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1、用心爱心专心1 高二数学“每周一练”系列试题（20）1已知数列 an 的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的nN满足关系式2Sn3an3.（1）求数列 an的通项公式；（2）设数列 bn的通项公式是bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正数n，总有 Tn1.2已知各项均为正数的数列 an 前 n 项和为 Sn，首项为a1，且 2，an，Sn成等差数列（1）求数列 an的通项公式；（2）求证：若bnlog2anan，Tn为数列 bn 的前 n 项和，则Tn0，当 n1 时，2a1 a12，a12.当 n2 时，Sn2an 2，Sn12an12，两式相
2、减得an2an2an1，整理得anan12.用心爱心专心3 数列 an是以 2 为首项，2 为公比的 等比数列ana1 2n1 2n（n N）（2）证明：由（1）知 an2n，bnn2n.Tn122438 n2n.12Tn1428316n2n1，得12Tn12141811612nn2n1，12Tn112nn2n1.Tn22n2n2.2解：（1）设 an的公差为d，bn 的公比为q，则 d 为正数，an3（n 1）d，bnqn1，依题意有S2b2(6d)q64，S3b3(93d)q2960，解得d2q8或d65，q403.（舍去）故 an 32（n1）2n1，bn 8n1.（2）Sn3 5（2n
3、1）n（n2），所以1S11S2 1Sn11 312 413 51n(n2)12（113121413151n1n2）12（1121n11n2）342n32(n1)(n 2).3解：（1）由已知得2Sn3an3，2Sn13an13(n2).故 2（SnSn1）2an3an3an1，即 an 3an1（n2）故数列 an为等比数列，且q3.又当 n1 时，2a13a13，a13.an3n（nN）（2）证明：bn1n(n1)1n1n1.Tnb1b2 bn（112）（1213）（1n1n1）11n 11.4解:（）设等差数列na的公差为 d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，
4、解得13,2ad，用心爱心专心4 所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n+2n。（）由（）知2n+1na，所以 bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+-)4223n n+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的 前 n 项和nT=n4(n+1)。5（I）证明：由题设可知，2122aa，3224aa，4348aa，54412aa，65618aa。从而655432aaaa，所以4a，5a，6a成等比数列。（II）解：由题设可得21214,*kkaak kN所以21121212123
5、31.kkkkkaaaaaaaa441.4 1kk21,*k kkN.由10a，得2121kak k，从而222122kkaakk.所以数列na的通项公式为221,2,2nnnann为奇数为偶数或写为21124nnna，*nN。（III）证明：由（II）可 知2121kak k，222kak，以 下分两种情况进行讨论：（1）当 n 为偶数时，设n=2m*mN若1m，则2222nkkkna，若2m，则22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakk k用心爱心专心5 21111441111222212121mmkkkkmmk kk kkk11312211222mmnmn.所以223122nkkknan，从而22322,4,6,8,.2nkkknna（2）当 n 为奇数时，设21*nmmN。22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaamm m11314222121mnmn所以2231221nkkknan，从而22322,3,5,7,.2nkkknna综合（1）和（2）可知，对任意2,*,nnN有322.2nnT