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1、2010-2011 学年度高二数学上学期单元测试（3）湘教版1/9 20102011学年度上学期单元测试高二数学试题（3）【湘教版】选修2-1 第 1、2 单元说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74 分，第二卷76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5 分，共 60 分）。1函数 f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）Aab=0 Ba+b=0 C a=b Da2+b2=0 2“至多有三个”的否定为（）A至少有三个B至少有四个C有三个D有四个3有金盒、银盒、铅盒
2、各一个，只有一个盒子里有肖像金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里 p、q、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（）A金盒里B银盒里C铅盒里D在哪个盒子里不能确定4x=231y表示的曲线是（）A双曲线B椭圆C双曲线的一部分D椭圆的一部分5下列命题中的假命题是（）A,lg0 xRxB,tan1xRxC3,0 xR xD,20 xxR6已知方程1|2mx+my22=1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m的取值范围是（）Am2 B 1m2 Cm 1 或 1m2 D m 1 或 1mab22)的线段AB 的端点在双曲线b2x2a2y2=a
3、2b2的右支上,则 AB中点 M的横坐标的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 74 分)。17（12 分）分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。（1）矩形的对角线相等且互相平分；（2）正偶数不是质数。2010-2011 学年度高二数学上学期单元测试（3）湘教版3/9 18（12 分）写出由下述各命题构成的“p 或 q”，“p 且 q”，“非 p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。（1）p：连续的三个整数的乘积能被2 整除，q：连续的三个整数的乘积能被3 整除；（2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形
4、；19（12 分）已知抛物线xy2的弦 AB与直线 y=1 有公共点，且弦AB的中点 N 到 y 轴的距离为 1，求弦 AB长度的最大值，并求此直线AB所在的直线的方程。20（12 分）已知椭圆的方程为22221(0)xyabab，(0,)Ab、(0,)Bb和(,0)Q a为的三个顶点2010-2011 学年度高二数学上学期单元测试（3）湘教版4/9（1）若点M满足1()2AMAQAB，求点M的坐标；（2）设直线11:lyk xp交椭圆于C、D两点，交直线22:lyk x于点E若2122bkka，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆
5、的两个交点1P、2P满足12PPPPPQ12PPPPPQ？令10a，5b，点P的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点1P、2P满足12PPPPPQ，求点1P、2P的坐标21（14 分）设 0a,b,c0，即222210a kbp，2010-2011 学年度高二数学上学期单元测试（3）湘教版7/9 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则212102221201022212xxa k pxa kbb pyk xpa kb，由方程组12yk xpyk x，消 y 得方程(k2k1)xp，又因为2221bka k，所以2102222112202221a k ppxxkk
6、a kbb pyk xya kb，故 E为 CD的中点；（3）因为点P在椭圆 内且不在x 轴上，所以点F在椭圆 内，可以求得直线OF的斜率 k2，由12PPPPPQ 知 F 为 P1P2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122bka k，从而得直线 l 的方程1(1,)2F，直线 OF的斜率212k，直线 l 的斜率212212bka k，解方程组22112110025yxxy，消 y：x22x 48 0，解得 P1(6,4)、P2(8,3)21 证明：用反证法，假设21)1(21)1(21)1(41)1(41)1(41)1(accbbaaccbba，+得：23212121)1()1()1
7、(23accbbaaccbba，左右矛盾，故假设不成立，（1a）b,（1b）c，（1c）a 不同时大于4122（I）设边界曲线上点P的坐标为（x，y）当2x时，由题意知,536)4(22yx当 x2 时，由|PA|+|PB|=54知，点 P在以 A，B焦点，长轴长为542a的椭圆上，此时短半轴长2010-2011 学年度高二数学上学期单元测试（3）湘教版8/9,24)52(22b因而其方程为142022yx故考察区域边界曲线（如图）的方程为（II）设过点P1，P2的直线为,1l点 P2，P3的直线为2l，则直线21,ll的方程分别为6,143yxy设直线l平行于直线,1l其方程为mxy3，代入
8、椭圆方程142022yx，消去 y，得,0)4(53101622mmxx由0)4(5164310022mm，解得8,8mm或，从图中可以看出，当m=8时，直线l与 C2的公共点到直线1l的距离最近，此时直线l的方程为,83xy1ll与之间的距离为331|814|d又直线2l到 C1和 C2的最短距离.5566d2010-2011 学年度高二数学上学期单元测试（3）湘教版9/9 而3d，所以考察区域边界到冰川边界的最短距离为3。设冰川边界线移动到考察区域所需时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式，得4.312)12(2.0nn所以冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4 年【命题意图】本题以应用题为背景，考查考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的益关系，等比数列求和，本题属难题。