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1、高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 1/7 2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.（1）将下列指数式写成对数式：210=1 024；10-3=10001；0.33=0.027；e0=1.（2）将下列对数式写成指数式：log0.46.25=-2；lg2=0.301 0；log310=2.095 9；ln23.14=x.思路解析：指数式与对数式之间的换算，就是利用logaN=bab=N.解：（1）log21 024=10；lg10001=-3；log0.30.027=3；ln1=0.（2）0.4-2=6.25；1
2、00.301 0=2；32.095 9=10；ex=23.14.2.计算：log2487+log212-21log242.思路解析：这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.解法一：原式=21（log27-log248）+log23+2log22-21（log27+log22+log23）=21log27-21log23-21log216+21log23+2-21log27-21=-21.解法二：原式=log267
3、112347=-21.3.求下列各式的值：（1）32log318；（2）7lg20（21）lg0.7；（3）log2（1+32）+log2（1+32）；（4）lg(5353)；（5）（lg2）3+（lg5）3+3lg2 lg5.思路解析：（1）32log318首先是个指数式，其中底数是8，指数为31-log23，因为 23=8，由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式Naalog=N化简计算.（2）通过取对数，先算出对数值，再求值.（3）运用对数运算法则logaM+logaN=logaMN化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解.（4）运用对数运算法则logaNn=nlogaN巧去根号.
4、（5）利用 lg2 与 lg5 之间的特殊关系lg2+lg5=lg10=1求解.解：（1）.2722222)2(827log27log13log31)3log31(33log3122222高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 2/7（2）设x=7lg20（21）lg0.7，则lgx=lg20 lg7+lg0.7lg21=（lg2+1）lg7+（lg7-1）（-lg2）=lg7+lg2=lg14，x=14，即 7lg20（21）lg0.7=14.（3）log2（1+2+3）+log2（1+2-3）=log2（1+2）2-（3）2=log222=log2232=2
5、3.（4）lg（5353）=21lg（5353）2=21lg（3+5+3-5+259）=21lg10=21.（5）方法一：运用立方公式.（lg2）3+（lg5）3+3lg2lg5=（lg2+lg5）（lg22+lg25-lg2lg5）+3lg2lg5=lg22+lg25+3lg2lg5-lg2lg5=（lg2+lg5）2=1.方法二：利用lg2+lg5=1，用 lg5 的表达式表示lg2.（lg2）3+（lg5）3+3lg2lg5=（1-lg5）3+lg35+3（1-lg5）lg5=1-3lg5+3lg25-lg35+lg35+3lg5-3lg25=1.4.已知 lg2=0.301 0，lg3
6、=0.477 1，求 lg45.思路解析：解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2、3 的常用对数代入计算.解：lg45=21lg45=21lg290=21(lg9+lg10-lg2)=21(2lg3+1-lg2)=lg3+21-21lg2=0.477 1+0.5-0.150 5=0.826 6.10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.式子5log21122的值为()高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 3/7 A.2+5 B.25 C.2+25 D.1+25思路解析：考查对数式的运算法则.原式=522252log5log122.答案：B 2.下列四个
7、命题中，真命题是()A.lg2lg3=lg5 B.lg23=lg9 C.若 logaM+N=b，则 M+N=ab D.若 log2M+log3N=log2N+log3M，则 M=N 思路解析：解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出应选D.答案：D 3.设集合 A=x|x2-1 0，B=x|log2x0，则 AB等于()A.x|x1 B.x|x0 C.x|x-1 D.x|x-1 或 x1思路解析：该题考查集合的表示及解不等式.可以先分别求出集合A、B中所列不等式的解集，然后再在数轴上求它们的交集.答案：A 4.已知函数f（
8、x）=,0,3,0,log3xxxx,则 f f（91）的值是()A.9 B.91 C.-9 D.-91思路解析：f（91）=log391=-2，f（-2）=3-2=91.答案：B 5.若函数 f（x）（x0）满足 f（yx）=f（x）-f（y），f（9）=8，则 f（3）等于()A.2 B.-2 C.1 D.4 思路解析：f（3）=f（39）=f（9）-f（3），f（3）=21f（9）=4.答案：D 6.求下列各式中的x：（1）54logx=-21；（2）logx5=23；（3）log（x-1）（x2-8x 7）=1.思路解析：根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算
9、.解：（1）原式转化为（21)54=x，所以 x=25.高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 4/7（2）原式转化为23x=5，所以 x=325.（3）由对数性质得,078,11,01,17822xxxxxxx解得 x=8.7.求下列各式的值：(1)设 logbx-logby=a，则 logb5x3-logb5y3=_;(2)设 loga(x y)=3，logax=1，则 logay=_;(3)|91log|33=_.思路解析：利用对数的性质.(1)logbx-logby=a,logb(yx)=a.logb5x3-logb5y3=logb(3355yx)=lo
10、gb(yx)3=3logb(yx)=3a.(2)loga(x+y)=3,3a=x+y.又 logax=1,x=a.y=3a-a.从而 loga y=loga(3a-a).(3)|3log2|3log|91log|3233333=32=9.答案：3a loga(3a-a)9 8.已知 a=lg（171），b=lg（1491），试用 a、b 的式子表示lg1.4.思路解析：求以 a、b 表示的 lg1.4的式子，实际上是寻找lg78、lg4950和 lg1.4之间的关系，所以应将三个对数的真数尽量化整并化小（一般把底化成常用对数），便于寻找关系.解：a=lg（1+71）=lg78=3lg2-lg7
11、,b=lg（1+491）=lg4950=lg2100-lg72=2-lg2-2lg7.由得lg2=71（2a-b+2），lg7=71（-a-3b+6），lg1.4=lg1014=lg2+lg7-1=71（a-4b+1）.快乐时光高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 5/7 刀法中国、日本、俄罗斯三国武士比赛，只见俄罗斯的武士拔出刀一挥，把裁判放出的苍蝇拦腰砍为两段，裁判给了他80 分.这时日本的武士上来，拔刀后，裁判给了他90 分，他把苍蝇的翅膀砍下来了！轮到中国的武士了，只见他拿了两把菜刀，一挥,裁判给了他100 分.另两个不服就问裁判，裁判把苍蝇捡起来要他
12、们看，说人家中国武士给苍蝇割了个双眼皮！30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.计算 2log525+3log264-8log71 的值为()A.14 B.8 C.22 D.27 思路解析：原式=22+3 6-8 0=22.答案：C 2.下列各式中成立的是()A.logax2=2logax B.loga|xy|=loga|x|+loga|y|C.loga 3 loga 2 D.logayx=loga x-loga y 思路解析：用对数的运算法则解决问题.A、D的错误在于不能保证真数为正，C的错误在于a 值不定.选 B.答案：B 3.设 x、y 为非零实数，a0 且 a 1，则下列各式中不
13、一定成立的个数是()loga x2=2 loga x loga 3 loga 2 loga|x y|=loga|x|loga|y|loga x2=2 loga|x|A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：不一定成立，一定成立.答案：C 4.若 loga 2logb20，则()A.0ab1 B.0bab1 D.ba1 解法一：赋值法.取 a=21，b=41，则 loga 2=-1，logb2=-21.解法二：由换底公式可得0log1log122ba，log2blog2a0.0ba1.解法三：利用函数图象（如图）.答案：B 5.已知 11.2a=1 000，0.011 2b=1 000，那么ba
14、11等于()A.1 B.2 C.3 D.4 高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 6/7 思路解析：本题有两种解题方法.方 法 一：用 指 数 解.由 题 意11.2=a11000，0.011 2=b11000，两 式 相 除 得ba111000=0112.02.11=1 000.ba11=1.方法二：用对数解.由题意，得 alg11.2=3，blg0.011 2=3，ba11=31（lg11.2-lg0.011 2）=1.答案：A 6.方程 lg（4x+2）=lg2x+lg3 的解是 _.思路解析：把方程两边化为同底的对数式，然后比较真数得含有未知数的方程，
15、解之即可.把两边化成同底的对数式为lg（4x+2）=lg（2x3），比较真数，得方程4x+2=2x 3，利用换元法，解得2x=1 或 2x=2.所以 x=0 或 x=1.答案：x1=0，x2=1 7.lg5lg8 000+（32lg）2+lg0.06-lg6=_.思路解析：本题考查对数的运算性质.原式=lg5（3+3lg2）+3lg22+lg606.0=3（1-lg2）（1+lg2）+3lg22-2=3-2=1.答案：1 8.已知 loga 2=m，loga 3=n，则 a2m-n=_.思路解析：首先把对数式化为指数式，再进行指数运算.loga2=m，loga3=n，am=2，an=3.a2m
16、-n=3432)(222nmnmaaaa.答案：349.计算 2lg5+32lg8+lg5 lg20+lg22 的值.思路解析：考查对数式的化简运算.解：原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+lg22=lg25+2lg2 lg5+lg22+2（lg5+lg2）=（lg5+lg2）2+2（lg5+lg2）=lg210+2lg10=1+2=3.10.已知 logax=logac+b，求 x.思路解析：由于 x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac 移到等式左端，或者将 b 变为对数形式.解法一：由对数定义
17、可知x=caalog+b=caalogab=cab.解法二：由已知移项可得logax-logac=b，即 logacx=b.由对数定义知cx=ab，x=c ab.解法三：b=logaab，logax=logac+logaab=logacab.x=cab.11.（1）已知 3a=2，用 a 表示 log34-log36；（2）已知 log32=a，3b=5，用 a、b 表示 log330.高中数学2.2.1 对数与对数运算同步测控优化训练新人教 A 必修 1 7/7 解：（1）3a=2，a=log32.log34-log36=log332=log32-1=a-1.（2）3b=5，b=log35.
18、又 log32=a，log330=21log3(2 35)=21(log32+log33+log35)=21(a+b+1).12.2005 年 3 月 28 日在印度尼西亚苏门答腊岛附近发生里氏8.2 级地震，日本气象厅测得为里氏 8.5 级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设 N为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m可以定义为m=lgN，试比较8.2 级和 8.5 级地震的相对能量程度.解：设 8.2级和 8.5级地震的相对能量程度分别为N1和 N2，由题意得,lg5.8,lg2.821NN因此lgN2-lgN1=0.3，即 lg12NN=0.3，12NN=100.3 2.因此，8.5 级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2 倍.