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1、学业分层测评(建议用时：45 分钟)学业达标 一、选择题1椭圆25x29y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3，45B10,6，45C5,3，35D10,6，35【解析】椭圆方程可化为x29y2251.a5，b3，c4，长轴长 2a10，短轴长 2b6，离心率 eca45.故选 B.【答案】B 2若焦点在 x 轴上的椭圆x22y2m1 的离心率为12，则 m等于()A.3 B.32C.83D.23【解析】椭圆焦点在x 轴上，0m2，a2，c2m，eca2m212.故2m214，m32.【答案】B 3中心在原点，焦点在x 轴，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的
2、方程是()A.x281y2721 B.x281y291 C.x281y2451 D.x281y2361【解析】因为 2a18,2c132a6，所以 a9，c3，b281972.故所求方程为x281y2721.【答案】A 4已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.312B.512C.154D.314【解析】由题意得a2b2a2(ac)2，即 c2aca20，即 e2e10，解得e1 52，又 e0，故所求的椭圆的离心率为512.故选 B.【答案】B 5设 e 是椭圆x24y2k1 的
3、离心率，且e12，1，则实数 k 的取值范围是()A(0,3)B.3，163C(0,3)163，D(0,2)【解析】当焦点在 x 轴上时，e2c2a24k414，1，解得 0k3.当焦点在 y 轴上时，e2c2a2k4k14，1，解得 k163.综上可知选C.【答案】C 二、填空题6已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为 _.【导学号：26160036】【解析】由题意得ca13，2a12，a2b2c2，解得a6，b4 2，c2，椭圆方程为x236y2321 或y236x2321.【答案】x236y2321 或y236x2321 7若椭圆x2k8y29 1 的离心率为
4、23，则k 的值为_【解析】若焦点在 x 轴上，则9k8123259，k415；若焦点在 y 轴上，则k8959，k 3.【答案】415或 3 8(2016 台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点 P 在椭圆上，且PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为 _【解析】设 P 点到 x 轴的距离为h，则SPF1F212|F1F2|h，当 P 点在 y 轴上时，h 最大，此时SPF1F2最大，|F1F2|2c8，h3，即 b3.【答案】3 三、解答题9椭圆y2a2x2b21(ab0)的两焦点F1(0，c)，F2(0，c)(c0)，离心率e32，焦点到椭圆上点的最短距离
5、为23，求椭圆的方程【解】因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，ac23.又 eca32，a2，c3，b21，椭圆的方程为y24x21.10.如图 213 所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M 为椭圆上一点，且 MF2F1F2，MF1F230.试求椭圆的离心率图 213【解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为 MF2F1F2，所以 MF1F2为直角三角形又 MF1F230，所以|MF1|2|MF2|，|F1F2|32|MF1|.而由椭圆定义知|MF1|MF2|2a，因此|MF1|4a3，|MF2|2a3，所以 2c324a3，即ca33，即椭圆的离心率是33.能力提
6、升 1(2016 长沙一模)已知 P 是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F260，|PF2|3|PF1|，则椭圆的离心率为()A.312B.31 C23 D132【解析】由题意可得 PF1F2是直角三角形，|F1F2|2c，|PF1|c，|PF2|3c.点 P 在椭圆上，由椭圆的定义可得eca2c2a|F1F2|PF1|PF2|2cc3c31.【答案】B 2 若点 O 和点 F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为()A2B3 C6D8【解析】由题意得 F(1,0)，设点 P(x0，y0)，则 y203 1x204(2x
7、02)，OP FPx0(x01)y20 x20 x0y20 x20 x03 1x20414(x02)22，当 x02 时，OP FP取得最大值为6.故选 C.【答案】C 3椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 14，短轴长为 8，则椭圆的标准方程是_.【导学号：26160037】【解析】由题意得acac14，解得c35a.又短轴长为2b，则 2b8，即 b4，故 b2a2c2a235a216，则a225.故椭圆的标准方程为y225x2161.【答案】y225x2161 4(2014 安徽高考)设 F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过点F1的直
8、线交椭圆E 于 A，B 两点，|AF1|3|BF1|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为 16，求|AF2|；(2)若 cosAF2B35，求椭圆E 的离心率【解】(1)由|AF1|3|BF1|，|AB|4，得|AF1|3，|BF1|1.因为 ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|BF1|k，则 k0，且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k，|BF2|2ak.在 ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)265(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而 ak0，故 a3k，于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|AF2|2|AB|2，可得 F1AF2A，故 AF1F2为等腰直角三角形从而 c22a，所以椭圆E 的离心率 eca22.