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1、山西省阳泉市2020 届高三上学期期末考试试题数学（文）一.选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合|110,PxNx2|60,QxR xx则PQ等于A.1,2,3B.2,3C.1,2D.22.复数4312izi的虚部为A.i B.i C.1D.13.若,x y满足20400 xyxyy，则12zxy的最大值为A.52B.72C.3D.44.已知向量3 13 362ab，则向量a与2b的夹角是A.6 B.4C.3 D.25.已知数列na为各项均为正数的等比数列，nS是它的前n项和，若244a，且436aa，则5S=A.31B.3
2、2C.30D.296.程大位是明代著名的数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作卷八中第33 问：“今有三角果一垛，底阔每面七个，问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为A120 B84 C56 D 28 7.若双曲线222109yxaa的一条渐近线与直线13yx垂直，则此双曲线的实轴长为A1B2 C9 D188.函数1ln1xfxx的大致图像为（）A B C D 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13 B.23C1 D.4310.设ABC的内角ABC，所对的边分别为abc，且3 cos4aCcsin A，已知ABC的
3、面积等于10，4b，则a的值为A.233B.283 C.263 D.25311.关于函数()cos?22 3sincosfxxxx，有下列命题：对任意x1，x2 R，当x1x2 时，f(x1)f(x2)成立；f(x)在区间,63上单调递增；函数f(x)的图象关于点,012对称；将函数f(x)的图象向左平移512个单位长度后所得到的图象与函数y2sin 2x的图象重合其中正确的命题是A.B.C.D.12.已知函数1lnfxmxx有两个零点，则实数m的取值范围是A,eB1e，C 0,e D10e，第 II卷（非选择题共90 分）二填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分，请将答案填在答题
4、卡上.13.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数。依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1 点和 2 点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组。得到的10 组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353。则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是；三天中有两天下雨的概率的近似值为 .（第一问2分，第二问3 分）14.已知函数224,4,log,4,xxx xfxx若函数yfx在区间,1a a上单调递增，则实数a的取值范围是 .15.已知抛物线2:2(0)
5、Cypx p的焦点为F，点00,222pMxx是抛物线C上一点，以点M为圆心3为半径的圆与直线2px交于E，G两点，若2 2EG，则抛物线C的方程是 .16.已知四面体ABCD内接于球O，且2,2ABBCAC，若四面体ABCD的体积为2 33，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是 .三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12 分）数列na中，112a，1122nnnaa*()nN，数列nb满足2nnnba*()nN（1）求证：数列nb是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）设2lognannc，求数列12nnc c的前n项和nT18
6、.（本小题满分12 分）如图，在三棱锥PABC中，PAC为正三角形，M为棱PA的中点，ABAC，12ACBC，平面PAB平面PAC（1）求证：AB平面PAC；（2）若2AC，求三棱锥PBMC的体积19（本小题满分12 分）近年来，新高考改革打破文理分科的“33”模式，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目。选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方
7、法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率20.（本小题满分12 分）已知122,0,2,0FF是椭圆2222:10 xyCabab的两个焦点，M是椭圆C上一点，当112MFF F时，有21
8、3MFMF.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F的动直线l与椭圆交于,A B两点，试问在x铀上是否存在与2F不重合的定点T，使得22ATFBTF恒成立？若存在，求出定点T的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12 分）已知函数11lnxfxea xx(aR，e是自然对数的底数).（1）设g xfx(其中fx是fx的导数)，求g x的极小值；（2）若对1,x，都有1fx成立，求实数a的取值范围选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分22.（本小题满分10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为
9、参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4sin.（1）求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）已知曲线3C的极坐标方程为(0,)R，点A是曲线3C与1C的交点，点B是曲线3C与2C的交点，A，B均异于原点O，且4 2AB，求的值.23.（本小题满分10 分）已知()221f xxx的最小值为t.（1）求t的值；（2）若实数a，b满足2222abt，求2214ab的最小值.一.选择题：本大题共12 小题，每小题5 分。题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C B C A D B A B D C A 二填空题：本大题共4
10、 小题，每小题5分，共 20 分，13.13,15（第一问2 分，第二问3 分）14.,14,15.24yx.16.16三、解答题：本大题共6 小题，共70 分17.（1）由1122nnnaa，即11221nnnnaa而2nnnba，11nnbb，即11nnbb又1121ba，数列nb是首项和公差均为1 的等差数列.于是1(1)1=2nnnbnna，2nnna.6 分（2）22loglog 2nnnncna，122112(1)1nnc cn nnn.111111111212233411nTnnnn122 111nnn.12 分18.（1）PAC为等边三角形，且M为PA的中点，CMPA.平面PA
11、B平面PAC，平面PAB平面PACPA，CM平面PAC，CM平面PAB，AB平面PAB，ABCM.又ABAC，CMACC，AC、CM平面PAC，AB平面PAC；.6 分（2）ABAC，且2AC，24BCAC，222 3ABBCAC.又PAC是边长为2的等边三角形，且M为PA的中点，则CMPA，且sin603CMPC，PMC的面积为11313222PMCSPMCM.因此，三棱锥PBMC的体积为1132 31332PBMCBPMCPMCVVSAB.12 分19（1）11 10(0.0050.0150.0250.035)0.12，100.0050.05，此次考试物理成绩落在(80,90，(90,10
12、0内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的物理成绩为82分，大于80分，处于前15%，小明物理成绩的最后得分为70分.4 分（2）因为40名学生中，赋分70分的有40 15%6人，这六人成绩分别为89，91，92，93，93，96；赋分60分的有40 35%14人，其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76，77，78，79；因为小明的化学成绩最后得分为60分，且小明化学70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78，79.8 分（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A，a，b，c，d，e，小明的所有可能选法有(,)A a b，(,)A
13、a c，(,)A a d，(,)A a e，(,)A b c，(,)A b d，(,)A b e，(,)A c d，(,)A c e，(,)A d e共 10种，其中包括化学的有(,)A a b，(,)A a c，(,)A a d，(,)A a e共 4 种，若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：42105P.12 分20（1）由题知，椭圆2222:10 xyabab的半焦距为c=2，又由椭圆的定义可知212MFMFa，即142MFa，2122bMFaa，224,8ba椭圆的方程为2284xy1.5 分（2）假设存在符合条件的点T满足22ATFBTF，则x轴为A
14、TB的角平分线，即直线AT与BT的斜率之和为0，设T（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为yk（x2），由22282xyyk x，可得（2k2+1）x28k2x+8k28 0，2122821kxxk，21228821kx xk，.8 分由0ATBTkk，得1212yyxtxt0，121222k xk xxtxt0，12122240 x xtxxt，解得t4，即T（4，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x2，与椭圆的交点坐标分别为（2，2），（2，2），显然满足kAT+kBT0，存在点T（4，0），满足题意.12 分21.()110 xg xfxea xx，1
15、21xgxex.令1210 xxgxexx，1320 xxex，gx在0，上为增函数，10g.当01x，时，0gx；当1x，时，0gx，g x的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为1，12g xga极小.6 分()由()知，fx在1，上单调递增，在(0，1)上单调递减，12fxfa.当2a时，0fx，fx在1，上单调递增，11fxf，满足条件；当2a时，120fa.又ln11ln10ln1ln1afaeaaa，01ln1xa，使得00fx，此时，01xx，0fx；0ln1xxa，0fx，fx在01 x，上单调递减，01xx，都有11fxf，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围为2，.12
16、 分选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分22.（1）由222xcosysin消去参数，得1C的普通方程为2224xy.由4sin，得24 sin，又siny，222xy，所以2C的直角坐标方程为2224xy.5分（2）由（1）知曲线1C的普通方程为2224xy，所以其极坐标方程为4cos.设点A，B的极坐标分别为,A，,B，则4cosA，4sinB，所以4 cossin4 2 sin4 24ABAB，所以sin14，即42kkZ，解得34kkZ，又0，所以34.10 分23.（1）31,1()2213,1131,1xxf xxxxxxx，f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，f（x）minf（1）2，t 2；.5 分（2）由（1）可知 2a2+2b22，则a2+b21，2222222222222214144455+2=9babaababababab，当且仅当22224=baab，即213a，223b时取等号，故2214ab的最小值为9.10 分