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1、2.1 直线与圆的位置关系（1）一、选择题1如图，O30，C为OB上一点，且OC6，以点C为圆心，半径为3 的圆与OA的位置关系是()A相离B相交C相切D以上三种情况均有可能2直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是()A0r6 Dr63在 RtABC中，C90，AC 3 cm，BC4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若C与直线AB相切，则r的值为()A2 cm B2.4 cm C3 cm D4 cm 4如图，在ABC中，AB3，AC4，BC5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A相切B相交C相离D无法确定5如图，已知点A，B在
2、半径为1 的O上，AOB60，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是()A当BC等于 0.5 时，l与O相离B当BC等于 2 时，l与O相切C当BC等于 1 时，l与O相交D当BC不为 1 时，l与O不相切二、填空题6若O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且82r|d40，则直线l与O有_个公共点7如图所示，已知AOB45，以点M为圆心，2 cm 为半径作M，若点M在OB边上运动，则当OM_cm 时，M与射线OA相切8在ABC中，ABAC5，BC6，以点A为圆心，4 为半径作的A与直线BC的位置关系是 _9在ABO中，若OAOB2，O的半径为 1，当AOB_时，直线
3、AB与O相切；当AOB满足 _时，直线AB与O相交；当AOB满足 _时，直线AB与O相离.链接学习手册例1归纳总结10如图，给定一个半径为2 的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OMd.我们把圆上到直线l的距离等于1 的点的个数记为m.如d0 时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m4，由此可知：(1)当d3 时，m_；(2)当m2 时，d的取值范围是 _三、解答题11设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.根据下列条件判断直线l与O的位置关系：(1)d5，r4；(2)d73，r6；(3)d2 2，r4sin45.12如图，在RtABC中，C90，AC6
4、cm，BC 8 cm，以点C为圆心，r为半径画圆若C与斜边 AB只有一个公共点，求r的取值范围13如图，已知O与BC相切，点C不是切点，AOOC，OACABO，且ACBO，判断直线AB与O的位置关系，并说明理由14如图，在四边形ABCD中，AB90，ADBC，E为AB上的一点，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？15如图，要在某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围 200 米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45方向上，从A向东走 600 米到达B处，测得C在点B的北偏西60方向上请判断公路MN是否会穿过原始森林保护区
5、，并说明理由(参考数据：31.732)16 阅读学习已知点P(x0，y0)和直线ykxb，则点P到直线ykxb的距离d可用公式d|kx0y0b|1k2计算例如：求点P(1，2)到直线y3x7 的距离解：因为直线y3x7，其中k 3，b7，所以点P(1，2)到直线y3x7 的距离为：d|kx0y0b|1k2|3（1）27|1 32210105.根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，1)到直线yx1 的距离；(2)已知Q的圆心Q的坐标为(0，5)，半径r为 2，判断Q与直线y3x9 的位置关系，并说明理由参考答案1C 解析 过点 C作 CD A O于点 D，O 30，OC 6，DC 3，以
6、点 C为圆心，半径为 3 的圆与 OA的位置关系是相切故选C.2C 3B 4B 过点 A作 AM BC于点 M，交 DE于点 N，AM BC AC AB，AM 3452.4.D，E分别是 AC，AB的中点，DE BC，DE 12BC 2.5，AN MN 12AM 1.2.以 DE为直径的圆的半径为1.25，1251.2，以 DE为直径的圆与BC的位置关系是相交5D 解析 ABC 0.5，OC OB CB 1.5.AOB 60，ACO 30，AO 12OC 0.75 1，l与O 相交，故A错误；BBC 2，OC OB CB 3.AOB 60，ACO 30，AO 12OC 1.5 1，l与O 相离
7、，故B错误；CBC 1，OC OB CB 2.AOB 60，ACO 30，AO 12OC 1，l 与O相切，故C错误；DBC 1，OC OB CB 2.AOB 60，ACO 30，AO 12OC 1，l 与O不相切，故D正确故选 D.6 1 7 2 2 解析 过点 M作 MD OA，垂足为D.由于M与 OA相切，故MD 2 cm.因为BOA 45，所以OD MD 2 cm，所以 OM 22222 2(cm)8相切9 120120 AOB 1800 AOB 120 解析 通过画草图，过点O作 OC AB 于点 C，由直线 AB与O 相切，可得OC 1，不难求得AOC 60，故 AOB 120；另
8、两种情况也不难确定10(1)1(2)1 d3 11解：(1)dr，直线l 与O 相离(2)dr，直线l 与O 相交(3)d r 2 2，直线l 与O 相切12.解：如图所示，过点C作 CD AB于点 D.在 RtABC中，ACB 90，AC 6 cm，BC8 cm，AB AC2BC262 8210(cm)SABC12AB CD 12AC BC，AB CD AC BC，10CD 68，CD 4.8 cm.观察图知，当C的半径 r 4.8 cm 时，C 与斜边 AB只有一个公共点；当 6 cmr8 cm 时，C 与斜边 AB只有一个公共点，当C 与斜边 AB只有一个公共点时，半径r 的取值范围是r
9、 4.8 cm 或 6 cm200 米，故公路 MN 不会穿过原始森林保护区16.解：(1)因为直线y x1，其中 k1，b 1，所以点 P(1，1)到直线 yx1 的距离为：d|kx0y0b1k2|11（1）（1）1121222.(2)Q 与直线 y3x9 相切理由如下：圆心 Q(0，5)到直线 y3x 9 的距离为：d|30 591（3）2422.因为Q 的半径 r 为 2，即 dr，所以Q 与直线 y3x9 相切2.1 直线与圆的位置关系第 2 课时切线的判定与性质一、选择题1经过O的直径的一端能作O的切线()A0 条B1 条C2 条D3 条2以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，
10、则该三角形为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形3 在ABC中，C90，CDAB于点D，则直线AC与BDC的外接圆的位置关系是()A相离B相切C相交D无法确定4在正方形ABCD中，P是对角线AC上的任意一点(不包括端点)，以点P为圆心的圆与AB相切，则AD与P的位置关系是()A.相离B.相切C相交D不能确定5如图，AB是O的直径，BC是O的切线，若OCAB，则C的度数为()A15 B30 C45 D606如图，PA是O的切线，A为切点，PO交O于点B，PA4，OB3，则 cosAPO的值为()A.34B.35C.45D.437如图，O是 RtABC的外接圆，ACB90，A25，
11、过点C作O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是()A25 B 40 C50 D658如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，CD与小圆分别相切于点E，F，则弦AB与CD的大小关系是()AABCDBABCDCABCDD无法确定9如图，以点 O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若 OD 2，tanOAB 12，则 AB的长是()A4 B2 3 C8 D4 3 二、填空题10在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1 为半径的圆必与_轴相切11如图，O的半径为4 cm，BC是直径，若AB10 cm，则当AC_cm时，AC与O相切12如图，已知MAN30，
12、O为AN边上一点，以点O为圆心，2 为半径作O，交AN于D，E两点，设ADx，当x_时，O与AM相切13如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的切线，需添加的条件是 _(不添加其他字母和线段)14阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：已知：如图K474，在ABC中，A90.求作：P，使得点P在边AC上，且P与AB，BC都相切图 K474 小轩的主要作法如下：如图，(1)作ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以点P为圆心，AP长为半径作P.则P即为所求老师说：“小轩的作法正确”请回答：P与BC相切的依据是_.15如图，AT切O 于点 A，AB是O
13、的直径，若 ABT 40，则 ATB _.16如图，线段AB与O 相切于点B，线段 AO与O 相交于点C，AB 12，AC 8，则O的半径为 _17如图，点 A，B，C均在O 上，切线 CD与 OB的延长线交于点D，连结 OC.若A30，CD 2 3，则O 的半径为 _18如图，AB是O 的直径，P 为 AB延长线上的一个动点，过点P 作O 的切线，切点为C.连结 AC，BC，作 APC的平分线交AC于点 D.下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)CPD DPA；若 A30，则PC3BC；若 CPA 30，则PB OB；无论点P在 AB延长线上的位置如何变化，CDP 的度数为定值19某景
14、区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且O与矩形上下两边相切(E 为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为1 m，根据设计要求，若EOF 45，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为_.三、解答题20如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，BO的长为半径作圆求证：AC是O的切线21如图，在ABC中，CAB90，CBA50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足EDEA.(1)求DOA的度数；(2)求证：直线ED与O相切.22 如图
15、，已知O的直径AB 10，弦AC6，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是O的切线；(2)求DE的长23如图，在ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，ABDACB.(1)求证：AB是圆的切线；(2)若E是BC上一点，已知BE 4，tan AEB53，ABBC23，求圆的直径24如图，在ABC中，C90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；(2)若BD2 3，BF2，求阴影部分的面积(结果保留).25 探究应用：如图，在O中，直
16、径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为N，连结AC，点E在AB上，且AECE.(1)求证：AC2AEAB；(2)过点B作O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设O的半径为4，N为OC的中点，点Q在O上，求线段PQ长的最小值26如图，已知AB是O 的切线，A为切点，OB交O 于点 C，AB 3 cm，BC1 cm，求O的半径27 如图，AB为半圆 O的直径，C为 BA延长线上一点，CD切半圆 O于点 D，连结 OD.作 BE CD于点 E，交半圆O于点 F.已知 CE 12，BE 9.(1)求证：COD CBE；(2)求半圆 O的半径 r.28如图，已知AB为
17、O 的直径，AC为O 的切线，OC交O 于点 D，BD的延长线交AC于点 E.(1)求证：1CAD；(2)若 AEEC 2，求O 的半径29如图，AB是以 BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD AB，AD，BC的延长线相交于点E.(1)求证：AD是半圆 O的切线；(2)连结 CD，求证：A2CDE；(3)若CDE 27，OB 2，求 BD的长30综合探究如图，四边形ABCD 内接于 O，BAD 90，AC为直径，过点A作O 的切线交 CB的延长线于点E，过 AC的三等分点F(靠近点 C)作 CE的平行线交AB于点 G，连结CG.(1)求证：AB CD；(2)求证：CD2BE BC；(
18、3)当 CG 3，BE 92时，求 CD的长参考答案1B 2B 3B 4 B 5B 6 C 7B 8B 9C 10 X 11 6 12 2 13 答案不唯一，如CD BD 14角平分线上的点到角两边的距离相等；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线(或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切)15 50 16 5 17 2 18 19（2）2820证明：过点O作 OE AC于点 E，AO平分 BAC，B90，OE OB，AC是O 的切线21解：(1)OD OB，DBO ODB 50，DOA 2DBO 100.(2)证明：连结OE.在EAO与EDO中，AO DO，EA ED，EO
19、 EO，EAO EDO，EAO EDO.BAC 90，EDO 90，直线 ED与O 相切22解：(1)证明：如图，连结OD.AD平分 BAC，DAE DAB.OA OD，ODA DAO，ODA DAE，OD AE.DE AC，OD DE.又OD是O 的半径，DE是O 的切线(2)过点 O作 OF AC于点 F，AF CF 3，OF OA2AF252324.OFE DEF ODE 90，四边形OFED 是矩形，DE OF 4.23解：(1)证明：BC 是直径，BDC 90，ACB DBC 90.ABD ACB，ABD DBC 90，ABC 90，即 AB BC，AB 是圆的切线(2)在 RtAE
20、B中，tan AEB 53，ABBE53，即 AB 53BE 203.在 RtABC中，ABBC23，BC 32AB 3220310，圆的直径为10.24解：(1)直线 BC与O 相切理由：连结OD.AD 是BAC的平分线，BAD CAD.又OD OA，OAD ODA，CAD ODA，OD AC，ODB C90，即 OD BC.又BC过半径 OD的外端点D，直线 BC与O 相切(2)设 OFOD x，则 OB OF BFx2，根据勾股定理，得OB2OD2BD2，即(x 2)2x2 12，解得 x2，即 OD OF 2，OB 224.在 RtODB中，OD 12OB，B30，DOB 60，S扇形
21、 DOF60436023，S阴影SODBS扇形 DOF1222323 2323.故阴影部分的面积为2323.25 解：(1)证明：如图，连结BC，CD AB，CB CA，CAB CBA.又AE CE，CAE ACE，ACE ABC.又 CAE BAC，CAE BAC，ACABAEAC，即 AC2AE AB.(2)PB PE.理由如下：如图，连结BD，OB.CD是直径，CBD 90.BP是O 的切线，OBP 90，BCD DPBC OBC 90.OB OC，OBC OCB，PBC D.又 AD，PBC A.ACE ABC，PEB AACE，PBN PBC ABC，PEB PBN，PE PB.(3
22、)如图，连结PO交O 于点 Q，则此时线段PQ的长有最小值N是 OC的中点，O N2.OB 4，OBN 30，PBE 60.又PE PB，PEB是等边三角形，PEB 60，PB BE.在 RtBON中，BNOB2ON24222 23，在 RtCEN中，ENCNtan6023233，BE BN EN 833，PB BE 833.PQ PO OQ OB2PB2OQ 42（833）2443214.即线段 PQ长的最小值为43214.26解：连结OA，因为 AB是O 的切线，所以 OAB 90.在 RtOAB中，设O的半径为r cm，则有(r 1)2r2 32，解得 r 4.故O 的半径是4 cm.2
23、7解：(1)证明：CD 切半圆 O于点 D，OD为半圆 O的半径，CD OD，CDO 90.BE CD于点 E，E90，CDO E.又 CC，COD CBE.(2)在 RtBEC中，CE 12，BE 9，CB 15.COD CBE，ODBECOCB，即r915r15，r 458.28(1)证明：AB 为O 的直径，ADB 90，ADO BDO 90.AC为O 的切线，OA AC，OAD CAD 90.OA OD，OAD ODA，BDO CAD.又 1BDO，1CAD.(2)解：1CAD，CC，CAD CDE，CD CA CE CD，CD2CA CE.AE EC 2，AC AE EC 4，CD
24、2 2.设O 的半径为x，则 OA OD x，在 RtAOC中，OA2AC2 OC2，x242(2 2x)2，解得 x2.O 的半径为2.29 (1)证明：如图，连结OD，BD.AB是半圆 O的切线，AB BC，即 ABO 90.AB AD，ABD ADB.OB OD，DBO BDO，ABD DBO ADB BDO，ADO ABO 90，即OD AD.又OD是半圆 O的半径，AD是半圆 O的切线(2)证明：由(1)知，ADO ABO 90，A360 ADO ABO BOD 180 BOD，即 ADOC.AD是半圆 O的切线，ODE 90，ODC CDE 90.BC是半圆 O的直径，ODC BD
25、O 90，BDO CDE.BDO OBD，DOC 2BDO，DOC 2CDE.A2CDE.(3)解：CDE 27，DOC 2CDE 54，BOD 18054126.OB 2，BD的长126218075.30.(1)证明：AC 为直径，ABC 90，ABC BAD 180，BC AD，BCA CAD，AB CD.(2)证明：AE 为O 的切线且O为圆心，OA AE，即 CA AE，EAB BAC 90.而BAC BCA 90，EAB BCA.而EBA ABC 90，EBA ABC，BEBABABC，BA2BE BC.由(1)知 AB CD，CD2BE BC.(3)解：由(2)知 CD2BE BC，即 CD292BC.FG BC，且 F 为 AC的三等分点，G 为 AB的三等分点，即CD AB 3BG.在 RtCBG中，有 CG2BG2BC2，即 313CD2BC2.把代入，消去CD，得 BC212BC 30，解得 BC 32或 BC 2(舍去)，将 BC 32代入，得CD 332.