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1、广东省广州市番禺区广东仲元中学2020 届高三上学期 11 月月考试题理数学一、选择题1.若集合2xAy y，ln 1Bx yx，则AB（）A.0,B.0,1C.,1D.1,【答案】B【解析】【分析】先计算集合,A B，再计算AB得到答案.【详解】集合0,A，集合,1B，故0,1AB故选B【点睛】本题考查了交集的运算，属于基础题型.2.设复数 z 满足1 i2z，则z的最大值为（）A.2B.2 C.2 2D.4【答案】C【解析】【分析】通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.【详解】复数z对应复平面上的点是以1,1为圆心，2为半径的圆，故z的最大值即为圆的直径2 2故选C【点睛】本
2、题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.3.下列关于命题的说法错误的是（）A.“1”是“函数3sin3fxx最小正周期为2”的充要条件B.命题“若2320 xx，则2x”的逆否命题为“若2x，则2320 xx”C.命题“若随机变量1,4XN，0P Xm，则021 2PXm”为真命题D.若命题0:PnN，021000n，则:PnN，21000n【答案】A【解析】【分析】函数3sin3fxx最小正周期为2得到1，错误；根据逆否命题，否命题，正态分布的对称性得到BCD正确.【详解】A.1时函数3sin3fxx最小正周期也为2，故错误；B.根据逆否命题的定义知B正确；C.根据正态分布的
3、对称性知C正确；D.根据特称命题的否定得到D正确.故选A【点睛】本题考查了命题的判断，意在考查学生的推断能力.4.设0.23x，3log 2y，cos2z，则（）A.zyxB.yzxC.zxyD.xzy【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性分别比较与0,1 的大小关系得到答案.【详解】0.231x，30log 21y，cos20z，故zyx故选A【点睛】本题考查数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.5.已知平面向量1,am，2,5b，,3cm，且acab，则m（）A.3或 1 B.2或1C.3721D.3172【答案】D【解析】【分析】计算得到1,3acmm，1,5abm根据ac
4、ab计算得到答案.【详解】因为1,3acmm，1,5abm，acab153mmm，2320mm，解得3172m故选D【点睛】本题考查了向量的平行，意在考查学生的计算能力.6.在椭圆22142xy上有一点 P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，F1PF2为直角三角形，这样的点P有（）A.2 个B.4个C.6 个D.8 个【答案】C【解析】【分析】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,2)iB对1F、2F张开的角最大，可得90当1PFx轴或2PFx轴时，也满足题意即可得出【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点(0,2)iB对1F、2F张开的角最大，2b，2a，2c，此时90这样的点P有两个；当1PF
5、x轴或2PFx轴时，也满足题意这样的点P有 4 个；因此12F PF为直角三角形，则这样的点P有 6 个故选 C【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7.已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足2124nnaSn，且21a，3a，7a恰好构成等比数列的前三项，则4a（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根据2124nnaSn化简得到11nnaa，再根据21a，3a，7a成等比数列计算得到答案.【详解】2124nnaSn，当2n，21214nnaSn，两式相减，化简得2211nnaa，0na，11nnaa，数列na
6、是公差 1 的等差数列又21a，3a，7a恰好构成等比数列的前三项，211126aaa，12a，45a故选C【点睛】本题考查了数列的项的计算，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.8.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A.3213log2B.2log 3C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根据框图依次计算得到答案.【详解】22233,1;3log2,2;3log2log,3;2SiSiSi222343log2loglog4,423Si；2log 42S，输出答案.故选D【点睛】本题考查了框图算法，意在考查学生的阅读理解能力.9.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著
7、名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请100 名同学每人随机写下一个x，y都小于 1 的正实数对,x y；再统计两数能与1 构成钝角三角形三边的数对,x y的个数m；最后再根据统计数m估计的值，假如某次统计结果是28m，那么本次实验可以估计的值为（）A.227B.4715C.7825D.5317【答案】C【解析】【分析】根据约束条件22110 xyxy画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.【详解】0101xy而满足构成钝角三角形，则需22110 xyxy画出图像：弓形面积：28 110042，7825故选C【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题
8、的关键，意在考查学生的综合应用能力.10.设F为双曲线2222:10,0 xyCabab的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左.右支交于点PQ、，若2,60PQQFPQF，则该双曲线的离心率为（）A.13B.3C.23D.42 3【答案】A【解析】|PQ|=2|QF|,PQF=60,PFQ=90，设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q，由对称性可知,F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,13QFQF，不妨设1220F Fm m，则13,QFm QFm，故121223123F FcmeaQFQFmm.本题选择A选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(
9、或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式cea；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)11.在正方体1111ABCDA B C D中，P，Q分别为1AD，1BC上的动点，且满足1APB Q，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（）存在P，Q的某一位置，使ABPQBPQ的面积为定值当0PA时，直线1PB与直线AQ一定异面无论P，Q运动到何位置，均有BCPQA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依次判断，每个选项：当P，Q
10、分别为棱1AD，1B C的中点时满足，正确；取特殊位置BPQ的面积为变化，故错误；假设不成立推出矛盾，正确；BC 平面PFGQ，正确.得到答案.【详解】当P，Q分别为棱1AD，1B C的中点时满足，正确；当P与A重合时：212BPQSa；当P与1D重合时：222BPQSa（a为正方体边长），错误；当0PA时，假设直线1PB与直线AQ是共面直线，则AP与1B Q共面，矛盾，正确；如图所示：,F G分别为,P Q在平面内的投影，易证BC 平面PFGQ，正确.故选D【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力.12.设函数fx的定义域为R，fxfx且(2)fxfx，
11、当0,1x时，3fxx，则函数=|cos()|()g xxf x在区间1 3,2 2上的所有零点的和为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】函数 f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），可知函数是偶函数，f（x）=f（2-x），可知函数的对称轴为：x=1，当 x0，1 时，f（x）=x3，函数 g（x）=|cos（x）|-f（x）可知函数是偶函数，g（x）=|cos（x）|-f（x）=0，可得|cos（x）|=f（x），在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos（x）|，y=f（x）的图象如图：函数在区间1 1,2 2上的零点的和为：0函数在1 3,2 2时，两个函数的交点关于
12、x=1 对称，零点有3个，零点的和为：3故选 B点睛：本题考查函数与方程的综合应用，抽象函数以及数形结合思想方法的应用，考查作图能力以及计算能力，函数零点的问题都转化为两个函数图像的交点问题，数形结合的思想是本题要考查的关键.二、填空题13.等比数列na的前n项和为nS，若3221aS，4321aS，则公比q等于 _.【答案】3【解析】【分析】将题中两等式作差可得出4332aaa，整理得出433aa，由此可计算出43aqa的值.【详解】将等式3221aS与4331aS作差得4332aaa，433aa，因此，该等比数列的公比433aqa，故答案为3.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在两个等式
13、都含前n项和时，可以利用作差法转化为有关项的等式去计算，考查运算求解能力，属于中等题.14.在四面体PABC中，3PABC，2PBAC，3PCAB，则该四面体外接球的体积为_【答案】8 23【解析】【分析】如图所示：将四面体PABC放入长方体中，利用勾股定理得到22228abcR，计算得到答案.【详解】如图所示：将四面体PABC放入长方体中：设长方体的边长分别为,a b c，则222222394abbcac相加得到2222482abcRR体积为：348 233VR故答案为8 23【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入长方体是解题的关键.15.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考
14、核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响则该软件至多进入第三轮考核的概率为_【答案】58【解析】【分析】将题目分为只进入第一轮，第二轮和第三轮三种情况，分别计算概率相加得到答案.【详解】设事件1,2,3,4iA i表示“该软件能通过第i轮考核”，由已知得156P A，235P A，334P A，413P A，设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则112123112123P CP AA AA A AP AP A AP A A A15253156656548故答案为58【点睛
15、】本题考查了概率的计算，分类利用独立性是解题的关键.16.设函数sin05fxx，已知fx在0,2有且仅有 5 个零点，则的取值范围是_【答案】12 29,510【解析】【分析】分别计算55x和65x的端点值，计算得到答案.【详解】由于fx在0,2有且仅有 5 个零点，则令55x，解得2425x，得125；再令65x，解得2925x，得2910故答案为12 29,510【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.设ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c已知角A，B，C成等差数列，C为钝角，且满足2222sin0abcCbc（1）求角A，B，C的大小；
16、（2）若2a，求ABC面积S的值【答案】(1)12A，3B，712C(2)32 3【解析】【分析】（1）根据等差数列得到3B，利用余弦定理得到2CA，计算得到答案.（2）利用正弦定理得到42 3c，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1）因为A，B，C成等差数列，2BAC，又ABC，3B，3B由2222sin0abcCbc和余弦定理可得222sincossin22bcaCAAbcC为钝角，而2A也是钝角，2CA，又23AC，联立解得12A，712C，12A，3B，712C为所求（2）由2a和正弦定理sinsinacAC可得3212722sin2sin2222341242 33212sinsi
17、n12342222c113sin242 332 3222SacB所以ABC的面积S的值是32 3【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角函数公式的应用能力.18.如图 1，PAD是以AD为斜边直角三角形，1PA，BCAD，CDAD，22ADDC，12BC，将PAD沿着AD折起，如图2，使得2PC（1）证明：面PAD平面ABCD；（2）求二面角APBC大小的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)13 301301【解析】【分析】（1）利用勾股定理得到CDPD，证明CD面PAD得到答案.（2）如图，以O为坐标原点，垂直OD 方向为x轴，OD 为y轴，OP为 z轴建立空间
18、直线坐标系，分别计算平面的法向量，再计算法向量夹角得到答案.【详解】（1）证明：1DC，2PC，223PDADPA，222PDCDPC，即CDPD又CDAD，PDADD，CD面PAD，CD面ABCD，面PAD面ABCD（2）如图，以O为坐标原点，垂直OD 方向为x轴，OD 为y轴，OP为 z轴建立空间直线坐标系10,02A，1,1,0B，31,02C，30,0,2P设面BPC的法向量为111,mx y z，由00m BCm BP，得1132xz，10y，取3,0,2m设面PAB的法向量为222,nxyz，由00n ABn BP，得22302xy，222302xyz，取23,2,3n13 301
19、cos,301m nm nmn，由图形可知二面角APBC为钝角，所以二面角APBC大小的余弦值为13 301301【点睛】本题考查了面面垂直和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.在平面直角坐标系中，已知曲线C上的动点P到点1,04F的距离与到直线1:4lx的距离相等（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点1,1M分别作射线MA、MB交曲线C于不同的两点A、B，且MAMB试探究直线AB是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由【答案】(1)2yx(2)直线AB过定点2,1【解析】【分析】（1）根据题意得到221144xyx，化简得到答案.（2）设直线AB的方程为xmyt，
20、联立方程利用韦达定理得到12yym，12y yt，根据0MA MB得到120tmtm，故2tm代入方程得到答案.【详解】（1）设(,)P x y，依题意14PFx，即221144xyx，化简得2yx，曲线C的轨迹方程为2yx（2）直线AB经过定点2,1证明：如图，依题意，直线AB斜率不能为0，所以设直线AB的方程为xmyt联立2yx 得20ymyt，240mt，设1,A x y、2,B xy，则12yym，12y yt又MAMB，0MA MB，即121211110 xxyy，即12121212110 x xxxy yyy，又211yx，222yx，2212121212320y yyyy yyy
21、，22223232120ttmmttmmtmtm，依题意，直线AB不经过M，1mt，所以，2tm此时代入式恒成立而当2tm时，直线AB方程为2xmym，即210 xm y，即直线AB过定点2,1综上，直线AB过定点2,1【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，将MAMB转化为0MA MB是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.20.2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”教育部2014 年印发的学术论文抽检办法通知中规定：每篇抽检的学术论文送3 位同行专家进行评议，3 位专家中有2 位以上（含3 位）专家评议意
22、见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”有且只有1 位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2 位同行专家（不同于前3 位专家）进行复评，2 位复评专家中有1 位以上（含1 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为01pp，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立（1）若12p，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900 元，需要复评的总评审费用1500 元；若某次评审抽检论文总数为3000 篇，求该次评审费用期望的最大值及对
23、应p的值【答案】(1)2532(2)最高费用为350万元对应13p【解析】【分析】（1）根据题意得到5432312179fppppp，代入数据计算得到答案.（2）设每篇学术论文的评审费为X元，则X的可能取值为900，1500，计算得到2900 18001E Xpp，求导得到单调性计算最大值得到答案.【详解】（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为2233331C ppC p，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为2213111C ppp，所以一篇学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为22223313331111fpC ppC pC ppp2223313
24、111pppppp5432312179pppp12p时，125232f所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532（2）设每篇学术论文的评审费为X元，则X的可能取值为900，150021315001P XC pp，21390011P XC pp，所以2221133900111500190018001EXC ppC pppp令21g ppp，0,1p，2121311gpppppp当10,3p时，0gp，g p在10,3上单调递增；当1,13p时，0gp，g p在1,13上单调递减所以g p的最大值为14327g所以评审最高费用为44300090018001035027（万元
25、）对应13p【点睛】本题考查了概率计算的应用，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.21.已知函数ln01xxfxa ax（1）求fx的单调区间并判断单调性；（2）若2h xxxfx，且方程h xm有两个不相等的实数根1x，2x求证：121xx【答案】(1)单调增区间为0,1，1,见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到21ln1xxfxx，根据导数的正负得到函数的单调区间.（2）22ln0h xxxaxax a求导得到2 ln2hxxxxaxa，存在使hx在0,上单调递减，在,上单调递增，得到2222110 xxxx，化简得到答案.【详解】（1）依题意，定义域为0,11,
26、，21ln1xxfxx设1 lng xxx，则11gxx，当0,1x时，0gx，10g xg，0fx，fx在0,1上单调递增当1,x时，0gx，10g xg，0fx，fx在1,上单调递增综上可得，函数fx的单调增区间为0,1，1,（2）22ln0h xxxaxax a，2 ln2h xxxxaxa，设m xhx，2ln23m xxa，m x在0,上单调递增，当0 x时，0mx，1320ma，必存在0,1，使得0m，即2ln230a，hx在0,上单调递减，在,上单调递增，又20ha，110ha，设00hx，则00,1x，h x在00,x上单调递减，在0.,x上单调递增，又10h，不妨设12xx，
27、则100 xx，021xx，由（1）知21011102202022h xfxxxfxfxfxfxh xfxxx，2202221011fxxxh xh xfxxx，222211212110 xxxxxxxx，121xx【点睛】本题考查了函数的单调性和零点问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.22.在直线坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos3sinxy（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）写出1C的普通方程和极坐标方程；（2）设A，B是1C上的两点，且OAOB，求2211OAOB的值【答案】(1)普通方程是22143xy极坐标方程为
28、2221cossin43(2)712【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.（2）不妨设1,A，2,2B，故22221sincos43，代入2222121111OAOB化简得到答案.【详解】（1）曲线1C的参数方程为2cos3sinxy（为参数）移项后两边平方可得2222cossin143xy即曲线1C的普通方程是22143xy因为cosx，siny，代入上式可得1C的极坐标方程为2222cossin143即2221cossin43（2）因为A，B是1C上的两点，且OAOB，所以不妨设1,A，2,2B由1,A在曲线1C上可知22211cossin43同理，2,2B在曲线
29、1C上可知222222cossin1sincos224343所以，22222222121111cossinsincos11743434312OAOB【点睛】本题考查了极坐标和参数方程，意在考查学生对于极坐标和参数方程的理解和计算能力.23.已知函数21fxmx，mR，且1()02f x的解集为11xx.（1）求m的值；（2）若,a b c都为正数，且111232mabc，证明：239abc.【答案】（1）2m；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得20mx的解集为11xx，化简可得m的值；（2）由（1）的结论2m，则111123abc，111232323abcabcabc，结合基本不等式的性质分析可得结论【详解】（1）21fxmx，mR，且102fx的解集为11xx，可得20mx的解集为11xx，所以2m.（2）因为,a b c都为正数，所以111123abc，所以111232323abcabcabc232332332baacbcabcacb23233+2222332baacbcabcacb32229，当且仅当233abc时，等号成立，即239abc.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的性质，关键是求出m的值