《河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题数学(理)【含解析】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省石家庄二中2020届高三上学期12月月考试题数学(理)【含解析】.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、河北省石家庄二中2020 届高三上学期12 月月考试题数学（理）一.选择题（每题5 分，共 60 分）1.已知复数1iiz（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.1 B.-1 C.iD.i【答案】A【解析】【分析】先计算出复数z，求出共轭复数z，再由复数的定义得结论【详解】21ii(1)1zi iii，1zi，其虚部为1故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数及复数的定义属于基础题2.已知集合1|01xAxx，2|log(3),By yx xA，则AB=（）A.(,1)2,)B.(,1)1,)C.1,2D.1,2【答案】D【解析】【分析】解分式不等式得集合A，求对数函数的值域得集合B
2、，再由并集概念计算【详解】由题意101xx(1)(1)010 xxx(1)(1)01xxx11x，(1,1A，11x时，234x，21log(3)2x，(1,2B，(1,2AB故选：D.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质解分式不等式要注意分母不为03.函数2eexxfxx的图像大致为 ()A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()xxeexfxfxfxx为奇函数，舍去A,1(1)0fee舍去 D;243()()2(2)(2)()2,()0 xxxxxxeexeexxexefxxfxxx，所以舍去C；因此选B.点睛
3、：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复4.石家庄春雨小区有3 个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4 名水暖工，现要求这 4 名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（）种A.12 B.24 C.36 D.72【答案】C【解析】【分析】4 人分配到3 个家庭，有一家去2 人由此利用排列组合的知识可得【详解】4 名水暖工分配到3 个家庭，其中有2 人去同一家，因此分配
4、方案数为234336C A故选：C【点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题方法是分组分配法5.若双曲线2222:1(0,0)yxCabab的离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A.12yxB.2yxC.2yxD.22yx【答案】D【解析】【分析】由离心率得3ca，再转化为,a b的关系即得【详解】由题意3ca，即222223cabaa，222ba，22ab，渐近线方程为：22yx故选：D.【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题方法就是由离心率得,a b的关系，但要注意双曲线的标准方程，渐近线的形式6.若03sinmxdx，则二项式12mxx的展开式中的常数项为（）A.6 B.12 C.
5、60 D.120【答案】C【解析】【分析】先由微积分基本定理求得m，然后由二项展开式通项公式求出常数项【详解】03sinmxdx03cos|3(coscos0)6x，61122mxxxx，其展开式通项公式366621661(2)()2rrrrrrrTCxC xx，令3602r，4r，常数项为2456260TC故选：C【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，掌握这两个定理是解题基础7.如图中共顶点的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为()A.e1e2e3e4B.e2e1e3e4C.e1e2e4e3D.e2e1e4e3【答案】C【解析】【详解】根据椭圆越扁离心率越
6、大可得到0e1e21 根据双曲线开口越大离心率越大得到1e4e3可得到e1e2 e4 e34,故选 C8.在正方体1111ABCDA B C D中，M、N分别为棱1AA和1BB的中点，则异面直线CM与1D N所成角的正弦值为（）A.4 59B.4 59C.19D.19【答案】A【解析】【分析】以正方体的棱所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量法求解【详解】如图，以1,DA DC DD为,x y z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，1(2,0,2)A，1(2,2,2)B，1(0,0,2)D，(2,0,1)M，(2,2,1)N，所以(
7、2,2,1)CM，1(2,2,1)D N，1114411cos,999CMD NCM D NCMD N2114 5sin,1()99CM D N，异面直线CM与1D N所成角的正弦值为4 59故选：A【点睛】本题考查求异面直线所成的角，由于在正方体中，因此建立空间直角坐标系，用向量法求解9.函数()sin()|2f xx的图象如图所示，为了得到函数sin()yx的图象，只需把函数yfx的图象（）A.向右平移3个长度单位B.向左平移3个长度单位C.向右平移23个长度单位D.向左平移23个长度单位【答案】A【解析】【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后结合图象变换得结论【详解】由题意74()12
8、3T，22，又7322,122kkZ，而2，3，()sin(2)3f xx，sin(2)sin2()333yxx，因此只要向右平移3个单位就满足题意故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查由函数图象求解析式解题关键是掌握“五点法”掌握三角函数的图象变换的概念10.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0 x时，()31xf x，则使不等式839xxfee成立的x的取值范围是（）A.(ln3,)B.(0,ln 3)C.,ln3D.1,3【答案】C【解析】【分析】由奇函数性质确定函数在R上的单调性，然后利用函数单调性化简不等式，再解指数不等式【详解】当0 x时，()31xf x是增函数且(
9、)0f x，又函数fx是定义在R上的奇函数，则00f满足31xf x，所以，函数yfx在R上是连续函数，所以函数fx在R上是增函数，8(2)9f，8(2)(2)9ff83(2)9xxf eef，32xxee，即2230 xxee，(3)(1)0 xxee，又10 xe，3xe，ln3x，即原不等式的解集为(,ln3)故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解指数不等式利用奇偶性与单调性可化函数不等式为一般的无函数号“f”的不等式，在解指数不等式时要注意指数函数的值域，即0 xe11.己知函数1()2xfxex，2()3g xxmxm，若存在实数12,x x，使得120fxg x，且
10、121xx，则实数m的取值范围为（）A.7,3B.72,3C.2,)D.2,3【答案】D【解析】【分析】首先确定11x，根据题意问题转化为2()3g xxmxm在0,2 上有零点再用分离参数法转化为求函数值域【详解】易知1()2xf xex是R上的增函数，且(1)0f，()f x 只有一个零点1，即11x，问题变为2()3g xxmxm在0,2上有零点由2()30g xxmxm得231xmx，令1tx，当0,2x时，11,3tx，2(1)342tmttt，由双勾函数的单调性可知，当1,2t时，42mtt递减，当2,3t时，42mtt递增，42mtt的最小值是2，最大值是3即2,3m故选：D.【
11、点睛】本题考查函数零点分布问题，考查转化与化归能力题中两个函数的零点问题，通过一个函数的零点确定，转化为另一个函数的零点范围然后再转化为求函数值域12.已知数列na满足112a，*11,2nnanaN，关于该数列有下述四个结论：*0Nn，使得01na；*nN，都有121na aan；使得210.999niiai成立一个充分不必要条件为99n；设函数2()ln 2xf x，fx为fx的导函数，则不等式2*1(1)()12,Nnnnfnnnaa有无穷多个解.其中所有正确结论编号为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由递推公式求出通项公式，然后验证各个选项【详解】*11,2nnanaN，1
12、21111111112nnnnnaaaaa，1121a，数列11na是首项为2，公差为1 的等差数列，1111na，1nnan，显然对任意*nN，1na，错；*nN，1212123111na aannnn，正确；21111111()10.999(1)111nnniiiianii iiinn，999n，正确；2()ln 2xf x，则()2xfx，不等式21(1)()1nnnfnaa为2211nn，即22nn，由数学归纳法可证当5n时，22nn恒成立，证明如下：(i)5n时，52232255，命题成立，(ii)假设nk(5k)时，命题成立，即22kk，则1nk时，122222222(1)(1)1
13、(1)kkkkkk，命题也成立，综上，对任意的正整数n，5n时，22nn恒成立所以22nn有无穷多个解，是错误的错误只有正确故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查数列的通项公式解题关键是求出数列通项公式本题中第4 个命题有一些难度题中证明是用数学归纳法给出的当然对我们学生来讲这样的结论可能都记得，反而不显得有难度二.填空题（每题5 分，共 20 分）13.抛物线24yx的准线方程为_.【答案】116y【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14.已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为 _.【答案】212【解析】【分析】先利用累加法求出a
14、n33+n2n，所以331nannn，设f（n）331nn，由此能导出n5 或 6 时f（n）有最小值借此能得到nan的最小值【详解】解：an+1an2n，当n2 时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a121+2+（n 1）+33 n2n+33 且对n1 也适合，所以ann2n+33从而331nannn设f（n）331nn，令f（n）23310n，则f（n）在33，上是单调递增，在033，上是递减的，因为nN+，所以当n5 或 6 时f（n）有最小值又因为55355a，66321662a，所以nan的最小值为62162a故答案为212点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项
15、公式，考查了累加法还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性15.若实数x，y满足约束条件020 xyxy，则11xy的取值范围为_.【答案】1,1【解析】【分析】作出可行域，利用11yx的几何意义求解【详解】作出可行域，如图OAB内部（不含虚线边界，含实线边界），令11xzy，1x时，0z，1x时，111yzx表示可行域内点(,)Q x y 与点(1,1)P连线的斜率，111POk，1112PAk，由图可知11z或11z，所以10z或01z，综上11z故答案为：(1,1【点睛】本题考查简单线性规划中的非线性目标函数的取值范围问题解题关键是理解目标函数的意义由几何意义求解是解题的基本方法
16、16.在平行四边形ABCD中，0AB BD，沿BD将四边形折起成直二面角ABDC，且|2|2ABBD，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_.【答案】4【解析】【分析】由0AB BD得ABBD，结合直二面角ABDC，可证AB平面BCD，从而有ABBC，因此AC中点O就是外接球球心由此可求得表面积【详解】由0AB BD得ABBD，又平面ABD平面BCD，AB平面BDC，ABBC，同理CDAD，取AC中点O，则O到四顶点的距离相等，即为三棱锥ABCD的外接球的球心222222222ACCDADCDBDABABBD，|2|2ABBD，222|2|22 2ABBDABAB BDBD2224ABBD，24
17、AC，2AC，224()42S故答案为：4【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是找到外接球球心利用直角三角形寻找球心是最简单的方法三棱锥外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线三.解答题（共70 分）（一）必考题（共60 分）17.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(cos,cos)mBC，(2,)nac b，且mn.（1）求角B的大小；（2）若13b，4ac，求ABC的面积.【答案】(1)23B(2)3 34【解析】【分析】（1）由mn，得0m n，由正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦公式变形，结合诱导公式可求得cosB，从而得B角（2）由余弦定理可求得ac，从
18、而可求得面积【详解】（1）mn，(2)coscos0m nacBbC，即2 coscoscos0aBcBbC由正弦定理可得，2sincossincossincos0ABCBBC即2sincossin()2sincossinsin(2cos1)0ABBCABAAB,(0,)A B，sin0A，2cos10B，即1cos2B，23B（2）由余弦定理，22222cos()2(1cos)bacacBacacB13b，4ac，1316ac，3ac则ABC的面积13 3sin24SacB【点睛】本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查两角和的正弦公式及诱导公式掌握公式会
19、使用即可考查的知识点较多，本题属于中档题18.已知数列na满足125a，且*113220,Nnnnna aaan，数列nb为正项等比数列，且123bb，34b.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）令2nnnbca，12nnSccc，求证：101nS.【答案】(1)2,N*32nann，1*2,Nnnbn(2)证明见解析【解析】【分析】（1）变形已知等式得数列2na为等差数列，从而可求通项公式，数列nb是等比数列，用基本量法可求得通项公式；（2）用错位相减法求得和nS，即可证结论成立【详解】（1）113220nnnna aaa，*1223,nnnNaa2na为等差数列，首项为125a，公差为
20、3 253(1)32nnna，2,N*32nannnb为正项等比数列，设公比为0q q，则121(1)3bbbq，2314bb q整理得23440qq，解得2q，11b，1*2,Nnnbn（2）12(32)2nnnnbcna21582112(32)2nnSn2125282(31)2(32)2nnnSnn-得215323232(32)2nnnSn53(22)(32)2nnn,(31)21nnSn*Nn，1nS，101nS，得证.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和基本量法是求等差数列和等比数列的通项公式的常用方法19.如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱
21、形，PA平面ABCD，60ABC，E，F分别是BC，PC的中点.（1）求证：AEPD；（2）若直线PB与平面PAD所成角的余弦值为104，求二面角EAFC的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)155【解析】【分析】（1）在底面菱形中可得AEBC，AEAD.由PA平面ABCD，得PAAE.从而有线面垂直，因此线线垂直；（2）由于图中有AE，AD，AP两两垂直，因此以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，设2AB，APa，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a，再求解二面角【详解】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC，可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点
22、，所以AEBC.又/BC AD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA，所以AE平面PAD，又PD平面PAD.所以AEPD.（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图，设2AB，APa，则(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0)ABC，(0,2,0),(0,0,),(3,0,0)DPaE，3 1,22 2aF所以(3,1,)PBa，且3,0,0AE为平面PAD的法向量，设直线PB与平面PAD所成的角为，由10cos4，则有2|36sin|cos,|4|43PB AE
23、PB AEPBAEa解得2a所以(3,0,0)AE，31,122AF设平面AEF的一法向量为111,mx y z，则00m AEm AF，因此11113031022xxyz取11z，则(0,2,1)m因为,BDAC BDPA PAACA，所以BD平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量又(3,3,0)BD所以5c|os231,5512|m BDmBDm BD.因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为155【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查用空间向量法求线面角和二面角本题对学生的空间想象能力，运算求解能力有一定的要求20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离
24、心率为32，过椭圆E的左焦点1F且与x轴垂直的直线与椭圆E相交于的P，Q两点，O为坐标原点，OPQ的面积为32.（1）求椭圆E的方程；（2）点M，N为椭圆E上不同两点，若22OMONbkka，求证：OMN的面积为定值.【答案】(1)2214xy(2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式32ca，PQ是椭圆的通径，通径长为22ba，这样OPQ的面积又提供一个等式212322bca，两者联立方程组结合222abc，可求得,a b得椭圆标准方程（2）设1122,Mx yN xy，由2214OMONbkka得12124x xy y，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为,(0)ykx
25、mm，代入椭圆方程并整理，得222148440kxkmxm.应用韦达定理得121 2,xx xx，代入12124x xy y可得,k m的关系，注意，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN，求出O到直线MN的距离，求得OMN的面积，化简可得为定值，同样直线MN的不斜率存在时，也求得OMN的面积和刚才一样，即得结论【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则32ca过椭圆左焦点1F且与x轴垂直的直线方程为xc，与椭圆方程联立解得2bya，所以22|bPQa，所以212322bca把代入，解得21b又2222234cabaa，解得24a所以E的方程为：2214xy（2）设1122,Mx yN xy，因为2
26、4a，21b，所以2214OMONbkka，即121214yyxx，即12124x xy y（i）当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为,(0)ykxmm，代入椭圆方程并整理，得222148440kxkmxm.则122814kmxxk，21224414mx xk22222(8)4 144416 14kmkmkm2222121212122414kmy ykxmkxmk x xkm xxmk所以2222244441414mkmkk，整理得22142km，代入，2160m222221212216 14|14114kmMNkxxx xkk，O到直线MN的距离2|1mdk，所以22222OMN 22
27、216 1411|2 14|1|2214141kmmkmSMNdkmkkk22222 2|12mmmmmmm，即OMN的面积为定值1 （ii）当直线MN的斜率不存在时，不妨设OM的斜率为12且点M在第一象限，此时OM的方程为12yx，代入椭圆方程，解得22,2M，此时OMN的面积为1222122.综上可知，OMN的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN的方程为ykxm，设交点11,Mxy，22,N xy，由直线方程与椭圆方程联立消
28、元，应用韦达定理可得121 2,xx xx，代 入OMONkk得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入121 2,xx xx化简同时求三角形的高，求出三角形面积注意还要讨论直线MN斜率不存在的情形21.已知函数21()sincos2fxxxxax，,x（1）当0a时，求()f x 的单调区间；（2）当0a，讨论()f x 的零点个数；【答案】（1）fx单调递减区间为：,02，,2；单调递增区间为：,2，0,2；（2）当220a时，fx在,上有 2 个零点，当22a时，fx在,上无零点.【解析】【分析】（1）先判断fx为偶函数，再利用导数研究0,x上的单调性，根据偶函数的对称性，得到答案.（2）先
29、求出导函数，然后对a按照1a，01a，进行分类讨论，当1a，得到()f x 在0,x单调递增，结合01f，判断出此时无零点，当01a，得到fx单调性，结合0f，f的值，以及偶函数的性质，得到零点个数.【详解】解：()()fxf x()f x 为偶函数，只需先研究0,x()sincosf xxxx()sincossincosfxxxxxxx当0,2x，()0fx，当,2x，()0fx，所以()f x 在0,2x单调递增，在,2x，单调递减所以根据偶函数图像关于y轴对称，得()f x 在,2x单调递增，在,02x单调递减，.故fx单调递减区间为：,02，,2；单调递增区间为：,2，0,2（2）()
30、cos(cos)fxxxaxxxa1a时，()(cos)0fxxxa在0,x恒成立()f x 在0,x单调递增又(0)1f，所以()f x,x上无零点01a时，0(0,)x，使得00cos0 xxa，即0cosxa.又cosx在(0,)单调递减，所以00,xx，()0fx，0,xx，()0fx所以00,xx，()f x 单调递增，0,xx，()fx 单调递减，又(0)1f，21()12fa（i）21102a，即221a时()f x 在0,上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在,上无零点（ii）21102a，即220a()f x 在0,上有 1 个零点，又()f x 为偶函数，所以
31、()f x 在,上有 2 个零点综上所述，当220a时，fx在,上有 2 个零点，当22a时，fx在,上无零点.【点睛】本题考查偶函数的性质，利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，涉及分类讨论的思想，属于中档题.（二）选考题（共10 分）请考生在第22，23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目的题号右侧方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线3cos:sinxCy（为参数，且02）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线:cossinlm经过点4 2,4M.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2
32、）求曲线C上的点N到直线l的距离的最小值，以及此时点N的坐标.【答案】（1）曲线22:13xCy，直线:80lxy；（2）最小值是3 2，N3 1(,)2 2【解析】【分析】（1）由22cossin1消元后可得曲线的普通方程，由公式cossinxy可得直线的直角坐标方程；（2）(3 cos,sin)N，由点到直线距离公式求出点到直线的距离，结合三角函数知识可求得最小值及相应点的坐标【详解】（1）由由22cossin1得2213xy，此为 C的普通方程，直线:cossinlm经过点4 2,4M，则4 2(cossin)844m，直线l的直角坐标方程为8xy，即80 xy（2）设(3 cos,si
33、n)N，0,2)，则3cossin82d2sin()832，当sin()13，即6时，min3 2d，此时N点坐标为3 1(,)2 2【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cossinxy是解题基础23.已知函数()|1|2|fxxx.（1）求不等式1fx的解集；（2）记fx的最大值为m，且正实数a，b满足1122mabab，求ab的最小值.【答案】（1）1,)；（2）49【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值【详解】（1）当2x时，()1(2)31fxxx恒成立，2x，当12x时，()12211f xxxx，解得12x，当1x时，()(1)231f xxx不成立，无解，综上，原不等式的解集为1,)（2）由（1）3m，11322abab，111(2)(2)()922ababababab122(2)922abababab122(22)922ababab ab49，当且仅当2222abababab，即29ab时等号成立，a b的最小值是49【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值