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1、陕西省宝鸡市2019 届高三 2 月模拟考试试题数学（理）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集0,1,2,3,4U，集合0,1,2A，集合2,3B，则C AB（）A.B.1,2,3,4C.2,3,4D.0,1,2,3,4【答案】C【解析】【分析】先求C A，再根据并集定义求结果.【详解】因为3,4C A，所以2,3,4C AB，选 C.【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基本题.2.在区间2,2上任意取一个数x，使不等式20 xx成立的概率为（）A 16B.12C.13D.14【答案】D
2、【解析】【分析】先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.【详解】由20 xx得01x，所以所求概率为1012(2)4，选 D.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率3.已知各项为正数的等比数列na满足11a，2416a a，则6a（）A.64 B.32 C.16 D
3、.4【答案】B【解析】【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a【详解】由2416a a得2445516116,1602232.a qqqqaa q选 B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.4.欧拉公式cossinixexix（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4iiee表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据欧拉公式计算4iiee，再根据复数几何意义确定象限.【详解】因为4122222244
4、22iiecosisinicosisinei，所以对应点2222（，），在第二象限，选 B.【点睛】本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.5.已知M、N是不等式组1,1,10,6xyxyxy所表示的平面区域内的两个不同的点，则|MN的最大值是（）A.17B.342C.3 2D.172【答案】A【解析】【分析】先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=21417,选 A.【点睛】线性规划的实
5、质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.若均不为1 的实数a、b满足0ab，且1ab，则（）A.log 3log 3abB.336abC.133aba bD.baab【答案】B【解析】【分析】举反例说明A,C,D 不成立，根据基本不等式证明B成立.【详解】当9,3ab时log 3log 3ab;当2,1ab时133abab;当4,2ab时baab;因为0ab，1ab，所以2332 3 32 32 36ab
6、aba bab，综上选 B.【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.2 383B.82 3C.283D.10【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2 的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.【详解】几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为3112 32+2328323V,故选 A.【点睛】本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.8.如图，边长为1 正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记
7、(0,)2ABPx x，BP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积为()yf x，则函数()f x 的图像是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件列yfx，再根据函数图象作判断.【详解】当0,4x时，112yfxtanx;当,4 2x时，11112yfxtanx;根据正切函数图象可知选D.【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.9.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a、b、i的值分别为6、8、0，则输出a和i的值分别为（）A.0，3 B.0，4 C.2，3 D.2，4【答案】
8、C【解析】【分析】执行循环，直至ab终止循环输出结果.【详解】执行循环，得1,2;2,4;3,2ibiaia，结束循环，输出2,2ab，此时3i,选C.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.已知函数sin(),0()cos(),0 xaxf xxb x的图像关于y轴对称，则sinyx的图像向左平移（）个单位，可以得到cos()yxab的图像（）.A.4B.3C.2D.【答案】D【解析】【分析】根据条件
9、确定,a b关系，再化简cosyxab，最后根据诱导公式确定选项.【详解】因为函数,0,0sin xaxfxcos xbx的图像关于y轴对称，所以sincos22ab，sincosab，即sincossincosbaab，因此2 ()2abkkZ，从而cossinyxabsinxx,选 D.【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.11.已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，其中4AB，2BCCDAD，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.34B.32C.3D.2 3【答案】B【解析】【分析】不妨设抛物线标准方程22(0)xpy p，
10、将条件转化为坐标，代入解出p，即得结果.【详解】不妨设抛物线标准方程22(0)xpy p，可设(1,),(2,3)CmBm，则123323242(3)pmppp m，即抛物线的焦点到其准线的距离是32，选 B.【点睛】本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.12.已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为2，M为1CC的中点.若AM平面，且B平面，则平面截正方体所得截面的周长为（）A.3 22 5B.44 2C.222 5D.6 2【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直确定平面，再根据截面形状求周长.【详解】显然在正方体中BD平面11ACC A,所以BDAM,取 AC
11、中点 E,取 AE中点 O,则11tantanAOAACMAOAM,取 A1C1中点 E1,取 A1E1中点 O1,过 O1作 PQ/B1D1,分别交 A1B1,A1D1于 P,Q 从而AM平面BDQP,四边形BDQP为等腰梯形，周长为22 222123 22 5，选 A.【点睛】本题考查线面垂直判断以及截面性质，考查综合分析与求解能力，属难题.第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分.13.已知双曲线C：22221xyab，点 P(2，1)在 C的渐近线上，则C的率心率为【答案】152【解析】试题分析：根据双曲线的方程，可知焦点在x 轴上，结合P(2，1)在渐近线上，所以1
12、,2ba即2,ab所以5cb，从而有其离心率cea152考点：双曲线的离心率14.61(2)xx的展开式中的常数项的值是_（用数学作答）【答案】60【解析】【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.【详解】因为366621661(2)()(2)(1)rrrrrrrrTCxCxx，所以令3602r得4r，即常数项为46 446(2)(1)60.C【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r项，由特定项得出r值，最后求出其参数.
13、15.设ABC的外心P满足1()3APABAC，则cosBAC_【答案】12【解析】【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设BC中点为M,所以1233APABACAM,因此 P 为重心，而P为ABC的外心，所以ABC为正三角形，1cos2BAC.【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.16.数列na的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第1k个1之间有21k个2，即数列na为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列na的前n项和为nS，则2019S_.（用数字作答）【答案】3993【解析】【分析】先
14、由题意，得到第1k个 1 为数列na第21kk项，根据题意，分组求和，即可求出结果.【详解】由题意，第1k个 1 为数列na第21135211kkkk项，当44k时，211981kk；当45k，时212071kk；所以前 2019 项有 45 个 1 和2442019 1981个 2，因此2201945244201919813993S.【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记分组求和的方法即可，属于常考题型.三、解答题：本大题共6 个大题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知1cos23A，3c，sin6sinAC（1）求a
15、的值；（2）若角A为锐角，求b的值及ABC的面积【答案】（1）3 2a（2）5b，5 22ABCS【解析】【分析】（1）结合题设条件和正弦定理sinsinacAC，即可求解；（2）由余弦的倍角公式，求得3cos3A，6sin3A，再结合余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）在ABC中，因为3c，sin6 sinAC，由正弦定理sinsinacAC，解得3 2a（2）因为21cos22cos13AA，又02A，所以3cos3A，6sin3A由余弦定理2222cosabcbcA，得22150bb，解得5b或3b（舍），所以15 2sin22ABCSbcA.【点睛】本题主要考查了正弦定
16、理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.如图（1），等腰梯形ABCD，2AB，16CD，2 2AD，E、F分别是CD的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图（2）.（1）求证：平面PEF平面ABEF；（2）求平面PAF与平面PAB所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）77.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明BE面PEF，再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）过
17、P作POEF于O，过O作BE的平行线交AB于G，得到PO面ABEF，又PO，EF，OG所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，用空间向量的方法，分别求出平面PAF和平面PAB的法向量，计算向量夹角余弦值，即可求出结果.【详解】（1）因为E，F是CD的两个三等分点，易知，ABEF是正方形，故BEEF，又BEPE，且PEEFE，所以BE面PEF，又BE面ABEF，所以面PEFABEF.（2）过P作POEF于O，过O作BE的平行线交AB于G，则PO面ABEF，又PO，EF，OG所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，则2,1,0A，2,1,0B，0,1,0F，0,0,3P，所以2,0
18、,0AF，0,1,3FP，0,2,0AB，2,1,3PA，设平面PAF的法向量为1111,nx y z，则1100nAFnFP，1112030 xyz，10,3,1n，设平面PAB的法向量为2222,nxyz，则2200nABnPA，222220230yxyx，23,0,2n，因此121227cos727n nnn，所以平面PAF与平面PAB所成锐二面角的余弦值77.【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直，面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19.已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，点0(1,)Py在
19、椭圆上，且2PFx轴，12PF F的周长为6.（）求椭圆的标准方程；（）过点(0,1)T的直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得7OA OBTA TB恒成立？请说明理由.【答案】（）22143xy（）当2时，7OA OBTA TB【解析】【分析】（）由三角形周长可得124PFPF，求出a，再根据222bac即可写出椭圆标准方程（）假设存在常数满足条件，分两类讨论（1）当过点T的直线AB的斜率不存在时，写出A,B 坐标，代入7OA OBTA TB可得2（2）当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为1ykx，设11,A x y，22,B xy，联立方程组，利用根与
20、系数的关系代入OA OBTA TB1212121211x xy yx xyy中化简即可求出2.【详解】（）由题意，11,0F，21,0F，1c12PF F的周长为6，122226PFPFcac2a，3b椭圆的标准方程为22143xy.（）假设存在常数满足条件.（1）当过点T的直线AB的斜率不存在时，0,3A，0,3B，OA OBTA TB33131327，当2时，7OA OBTA TB；（2）当过点T的直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为1ykx，设11,A x y，22,B xy，联立221431xyykx，化简得2234880kxkx，122843kxxk，122843x xk.OA
21、OBTA TB1212121211x xy yx xyy21212111kx xk xx22228 11814343kkkk228211743kk21143，解得：2即2时，7OA OBTA TB；综上所述，当2时，7OA OBTA TB.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，分类讨论的思想，属于难题.20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了
22、，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为1k次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.（）为熟悉检验流程，先对3 个人进行逐个检验，若0.1p，求 3 人中恰好有1 人检测结果为阳性的概率；（）设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.当5k，0.1p时，求的分布列；是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.【答案】（）0.243；（）见解析，当11kPk时，用分组的办法能减少检验次数.【解析】【分析】（）根据独立重复试验概率
23、公式得结果;（）先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】（）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件A：3 人中恰有1 人检测结果为阳性，则其概率1230.1 0.90.243P AC（）当5K，0.1P时，则 5 人一组混合检验结果为阴性的概率为50.9，每人所检验的次数为15次，若混合检验结果为阳性，则其概率为510.9，则每人所检验的次数为65次，故的分布列为1565P50.9510.9分组时，每人检验次数的期望如下11kPPk1111kPPk111111111kkkEPPPkkk不分组时，每人检验次数为1 次，要使分组办
24、法能减少检验次数，需1111kPk即11kPk所以当11kPk时，用分组的办法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.21.已知函数2()44ln(2)fxxxmx，其中m为大于零的常数（）讨论()yf x的单调区间；（）若()yf x存在两个极值点1x，212()xxx，且不等式12()f xax恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（）见解析;（）,32ln2a.【解析】【分析】（）先求导数，再根据导函数零点情况分类讨论导函数符号，最后根据导函数符号确定函数单调区间;（）先根据参
25、变分离法转化为求对应函数最值问题，再根据极值点条件化函数为一元函数，最后利用导数求对应函数单调性以及最值，即得结果.【详解】（）284(0)xxmfxxx，（1）当12m时，0fx，fx在0,在上单调递增（2）当102m时，设方程2840 xxm的两根为1x，2x则11124mx，21124mx1104x，21142x，fx在10,x，2,x上单调递增，12,x x上单调递减（）由（）可知，102m且1212xx，128mxx由12fxax12fxax因为221111111144ln2211412ln2fxxxmxxxxx所以1111121122 128ln21122fxfxxxxxxx设12
26、tx，102t令212 12 ln(0)12h tttttt212 12ln1h ttt当102t时，2112ln01tt故h t在10,2上单调递减，所以132ln22h th综上所述，,32ln2a时，12fxax恒成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.选修 4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1xtyt（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C与曲线
27、2C的极坐标方程分别为3 cos，3sin.（）求直线l极坐标方程；（）设曲线1C与曲线2C的一个交点为点A（A不为极点），直线l与OA的交点为B，求|AB.【答案】（）sincos1532AB（）【解析】【分析】（）消参得直线的普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可（）利用极坐标的极径的几何意义分别求,AB，根据ABAB求解.【详解】（）直线l的参数方程为1xtyt（t为参数）消参得：1 0yx，由cos,sinxy代入直角坐标方程可得sincos1（）法1：由3 cos3sin得3tan3，所以6点A的极坐标3(,)26A，又点B在直线OA上，所以设B的极坐标为(,)6B由sincos1
28、得31B，所以(31,)6B，所以532ABAB.法 2：曲线1C与曲线2C的直角坐标为2230 xyx，2230 xyx由22223030 xyxxyx得点A的坐标3 33,44A所以直线OA的方程为33yx由133xyyx得点B的坐标为3331,22B所以32OA，31OB532AB或者：22333331375 342424AB532AB【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程，利用极坐标中极径求弦长，属于中档题.选修 4-5：不等式选讲23.已知函数()12fxxa x（a为实数）（）当1a时，求函数()f x 的最小值；（）若1a，解不等式()f xa【答案】（1）1（2）31x|11axa【解析】【分析】（）根据绝对值不等式的性质即可求出fx的最小值（）分区间讨论去掉绝对值号，解含参不等式即可.【详解】（）1a时，12121fxxxxx所以fx的最小值为1（）2x时，12fxxaxaa，311axa，因为3112011aaaa所以此时解得：3121axa12x时，12fxxaxaa，1x，此时：12x1x时，12fxxaxaa，1x，此时无解；综上：不等式的解集为31x|11axa【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最小值，含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想方法，属于中档题.