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1、精品教案可编辑【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学第 1 章 直线、多边形、圆章末分层突破学案北师大版选修 4-1 自我校对 平行线分线段成比例定理圆周角定理弦切角定理切割线定理相交弦定理精品教案可编辑射影定理的应用射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应，分清比例中项，否则在做题中极易出错.如图 1-1 所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.图 1-1求证：DF2FGFH.【精彩点拨】在 Rt ADB中，DF2
2、BFAF，要证DF2FGFH，只要证BFAFFGFH，印证BFGHFA即可.【规范解答】BEAC，ABEBAE 90.同理，HHAF 90，ABEH.又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH.在 Rt ADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.再练一题 1.如图 1-2，在 Rt ABC中，BAC 90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，精品教案可编辑试证明：(1)ABACBCAD；图 1-2(2)AD2BCCFBE.【证明】(1)在 Rt ABC中，ADBC，SABC12ABAC12BCAD.ABACBCAD.(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得BD2
3、BEAB，同理CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在 Rt BAC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意.如图 1-3 所示，O是以AB为直径的ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E.精品教案可编辑图 1-3求证：(1)OE12AC；(2)PDPABD2AC2.【精彩点拨】(
4、1)D为BC的中点，由垂径定理得ODCB，OEAC，OE为ABC的中位线.(2)连接CD，可得PCDPAC，PCPACDAC，PDPCCDAC.PCPDPAPCCD2AC2，PDPACD2AC2从而得证.【规范解答】(1)AB为O的直径，ACBC.D是BC的中点，由垂径定理得ODBC，ODAC.又点O为AB的中点，点E为BC的中点，OE12AC.(2)连接CD.PC是O的切线，PCDPAC.又P是公共角，PCDPAC.得PCPAPDPCCDAC，得PDPACD2AC2.精品教案可编辑D是BC的中点，CDBD，因此，PDPABD2AC2.再练一题 2.如图 1-4，O是 Rt ABC的外接圆，A
5、BC 90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.图 1-4(1)求证：PB是O的切线；(2)已知PA3，BC 1，求O的半径.【解】(1)证明：如图，连接OB.OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA，即PAOPBO.又PA是O的切线，PAO 90.PBO 90 .OBPB.又OB是O半径，PB是O的切线.(2)连接OP，交AB于点D.如图，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上.OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上.OP垂直平分线段AB.PAOPDA 90.又APOOPA，APODPA.精品教案可编辑APDPPOPA.AP2PODP.又OD12BC1
6、2，PO(POOD)AP2.即PO212PO(3)2，解得PO2.在 Rt APO中，OAPO2PA21，即O的半径为 1.圆周角及其应用在圆中，连接同弧或等弧上的圆周角，是常用的辅助线，由此可得角相等；有直径或有垂直条件或证明垂直结论，经常根据图形适当作出直径上的圆周角.如图 1-5 所示，AB是半圆直径，C为AE中点，CDAB于D交AE于F.求证：AFCF.图 1-5【精彩点拨】由CDAB，可连接AC，BC，则ABC为直角三角形，证明CAEACD即可.【规范解答】连接AC，BC.AB是直径，ACBC.CDAB，BACD.ACCE，BCAE.CAEACD，AFCF.精品教案可编辑再练一题 3
7、.如图 1-6，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB 45，则圆O的半径R_.图 1-6【解析】法一：如图过点A作直径AD，连接BD，BCA 45，BDABCA 45，DBA 90，ABD为等腰直角三角形，AB4，AD2AB42，OA22.法二：连接OA，OB，则AOB 2ACB 90.AOB为等腰直角三角形，AB2OA4，OA22.【答案】22与圆有关的比例线段圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论.如图 1-7，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和
8、CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，求DE的长.图 1-7【精彩点拨】连接AB，则ABCB，由圆内接四边形的性质得D 90，在 Rt CDE中，由勾股定理求解.【规范解答】设CBADx，则由割线定理得：CACDCBCE，即 4(4 x)x(x10)，精品教案可编辑化简得x26x16 0，解得x2 或x 8(舍去)，即CD 6，CE12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以CBA 90，即ABE 90，则由圆的内接四边形对角互补，得D 90，则CD2DE2CE2，所以 62DE2122，所以DE 63.再练一题 4.如图 1-8，ABC中，ABAC，以AB为直径作圆，交B
9、C于D，O是圆心，DM是O的切线交AC于M.图 1-8求证：DC2ACCM.【证明】连接AD，OD.AB是直径，ADBC.OAOD，BADODA.又ABAC，ADBC，BADCAD.则CADODA，ODAC.DM是O切线，ODDM.精品教案可编辑则DMAC，DC2ACCM.等价转化的思想转化与化归就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的问题，最终求得问题的解答.在相似三角形中有很多相等的比例式或等积式，而两者的联系往往是通过几何图形间的等价转换进行的.如图 1-9 所示，在等腰ABC中，过顶点A作ADBC，过底边端点C作CEAB，作DFCE
10、于F，FGAD于G，求证：FGAGBD3AD3.图 1-9【精彩点拨】延长FG交AB于K连接DK，易得K，F分别为BE，CE的中点，易证Rt ADB Rt DGF，得BDADKGAG；Rt ADBKGD，得BDADDGKG，把以上三式相乘整理可得结论.【规范解答】如图所示，延长FG交AB于K，连接DK，DFEC，ABEC，DFBE.ABAC，ADBC，BDDC，EFCF.FGBC，EFKFCD，Rt FDC Rt EKF，KFDC，EKFFDC，四边形KFCD是平行四边形，FCDFKD，EKDEKFFKDFCDFDC 90，DKAB，DFAB.精品教案可编辑BADGDF，Rt ADB Rt D
11、GF，BDADFGGD.GKBD，AKGABD，BDADKGAG.在ABD中，ADB 90，DKABADBAKD.又AKDKGD，ADBKGD，BDADDGKG.由相乘，得BD3AD3FGAG.再练一题 5.如图 1-11 所示，在ABC中，CAB 90，ADBC于D，BE是ABC的平分线，交AD于F，求证：DFAFAEEC.图 1-11【证明】由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比得，在ABD中，DFAFBDAB，在ABC中，AEECABBC，在 Rt ABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即BDABABBC.由得DFAFABBC，由得DFAFAEEC.精品教案可编辑
12、1.(广东高考)如图 1-12，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_.【导学号：96990040】图 1-12【解析】AB为直径，BCA 90 .由OPBC，得OP12BC12，AC16115，CPPA152.EC为O的切线，DCPABCAOP.又APOCPD，DCPAOP，APDPOPPC，DP152，OD152128.【答案】82.(天津高考)如图 1-13，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE 2AE2，BDED，则线段CE的长为 _.图 1-13【解析】如图，设圆心为O，连接OD，则OB
13、OD.因为AB是圆的直径，BE2AE2，所以AE1，OB32.又BDED，B为BOD与BDE的公共底角，精品教案可编辑所以BODBDE，所以BOBDBDBE，所以BD2BOBE3，所以BDDE3.因为AEBECEDE，所以CEAEBEDE233.【答案】2333.(全国卷)如图1-14，OAB是等腰三角形，AOB 120，以O为圆心，12OA为半径作圆.图 1-14(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.【证明】(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB 120，所以OEAB，AOE 60.在 Rt AOE中，OE12AO，即O
14、到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切.(2)因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.精品教案可编辑同理可证，OOCD，所以ABCD.4.(全国卷)如图1-15，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.图 1-15(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN23，求四边形EBCF的面积.【解】(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，
15、所以AD是CAB的平分线.又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF，从而EFBC.(2)解：由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE 30.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE 23，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DM12MN3，所以OD1.于是AD5，AB1033.精品教案可编辑所以四边形EBCF的面积为12103323212(2 3)2321633.5.(全国卷)如图1-16，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F.图 1-16(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.(1)证明：因为DFEC，所以DEFCDF，则有GDFDEFFCB，DFCFDECDDGCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF.因此CGFCBF 180，所以B，C，G，F四点共圆.(2)解：由B，C，G，F四点共圆，CGCB知FGFB.连接GB.由G为 Rt DFC斜边CD的中点，知GFGC，故 Rt BCG Rt BFG，因此，四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的 2 倍，即S 2SGCB 21212 112.