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1、福建省邵武市第四中学2019_2020 学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：本大题共12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量（2，3，1），则下列向量中与平行的是（）A（1，1，1）B（4，6，2）C（2，3，5）D（2，3，1）2.过点（1，1）的抛物2axy的焦点坐标为（）A0,41B41,0 C41,0 D0,413已知命题2000:,230pxR xx的否定是2,230 xR xx，命题:q双曲线2214xy的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（）Aqp Bqp Cqp Dqp4.若两个向量，则平面 ABC的一
2、个法向量为（）A（-1，2，-1）B（1，2，1）C（1，2，-1）D（1，2，1）5函数12)(2xxf在区间x2,2上的平均变化率xy等于（）Ax48Bx28 C 2)(24xD8 6设，为两个平面，则的充要条件是（）A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面7.若椭圆)0(12222babyax的离心率为31，则双曲线12222byax的渐近线方程为（）Axy322 Bxy23 Cxy22 Dxy8.已知两点)0,1(1F，)0,1(2F，且21FF是1PF与2PF的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A191622yx B1121622yx
3、C13422yx D14322yx9.设()fx是函数()f x的导函数，将y()f x和y()fx的图像画在同一个直角坐标系中，不可能的是（）10.已知1F、2F为双曲线1:22yxC的左、右焦点，点P在C上，6021PFF，则21PFPF=（）A2 B4 C 6 D8 11.1F，2F分别是双曲线12222byax（0a，0b）的左右焦点，过1F的直线与双曲线的左、右两支分别交于点B，A，若2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A7 B4C2 33 D312若函数)(xfy在区间 D上是增函数，且函数xxfy)(在区间 D上是减函数，则称函数)(xf是区间 D上的“H 函数”对于命题
4、：函数xxxf)(是区间（0，1）上的“H函数”；函数212)(xxxg是区间（0，1）上的“H函数”下列判断正确的是（）A和均为真命题 B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题 D和均为假命题二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数xexfxln)(，)(xf为)(xf的导函数，则)1(f的值为 _14.函数)23ln()(xxf在点)1(,1 f处的切线方程为15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若 BAC 90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角为16.已知椭圆22195xy的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为
5、圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是 _三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10 分）已知函数3)(23bxaxxxf，且2)1(f，5)1(f（1）求a，b的值；（2）求函数的单调递减区间18.（本小题满分12 分）已知命题P：不等式2240 xax对一切xR恒成立；命题q：函数()(32)xfxa是增函数若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求实数a 的取值范围19（本小题满分12 分）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面 ABCD，PD DC，E是 PC的中点（1）证明：平面PAB 平面 PAD；（2）求
6、二面角PAB D的大小20.（本小题满分12 分）已知椭圆222:220C xybb.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若1b，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且2 113AB，求AOB 的面积.21（本小题满分12 分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF 平面 ABCD 四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且ADBC，ABD是边长为1 的等边三角形，M为线段 BD中点，BC3（1）求证：AFBD；（2）求直线MF与平面 CDE所成角的正弦值；（3）线段 BD上是否存在点N，使得直线CE 平面 AFN？若存在，求BDBN的值；若不存在，请说明理由22(本小题满分12
7、分）如图，已知椭圆1:2222byaxC（0a，0b）的离心率是23，一个顶点是1,0B（）求椭圆C的方程；（）设P，Q是椭圆上异于点B的任意两点，且BQBP试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.答案一、选择题本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分1-5：BCADB 6-10：BACDB 11-12；AC 二、填空题每题 5 分，满分20 分13e 14.033yx 15.60 16.15三、解答题17.（本小题满分10 分）(1)baxxxf23)(2所以523)(231)1(baxfbaf解得42ba综上所述4,2 ba(2)3)(23bxa
8、xxxfbaxxxf23)(2=)2)(23(xx令0)(xf，解得32x或2x令0)(xf，解得232x所以)(xf的单调增区间为)32,(和),2(，单调递减区间为)2,32(18、（本小题满分12 分）已知命题P：不等式2240 xax对一切xR恒成立；命题q：函数()(32)xfxa是增函数若p或 q 为真，p 且 q 为假，求实数a 的取值范围解：p 为真：,q为真：因为 p 或 q为真，p 且 q 为假，p,q 一真一假当p 真 q 假时，当 p 假 q 真时，a 的取值范围为19、（本小题满分12 分）如图，四棱锥P ABCD 的底面是正方形，PD 底面 ABCD，PD DC，E
9、是 PC的中点（1）证明：平面PAB 平面 PAD；（2）求二面角PAB D的大小【答案】证明：（1）四棱锥PABCD 的底面是正方形，PD 底面 ABCD，PD DC，E是 PC的中点AB AD，ABPD，又 ADPD D，AB 平面 PAD，AB?平面 PAB，平面PAB 平面 PAD 解：（2）以 D为原点，DA为 x 轴，DC为 y 轴，DP为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 PD DC DP 2，则 A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），（2，0，2），（0，2，0），设平面 PAB的法向量（x，y，z），则，取 x1，得（1，0，1），平面ABD的
10、法向量（0，0，1），设二面角P AB D的大小为，则 cos，45，二面角P AB D的大小为4520.（本小题满分12 分）已知椭圆222:220C xybb.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若1b，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且2 113AB，求AOB 的面积.【答案】（1）22e；（2）2212.【详解】（1）椭圆2222:102xyCbbb，椭圆长半轴长为2ab，短半轴长为b，222221122cbbeaab；（2）设斜率为1的直线l的方程为yxm，且11,A x y、22,B xy，1b，椭圆C的方程为22:22xy，由2222yxmxy，.消去y得2234220 xmxm
11、，又有1221243223mxxmxx.22221212121688422423933mmABxxxxx xm2 113，解得：214m满足，直线l的方程为102xy.故O到直线的距离12242d，112 11222223412AOESABd21（本小题满分12 分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF 平面 ABCD 四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且ADBC，ABD是边长为1 的等边三角形，M为线段 BD中点，BC3（1）求证：AFBD；（2）求直线MF与平面 CDE所成角的正弦值；（3）线段 BD上是否存在点N，使得直线CE 平面 AFN？若存在，求的值；若不存
12、在，请说明理由【答案】证明：（1）因为 ADEF为正方形，所以AFAD 又因为平面ADEF 平面 ABCD，且平面ADEF 平面 ABCD AD，所以 AF 平面 ABCD 所以 AFBD 解：（2）取 AD中点 O，EF中点 K，连接 OB，OK 于是在 ABD中，OB OD，在正方ADEF中 OK OD，又平面 ADEF 平面 ABCD，故 OB 平面 AFEF，进而 0BOK，即 OB，OD，OK两两垂直分别以 OB，OD，OK为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）于是，所以设平面 CDE的一个法向量为n（x，y，z），则，令 x 5，则，则（5，0）设直线 MF与平面 C
13、DE所成角为，则直线 MF与平面 CDE所成角的正弦值为：sin|cos|（3）要使直线CE 平面 AFN，只需 AN CD，设，则，所以，又，所以线段BD上存在点N，使得直线CE 平面 AFN，且22(本小题满分12 分）如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由试题解析：（）解：设椭圆的半焦距为依题意，得，且，解得所以，椭圆的方程是（）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为将直线的方程代入，消去，整理得设，则，（1）因为，且直线的斜率均存在，所以，整理得（2）因为，所以，（3）将（3）代入（2），整理得（4）将（1）代入（4），整理得解得，或（舍去）所以，直线恒过定点证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为将直线的方程代入，消去，得解得，或设，所以，所以以替换点坐标中的，可得从而，直线的方程是依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上在上述方程中，令，解得所以，直线恒过定点