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1、江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-1-/17 江苏天一中学、海门中学、盐城中学2011 届高三调研考试数学统一考试试卷（2011-02-24）一、填空题：（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1已知,1,121iziz且12111zzz，则z（-i）2 已 知 等 比 数 列na中，各 项 都 是 正 数，且2312,21,aaa成 等 差 数 列，则87109aaaa=（223）3函数xxxfsincos3)()22(x的值域为2,14下图是一个算法的流程图，则输出n的值是（5）5 观察xx2)(2，344
2、)(xx，xxsin)(cos，由归纳推理可得：若定义在R上的函数)(xf满 足)()(xfxf，记()g x为)(xf的 导 函 数，则)(xg与()g x的 关 系 是（)(xg+()g x=0）6已知、表示两个不同的平面，m是平面内的一条直线，则“”是“m”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”之一）“必要不充分”7用数字1,2,3 作为函数cbxaxy2的系数，则该函数有零点的概率为（31）8已知点),(baM在由不等式组200yxyx所确定的平面区域内，则),(babaN所在的平面区域的面积为（4）9 给出下列四个命题：函数)32sin(3)(xxf
3、的图象关于点)0,6(对称；若1ba，则bbaa11；存在实数x，使0123xx；设),(11yxP为圆9:221yxO上任意一点，圆1)()(:222byaxO，当1)()(2121byax时，两圆相切其中正确命题的序江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-2-/17 号是（把你认为正确的都填上）（）10在ABC中，2,4 ACAB，M是ABC内一点，且满足02MCMBMA，则BCAM=（-3）11 在直角坐标系中，过双曲线1922yx的左焦点F作圆122yx的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，则MTOM=（2）12在斜三角形ABC中
4、，角CBA,所对的边分别为cba,，若1tantantantanBCAC，则222cba（3）13在等差数列na中，nS表示其前n项，若mnSn，)(nmnmSm，则mnS的取值范围是（4，）14设函数|1)(xxxf)(Rx，区间)(,babaM，集合MxxfyyN),(|，则使NM成立的实数对),(ba有对（0）江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-3-/17 2011 届高三调研考试数学试卷答卷一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分1234567891011121314二、解答题（本大题共6 小题，共90 分解答时应写出必要的文字说明
5、、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14 分）A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，,),0(,OPOAOQAOP四边形OAQP的面积为S求SOQOA的最大值及此时的值0；设点,),54,53(AOBB在的条件下求)cos(016（本小题满分14 分）如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE是直角梯形，90BED，BECD，AB=6，BC=5，31BECD，侧面 ABE 底面 BCDE，90BAE求证：平面ADE平面 ABE；过点 D 作面平面 ABC，分别于 BE，AE交于点 F，G，求DFG的面积17（本小题满分14 分）如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方
6、向航行，而在离港口a13（a为正常数）海里的北偏东角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan，E B C D A 第 16 题图江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-4-/17 132cos现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东 m 海里的B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜 求 S关于 m 的函数关系式)(mS；应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜18（本小题满分16 分）如图，已知椭圆12:22yxC的左
7、、右焦点分别为21,FF，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，圆M是以2PF为直径的圆当圆M的面积为8，求PA所在的直线方程；当圆M与直线1AF相切时，求圆M的方程；求证：圆M总与某个定圆相切19（本小题满分16 分）在数列na中，121,411,111nnnnabaaa，其中Nn求证：数列nb为等差数列；设nbnc2，试问数列nc中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由 已 知 当Nn且6n时，mnnm)21()31(，其 中nm,2,1，求 满 足 等 式nbnnnnbn)3()2(43的所有n的值Z 东北A B C O OAP1FM 2Fxy江苏省盐城中学
8、、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-5-/17 20（本小题满分16 分）已知函数1)(xax，a 为正常数若)(ln)(xxxf，且 a29，求函数)(xf的单调增区间；在中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点11,yxA，22,yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0 xfk若)(ln)(xxxg，且对任意的2,0,21xx，21xx，都有1)()(1212xxxgxg，求a的取值范围江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-6-/17 附加题21已知1O与2O的极坐标方程分别为sin4,c
9、os4(1)写出1O和2O的圆心的极坐标；(2)求经过1O和2O交点的直线的极坐标方程22若2011201122102011)21(xaxaxaax（Rx），求20112011221222aaa的值23如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面 PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面 ABCD是边长为2 的菱形，60BAD，M 为 PC上一点，且PA 平面 BDM求证：M 为 PC中点；求平面ABCD与平面 PBC所成的锐二面角的大小A P B C D M 第 23 题图江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-7-/17 24 已知抛物线L的方程为022ppyx
10、，直线xy截抛物线L 所得弦24AB求 p 的值；抛物线L上是否存在异于点A、B的点 C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点 C处有相同的切线若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-8-/17 三校联考数学试卷及评分标准填空题答案：-i；223；2,1；5；)(xg+()g x=0；必要不充分；31；4；-3；2；3；（4，）；0 二、解答题（本大题共6 小题，共90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14 分）A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，,),0(,OPOAOQ
11、AOP四边形OAQP的面积为S求SOQOA的最大值及此时的值0；设点,),54,53(AOBB在的条件下求)cos(0答案：解:由已知)sin,(cos),0,1(PA3 OPOAOQ，)sin,cos1(OQ又,sinS1)4sin(21cossinSOQOA)0(故SOQOA的最大值是12，此时40,8,),54,53(AOBB54sin,53cos10)cos(0=1027)cos(sin22)4cos(14 16（本小题满分14 分）如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE是直角梯形，90BED，BECD，AB=6，BC=5，31BECD，侧面 ABE 底面 BCDE，90BAE求证：
12、平面ADE平面 ABE；过点 D 作面平面 ABC，分别于 BE，AE交于点 F，G，求DFG的面积E B C D A 第 16 题图江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-9-/17 答案：（1）证明：因为侧面ABE 底面 BCDE，侧面 ABE 底面 BCDE=BE，DE底面 BCDE，DEBE，所以 DE平面 ABE，所以 ABDE，又因为AEAB，所以 AB平面 ADE，所以平面ADE平面 ABE；7（2）因为平面平面 ABC，所以DFBC，同理FGAB9 所以四边形BCDF为平行四边形所以BFCDBCDF,5，因为31BECD，所以32EBEF所以43
13、2ABFG11 由易证：FG平面 ADE，所以DGFG，所以3DG所以DFG的面积6S14 17（本小题满分14 分）如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在离港口a13（a为正常数）海里的北偏东角的 A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan，132cos现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东 m 海里的B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜 求 S关于 m 的函数关系式)(mS；应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜Z
14、 东北A B C O E B C D A G F 江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-10-/17 答案：解以 O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线 OZ 方程为xy32 设点00,yxA，则aaax313313sin130，aaay213213cos130，即aaA2,3，又0,mB，所以直线AB的方程为mxmaay32上面的方程与xy3联立得点)736,732(amamamamC5)37(733|21)(2amamamyOBmSC8 328)3149492(314)37(949)37()(222aaaaaamaamamS12 当
15、且仅当)37(949372amaam时，即am314时取等号，14 18（本小题满分16 分）如图，已知椭圆12:22yxC的左、右焦点分别为21,FF，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，圆M是以2PF为直径的圆当圆M的面积为8，求PA所在的直线方程；当圆M与直线1AF相切时，求圆M的方程；求证：圆M总与某个定圆相切答案：解易得0,11F，0,12F，1,02A，设11,yxP，则2121212121222212111xxxyxPF，22222112xxPF，2 又圆M的面积为8，21288x，解得11x，22,1P或22,1，OAP1FM 2Fxy江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届
16、高三数学调研考试新人教版-11-/17 PA所在的直线方程为1221xy或1221xy；4 直 线1AF的 方 程 为01yx，且2,2111yxM到 直 线1AF的 距 离 为111422221221xyx，化简得1211xy，6 联立方程组1212212111yxxy，解得01x或981x8 当01x时，可得21,21M，圆M的方程为21212122yx；9 当981x时，可得187,181M，圆M的方程为16216918718122yx；10 圆M始终与以原点为圆心，半径21r（长半轴）的圆（记作圆O）相切证明：121212121422284141441xxxyxOM，14 又圆M的半径
17、1224222xMFr，21rrOM，圆M总与圆 O 内切16 19（本小题满分16 分）在数列na中，121,411,111nnnnabaaa，其中Nn求证：数列nb为等差数列；设nbnc2，试问数列nc中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由 已 知 当Nn且6n时，mnnm)21()31(，其 中nm,2,1，求 满 足 等 式nbnnnnbn)3()2(43的所有n的值答案：证明：11211212112112111nnnnnnaaaabb2数列nb为等差数列4 解：假设数列nc中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第)(,qrpqrp项，江苏省盐
18、城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-12-/17 由得nbn，nnc2，5qpr2222，pqpr21217 又pr12为偶数，pq21为奇数9 故不存在这样的三项，满足条件10 由得等式nbnnnnbn)3()2(43可化为nnnnnn)3()2(43即1)32()34()33(nnnnnnn1)311()311()31(nnnnnnnn12当6n时，mnnm)21()31(，,21)311(nn,)21()321(2nn,)21()31(nnnn1)21(1)21()21(21)311()311()31(2nnnnnnnnnn当6n时，nnnnnn)3()2(4
19、314当5,4,3,2,1n时，经验算3,2n时等号成立满足等式nbnnnnbn)3()2(43的所有3,2n1620（本小题满分16 分）已知函数1)(xax，a 为正常数若)(ln)(xxxf，且 a29，求函数)(xf的单调增区间；在中当0a时，函数)(xfy的图象上任意不同的两点11,yxA，22,yxB，线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0 xfk若)(ln)(xxxg，且对任意的2,0,21xx，21xx，都有1)()(1212xxxgxg，求a的取值范围答案：解：222)1(1)2()1(1)(xxxaxxaxxf江苏省盐城中学、天一中学、海门中
20、学2011 届高三数学调研考试新人教版-13-/17 a29，令0)(xf得2x或210 x函数)(xf的单调增区间为),2(),21,0(4证明：当0a时xxfln)(xxf1)(210021)(xxxxf又121212121212lnlnln)()(xxxxxxxxxxxfxfk不妨设12xx，要比较k与)(0 xf的大小，即比较1212lnxxxx与212xx的大小，又12xx，即比较12lnxx与1)1(2)(212122112xxxxxxxx的大小令)1(1)1(2ln)(xxxxxh8 则0)1()1()1(41)(222xxxxxxh)(xh在,1上位增函数又112xx，0)1(
21、)(12hxxh，1)1(2ln121212xxxxxx，即)(0 xfk101)()(1212xxxgxg，0)()(121122xxxxgxxg由题意得xxgxF)()(在区间2,0上是减函数121当xxaxxFx1ln)(,21，1)1(1)(2xaxxF江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-14-/17 由313)1()1(0)(222xxxxxxaxF在2,1x恒成立设)(xm3132xxx，2,1x，则0312)(2xxxm)(xm在2,1上为增函数，227)2(ma142当xxaxxFx1ln)(,10，1)1(1)(2xaxxF由11)1()1
22、(0)(222xxxxxxaxF在)1,0(x恒成立设)(xt112xxx，)1,0(x为增函数0)1(ta综上：a 的取值范围为227a16附加题21已知1O与2O的极坐标方程分别为sin4,cos4(1)写出1O和2O的圆心的极坐标；(2)求经过1O和2O交点的直线的极坐标方程答案：解：(1)1O和2O的圆心的极坐标分别为)23,2(),0,2(2)以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系下1O与2O的方程分别为04,042222yyxxyx 6则经过1O和2O交点的直线的方程为xy其极坐标方程为4（R）1022若2011201122102011)21(xaxaxaax（
23、Rx），求20112011221222aaa的值答案：解：由题意得：2011,2,1,)2(2011rCarrr，2江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-15-/17 201120112010201132011220111201120112011221222CCCCCaaa，6 0201120112010201132011220111201102011CCCCCC8 122220112011221aaa10 23如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面 PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面 ABCD是边长为2 的菱形，60BAD，M 为 PC上一点，且PA
24、 平面 BDM求证：M 为 PC中点；求平面ABCD与平面 PBC所成的锐二面角的大小证明连接 AC与 BD交于 G，则平面PAC 平面 BDM=MG，由 PA 平面 BDM，可得 PA MG，底面 ABCD是菱形，G 为 AC中点，MG 为 PAC中位线，M 为 PC中点4 取 AD 中点 O，连接 PO，BO，PAD是正三角形，POAD，又平面PAD平面 ABCD，PO平面 ABCD，底面 ABCD是边长为2 的菱形，60BAD，ABD 是正三角形，ADOB，OA，OP，OB 两两垂直，以O 为原点OA，OB，OP分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如右图所示，则0,0
25、,1A，0,3,1B，0,0,1D，3,0,0P，3,0,1DP，0,3,1AB，23,23,02121ABDPDCDPDM，3,3,0BP，0,0,2DACB，A P z C D M B x y G O A P B C D M 第 23 题图江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-16-/17 023230BPDM，0000CBDM，DMBP，DMCB，DM平面 PBC，22,cosDMOP平面 ABCD与平面 PBC所成的锐二面角的大小为410 24 已知抛物线L的方程为022ppyx，直线xy截抛物线L 所得弦24AB求 p 的值；抛物线L上是否存在异于点
26、A、B的点 C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点 C处有相同的切线若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：由pyxxy22解得)2,2(),0,0(ppBApppAB22442422，2p4 由得)4,4(),0,0(,42BAyx假设抛物线L 上存在异于点A、B的点 C)4,0()4,(2tttt，使得经过A、B、C 三点的圆和抛物线 L在点 C处有相同的切线令圆的圆心为),(baN，则由NCNANBNA得222222222)4()()4()4(tbtabababa得83248481244222ttbttatttbaba6 抛物线L在点 C处的切线斜率)0(2|ttyktx又该切线与NC垂直，0412212432ttbtattatb08204128324)84(223322tttttttttt8 4,0 tt，2t故存在点C且坐标为（-2,1）10 江苏省盐城中学、天一中学、海门中学2011 届高三数学调研考试新人教版-17-/17