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1、高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数测试2 新人教 B版选修 22 1/6 常数函数与幂函数的导数一、选择题1设函数0()f xx在可导，则000()(3)limtf xtf xtt（）A0()fx B02()fx C04()fx D不能确定2（2007 年浙江卷）设()fx是函数()f x的导函数，将()yf x和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）3（2007 年江西卷）设函数()f x是R上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线()yf x在5x处的切线的斜率为（）1501554已知函数xxf)(，在0 x处函数极值的情况是（）A没有极值 B 有极大值 C 有极小值
2、 D 极值情况不能确定5曲线321xy在点41,8R的切线方程是（）A02048yx B48200 xy C 48200 xy D 4200 xy6已知曲线)1000)(100(534002xxxy在点M处有水平切线，则点M的坐标是（）A（-15，76）B （15，67）C （15，76）D （15，-76）7已知函数xxxfln)(，则（）A在),0(上递增 B 在),0(上递减 C在e1,0上递增 D 在e1,0上递减 8 （2007 年福建卷）已知对任意实数x，有()()()()fxf xgxg x，且0 x时，()0()0fxgx，则0 x时（）A()0()0fxgx，B()0()0f
3、xg x，C()0()0fxg x，D()0()0fxg x，二、填空题9函数53)(23xxxf的单调递增区间是_10若一物体运动方程如下：)2()3()3(329)1()30(2322tttts则此物体在1t和3t时的瞬时速度是_y x O y x O y x O y x O ABCD高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数测试2 新人教 B版选修 22 2/6 11曲线xxy23在点（1，1）处的切线的倾斜角是_12已知cxxf2)(，且)1()()(2xfxffxg，设)()()(xfxgx，)(x在)1,(上是减函数，并且在（1，0）上是增函数,则=_13（2006 年湖北卷）半径为
4、r 的圆的面积S(r)r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的变量，则(r2)2r 1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于1的式子：2,2式可以用语言叙述为：14（2007 年江苏卷）已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm.三、解答题15（1）求曲线122xxy在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221tttS，求 t=3 时的速度.16.设函数()fx是定义在 1，0）（0，1 上的奇函数，当x 1，0）时，21()2f xaxx（aR
5、).（1）当x(0，1时，求()fx的解析式；（2）若a 1，试判断()fx在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x（0，1）时，f(x)有最大值 6.17函数)(xf对一切实数yx,均有xyxyfyxf)12()()(成立，且0)1(f，（1）求)0(f的值；（2）当102x时，()32f xxa恒成立，求实数a的取值范围18（2006 年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面,中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？19（2006 年天津卷）已知函数cos163cos
6、3423xxxf，其中,Rx为参数，且20（1）当时0cos，判断函数xf是否有极值；（2）要使函数xf的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数xf在区间aa,12内都是增函数，求实数a的取值范围20.（2007 年广东高考压轴题）已知函数2()1f xxx，,是方程f(x)=0的两个根()，()fx 是f(x)的导数；设11a，1()()nnnnf aaafa（n=1,2,）（1）求,的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有na a；（3）记lnnnnabaa（n=1,2,），求数列 bn 的前 n 项和 Sn.O O高中数学1.2.1常数函数与幂
7、函数的导数测试2 新人教 B版选修 22 3/6 参考答案一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C D B C A C D B 二、填空题9)0,(与),2(100 11.43 124.13V球343R，又32443RR（）故2式可填32443RR（），用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”1432三、解答题15.分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0 x处的导数就是曲线 y=f(x)在点),(00yxp处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数.解：（1）222222)1(22)1(22)1(2xxxxxxy，0422|1x
8、y，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0.因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为y=1.（2）)2(122tttStttttttt4214)1(23242.2726111227291|3tS.16.（1）解：设x(0，1，则x 1，0)，f(x)=2ax+21x，f(x)是奇函数.f(x)=2ax21x，x(0，1.（2）证明：f(x)=2a+)1(2233xax，a1，x(0，1，31x1，a+31x0.即f(x)0.f(x)在（0，1上是单调递增函数.（3）解：当a1 时，f(x)在（0，1上单调递增.f(x)max=f(1)=6，a=25(不合题意，舍之），当a 1 时，f(x
9、)=0，x=31a.如下表：fmax(x)=f(31a)=6，解出a=22.x=22(0，1).高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数测试2 新人教 B版选修 22 4/6 x（，31a）31a（31a，+）()fx+0()f x最大值存在a=22，使f(x)在（0，1）上有最大值6.17.（）因为xyxyfyxf)12()()(,令0,()(0)(1)yf xfxx，再令1,(1)(0)2,(0)2xfff.（）由知()(1)2f xxx,即2()2f xxx.由()32f xxa恒成立，等价于2213()231()24af xxxxx恒成立，即2max13()24ax当102x时，22m
10、ax1313()(0)12424x故(1,)a18.解：设 OO1为x m，则41x.由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（2m）帐篷的体积为：)28(233V2xxx）（1)1(31x)1216(233xx（3m）求导得)312(23V2xx）（.令0V）（x，解得2x（不合题意，舍），2x，当21x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42x时，0V）（x，）（xV为减函数.当2x时，）（xV最大.答：当 OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m.19.（）解：当cos0时，3()4f
11、 xx，则()f x在(,)内是增函数，故无极值.（）解：2()126 cosfxxx，令()0fx，得12cos0,2xx.由（），只需分下面两种情况讨论.当cos0时，随 x 的变化()fx的符号及()f x的变化情况如下表：高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数测试2 新人教 B版选修 22 5/6 x(,0)0 cos(0,)2cos2cos(,)2()fx+0-0+()fx极大值极小值因此，函数()f x在cos2x处取得极小值cosf()2，且3cos13()cos2416f.要使cos()02f，必有213cos(cos)044，可得30cos2.由于30cos2，故31162
12、26或当时cos0，随 x 的变化，()fx的符号及()f x的变化情况如下表：xcos(,)2cos2cos(,0)20(0,)()fx+0-0+()f x极大值极小值因此，函数()0f xx在处取得极小值(0)f，且3(0)cos.16f若(0)0f，则cos0.矛盾.所以当cos0时，()fx的极小值不会大于零.综 上，要 使 函 数()f x在(,)内 的 极 小 值 大 于 零，参 数的 取 值 范 围 为311(,)(,)6226.（III）解：由（II）知，函数()f x在区间(,)与cos(,)2内都是增函数.由题设，函数()(21,)f xaa在内是增函数，则 a 须满足不等
13、式组21,0.aaa或21,121cos.2aaa由（II），参数时311(,)(,)6226时，30cos2。要使不等式121cos2a关于参数恒成立，必有3214a，即438a.综上，解得0a或4318a.所以a的取值范围是43(,0),1)8.20解析：（1）2()1f xxx，,是方程f(x)=0 的两个根()，高中数学1.2.1常数函数与幂函数的导数测试2 新人教 B版选修 22 6/6 1515,22；（2）()21fxx，21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa=5114(21)4212nnaa，11a，有基本不等式可知25102a（当且仅当1512a时取等号），25102a，同样3512a，512na（n=1,2,），（3）1()()(1)2121nnnnnnnnaaaaaaaa，而1，即1，21()21nnnaaa，同理21()21nnnaaa，12nnbb，又113535lnln2ln1235b.352(21)ln2nnS.