平面平面，进而得平面，即可得到结论；（）根据题意得时，取是最大值，再由（）可以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面和的的法向量，利用向量的夹角公式即可求解二面角的余弦值.试题解析：（）在折叠后的图中过作，交于，过作交于，连结，在四边形中，所以.折起后，又平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以，所以，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面.所以在存在一点，且，使平面.（）设，所以，故所以当时，取是最大值.由（）可以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量，则即令，则，则，设平面的法向
20、量，则即令，则，则所以.所以二面角的余弦值为20.设，是抛物线上的三点，点为该抛物线的焦点，点为的中点.（）若，求的值；（）若，求面积的最大值.【答案】()6；().【解析】【分析】（）由已知条件可得点F 为三角形的重心，然后利用重心坐标公式和抛物线的定义可得；（）点N为AB的中点，可得，设直线AB：ykx+b，然后将|AB|和点F到AB的距离表示为b的函数，计算面积后用导数求最大值【详解】设，则，（），为的重心，由三角形的重心坐标公式得，由抛物线定义得.（）由题易知直线的斜率必然存在，设：，则：，又在抛物线上得，由得，令，上单增，在上单减，当时取最大值.【点睛】本题考查重心性质、抛物线定义的
21、应用，考查直线与抛物线相交的弦长和三角形的面积问题，考查利用导数研究函数的最值问题，等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力21.已知函数，.（）当，函数图象上是否存在3 条互相平行的切线，并说明理由？（）讨论函数的零点个数.【答案】()存在；()详见解析.【解析】【分析】()对函数f(x)求导，根据二次导数判断函数的单调性，结合函数单调性和极值可得答案；（）对函数 f(x)求导，对参数a 进行讨论，根据函数的单调性即可判断出函数零点的个数.【详解】（），则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，所以存在切线斜率，使得，所以函数图象上是存在3 条互相平行的切线.（），当，有；，在上单调
22、递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用函数的单调性和极值最值研究函数的零点问题，属于中档题.（二）选考题：共10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）分别写出直线的普通方程与
23、曲线的直角坐标方程；（）已知点，直线 与曲线相交于，两点，若，求的值.【答案】()直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为；().【解析】【分析】()消去参数t 得到直线的普通方程，利用，可将曲线 C的极坐标化为直角坐标方程；（）写出直线l 的参数方程，代入曲线C中，利用参数t 的几何意义即可求得a 值.【详解】（）将（为参数）消去参数可得，直线 的普通方程为.由，得，将，代入上式，得，即，曲线的直角坐标方程为.（）将代入中，整理得，设，两点对应参数分别为，则，又，即，解得，符合题意.【点睛】本题考查直线的参数方程和简单曲线的极坐标方程的应用，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义.23.已知函数.（1）解不等式；（2）若，.证明：.【答案】(1)或(2)见解析【解析】【分析】（1）根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到答案.（2）转化为证明，根据，即可得到证明.【详解】（1）由题意，函数当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得.所以原不等式的解集为.（2）证明：要证，即证.因为，所以，所以.故所证不等式成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中熟记含绝对值的不等式的求解方法，以及合理转化不等式的证明是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.