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1、第四章圆与方程本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐
2、标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.本章教学时间约需9 课时,具体分配如下(仅供参考):4.1.1 圆的标准方程1 课时4.1.2 圆的一般方程1 课时4.2.1 直线与
3、圆的位置关系2 课时4.2.2 圆与圆的位置关系2 课时4.3.1 空间直角坐标系1 课时4.3.2 空间两点间的距离公式1 课时本章复习1 课时4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程整体设计教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要
4、求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施,都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.三维目标1.使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合
5、思想,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力.2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能力.3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验圆的对称性,感受数学美.重点难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.课前准备：(用淀粉在
6、一张白纸上画上海和山)说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程.思路 2.同学们,我们知道
7、直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.推进新课新知探究提出问题已知两点A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆？图1 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图 1 我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为C(a,b),圆的半径为r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时
8、,圆的方程是什么？讨论结果：根据两点之间的距离公式221221)()(yyxx,得|AB|=212)59()62(22,|CD|=22)8()3(yx.平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心C 是定点,圆周上的点M 是动点,它们到圆心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数,r 0).设M(x,y)为 这 个 圆 上 任 意 一 点,那 么 点
9、M满 足 的 条 件 是(引 导 学 生 自 己 列出)P=M|MA|=r,由 两 点 间 的 距 离 公 式 让 学 生 写 出 点M适 合 的 条 件22)()(byax=r.将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程,反之若点 M 的坐标满足方程,这就说明点M 与圆心 C 的距离为r,即点 M 在圆心为C 的圆上.方程就是圆心为C(a,b),半径长为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程.这是二元二次方程,展开后没有xy 项,括号内变数x,y 的系数都是1.点(a,b)、
10、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：圆的标准方程(xa)2(y b)2=r2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r 且 r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为：1 根据题意,设所求的圆的标准方程(xa
11、)2(yb)2=r2；2 根据已知条件,建立关于a、b、r 的方程组；3 解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：当点 M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.当点 M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1 点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2 r2,点在圆外;2
12、 点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3 点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2 r2,点在圆内.应用示例思路 1例 1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是 3；圆心在点C(3,4),半径是5;(3)经过点 P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(1,3),并且和直线3x-4y-7=0 相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即 x2+y2=9.(2)由于圆心在点C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2
13、,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方 法 一:圆 的 半 径r=|CP|=25)31()85(22=5,因 此 所 求 圆 的 标 准 方 程 为(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设 圆 的 标 准 方 程 为(x-1)2+(y-3)2=r2,由 圆 心 到 直 线 的 距 离 等 于
14、圆 的 半 径,所 以r=25|16|25|7123|.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=25256.点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2 写出圆心为A(2,-3),半径长等于5 的圆的方程,并判断点M1(5,-7),M2(-5,-1)是否在这个圆上.解:圆心为 A(2,-3),半径长等于5 的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点 M1(5,-7),M2(-5,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,则 M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,
15、然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程 从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上 从代数到几何.例 3 ABC 的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定a、b、r 三个参数.另外可利用直线AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们
16、的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是)3(.)8()2()2()3()7()1(,)1()5(222222222rbarbarba解此方程组得.5,3,2rba所以 ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=21(x-6).同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5).解由组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径 r=22)31()25(=5,所以 ABC 的外接圆的方程为
17、(x-2)2+(y+3)2=25.点评:ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心,它是 ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰富解题思路.思路 2例 1 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2的长度(精确到 0.01 m).图 2 解:建立坐标系如图,圆心在 y 轴上,由题意得P(0,4),B(10,0).设圆的方程为x2+(y-b)2=r2,因为点 P(0,4)和 B(10,0)在圆上,所以.)0(10,)4(0222222rbrb解得,5.1
18、4,5.1022rb所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.设点 P2(-2,y0),由题意 y00,代入圆方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,解得 y0=2225.14-10.5 14.36-10.5=3.86(m).答：支柱 A2P2的长度约为3.86 m.例 2 求与圆 x2+y2-2x=0 外切,且与直线x+3y=0 相切于点(3,-3)的圆的方程.活动:学生审题,注意题目的特点,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆
19、的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆 x2+y2-2x=0 的圆心为(1,0),半径为 1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即22)0()1(ba=r+1,由圆与直线x+3y=0 相切于点(3,-3),得?)3(.)3(1|3|)2(,1)31(332rbaab解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-43,r=6.故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4 或 x2+(y+43)2=36.点评:一般情况下,如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出),可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点O 和点 P(1,3),圆心
20、在直线y=x+2 上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因为点 O(0,0)和 P(1,3)在圆上,所以,)23()1(,)20()0(222222raaraa解得.825,412ra所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825.解法二：由题意：圆的弦OP 的斜率为3,中点坐标为(21,23),所以弦 OP 的垂直平分线方程为y-23=-31(x-21),即 x+3y-5=0.因为圆心在直线y=x+2 上,且圆心在弦OP 的垂直平分线上,所以由,053,2yxxy解得,47,41y
21、x,即圆心坐标为C(-41,47).又因为圆的半径r=|OC|=825)47()41(22,所以所求的圆的方程为(x+41)2+(y-47)2=825.点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r 三个量,要求圆的标准方程即要求a、b、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例 3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线y=-2x 上且与直线y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x-1 所得弦长为22.解:(1)设 圆 心 坐 标 为(a,-2a),由 题 意 知 圆 与 直 线y=1-x相 切 于 点(2,-1),所 以2222
22、)12()2(11|12|aaaa,解 得a=1.所 以 所 求 圆 心 坐 标 为(1,-2),半 径r=22)12()21(=2.所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设 圆 的 方 程 为(x-2)2+(y+1)2=r2(r 0),由 题 意 知 圆 心 到 直 线y=x-1的 距 离 为d=2211|112|=2.又直线 y=x-1 被圆截得弦长为22,所以由弦长公式得r2-d2=2,即 r=2.所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了
23、许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.知能训练课本本节练习1、2.拓展提升1.求圆心在直线y=2x 上且与两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导,求圆的方程,无非就是确定圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离d=2221BACC=2,所以半径为r=2d=1.方法一：设与两直线3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0,由平行线 间 的 距 离 公 式d=2221|BACC,得222234|3|43|7|kk,即k=-2,所
24、以 直 线 方 程 为3x+4y-2=0.解 3x+4y-2=0 与 y=2x 组成的方程组,2,0243xyyx得,114,112yx,因此圆心坐标为(112,114).又半径为r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1.方法二：解方程组.113,116117,1114,2,0343,2,0743xyxyxyyxxyyx和得与因此圆心坐标为(112,114).又半径 r=1,所以所求圆的方程为(x-112)2+(y-114)2=1.点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.课堂小结圆的标准方程.点与圆的位置关系的判断方法.根据已知条件求圆的标准方
25、程的方法.利用圆的平面几何的知识构建方程.直径端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题4.1 A 组第 2、3 题.设计感想圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方
26、程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心,高效地完成本节的学习任务.