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1、山东省青岛市2020 届高三上学期期末考试试题数学一、选择题：(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知复数2,iz z在复平面内对应的点分别为11221,1,0,1zZZz，则A1iB1iC1iD 1 i2设aR，则“sincos”是“sin21”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3向量ab，满足1,2,2ababab，则向量ab与的夹角为A45B60C90D 1204已知数列na中，372,1aa若1na为等差数列，则5aA23B32C43D 345已知点2,4M在抛物线2:20C ypx
2、 p上，点 M到抛物线C的焦点的距离是A4 B 3 C2 D 1 6在ABC中，2,20ABACAD AEDEEBxAByAC，若，则A2yxB2yxC2xyD 2xy7已知双曲线2222:1,0,0 xyCabab的左、右焦点分别为12,F FO，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，21212=2=2,0,PFPFmmPFPFm，则双曲线C的渐近线方程为A12yxB22yxCyxD2yx8已知奇函数fx是 R上增函数，g xxfx则A.233231log224gggB 233231log224gggC.23323122log4gggD.23323122log4ggg二、多项选择题：本题共
3、4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的0 分。9如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，则下列四个命题正确的是：A直线 BC与平面11ABC D所成的角等于4B点 C到面11ABC D的距离为22C两条异面直线11D CBC和所成的角为4D三棱柱1111AA DBB C外接球半径为3210要得到cos2yx的图象1C，只要将sin23yx图象2C怎样变化得到?A将sin 23yx的图象2Cx沿轴方向向左平移12个单位Bsin 23yx的图象2Cx沿轴方向向右平移1112个单位C先作2C
4、x关于轴对称图象3C，再将图象3Cx沿轴方向向右平移512个单位D先作2C关于x轴对称图象3C，再将图象3Cx沿轴方向向左平移12个单位11已知集合=,Mx yyfx，若对于1122,xyMxyM，使得12120 x xy y成立，则称集合M是“互垂点集”给出下列四个集合：21,1Mx yyx；2,1Mx yyx；3,xMx yye；4,sin1Mx yyx其中是“互垂点集”集合的为A1MB2MC3MD4M12德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805l859)在数学领域成就显著19 世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”1,0,RxQyfxxC Q其中 R为实数集，Q为有理数集则关
5、于函数fx有如下四个命题：A函数fx是偶函数B121212,Rx xC Q fxxfxfx恒成立C任取一个不为零的有理数T，fxTfx对任意的xR恒成立D不存在三个点112233,A xfxB xfxC xfx，使得 ABC为等腰直角三角形其中真命题的个数是 _第 II卷(非选择题共 90 分)三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知直线2202xyay与圆 O：x相交于 A，B两点(O 为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为 _；14已知直线2yx与曲线lnyxa相切，则a的值为 _；l5 2019 年 7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志
6、着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14 的质量 N随时间 t(单位：年)的衰变规律满足573002TNN(0N表示碳 14 原有的质量)，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14 的质量是原来的3172至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 _年之间(参考数据：lg2 0.3，lg 7 0.84，lg 3 0.48)(本题第一空2 分，第二空 3 分)16已知ABC的顶点 A 平面，点
7、 B，C在平面异侧，且23ABAC，若 AB，AC与所成的角分别为3 6，则线段BC长度的取值范围为_四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。l7(本小题满分10 分)已知2cossin3 cos3fxxxx(I)求函数fx的最小正周期及单调递减区间；(II)求函数fx在区间,02的取值范围18(本小题满分12 分)在ABC，,a b c分别为内角A，B，C的对边，且2228sin3abCbca，若10,5ac(I)求 cosA()求ABC的面积 S 19(本小题满分l2 分)设数列na的前n项和为nS，已知111,21,nnaSSnN(I)证明：1nS
8、为等比数列，求出na的通项公式；()若nnnba，求nb的前n项和nT，并判断是否存在正整数n使得1250nnTn成立?若存在求出所有n值；若不存在说明理由20(本小题满分12 分)九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000 多年，在九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体如图在堑堵111ABCA B C中，ABAC(I)求证：四棱锥11BA ACC为阳马；()若12C CBC，当鳖膈1CABC体积最大时，求锐二面角11CA BC的余弦
9、值21(本小题满分12 分)给定椭圆2222:10 xyCabab，称圆心在原点O，半径为22ab的圆是椭圆C 的“卫星圆”.若椭圆 C的离心率22，点2,2在 C上(I)求椭圆 C的方程和其“卫星圆”方程；()点 P是椭圆 C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线12,l l，使得12,l l，与椭圆 C与椭圆 C都只有一个交点，且12,l l，分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：弦长MN为定值22(本小题满分12 分)已知函数ln2sin,fxxxx fxfx为的导函数(I)求证：0fx 在，上存在唯一零点；()求证：fx有且仅有两个不同的零点高三数学试题参考答案2020.01 一、选择题
10、题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C C C A D D B ABD ABC BD CD 二、填空题13.2 14.3 15.12，6876 16.7,13三、解答题17.解:()由题意，化简得2()2cossin3(2cos1)f xxxxsin 23cos2xx2sin(2)3x所以函数()f x 的最小正周期.3分sinyx的减区间为32,2,22kkkZ由3222232kxk得5111212kxk所以函数()f x 的单调递增区间为511,1212kkkZ.6分（）因为,02x，所以42,333x.所以22sin(2)33x.所以函数()f x 在区间,
11、02上的取值范围是2,3.10分18.解:由题意得2228sin3()22abCbcabcbc由余弦定理得:4 sin3cosaCAc由正弦定理得4sin3cosAA所以3tan4AABC 中,4cos5A6分()由余弦定理2222cosabcbcA得28150bb解得3b或5b9分3tan4A,3sin5A由1sin2SbcA得152S或92S12分19.解:()121nnSS112(1)nnSS*nN1nS为等比数列2分112S，公比为212nnS，21nnS1121nnS，当2n时，112nnnnaSS，11a也满足此式12nna5分()12nnnnnba01112222nnnT1211
12、22222nnnT两式相减得：011111122222222nnnnnnT1242nnnT9分代入1250nnTn得 2260nn10 分令()226xf xx(1)x，()2 ln 210 xfx在1,x成立，()226xf xx(1,)x为增函数；11分有(5)(4)0ff，所以不在正整数n使得1250nnTn成立.12分20.解：()1A A底面 ABC，AB面 ABC1A AAB2分又 ABAC，1A AACAAB面11ACC A，4分又四边形11ACC A为矩形四棱锥11BA ACC为阳马5分()ABAC,2BC，224ABAC又1A A底面 ABC，111132CABCVC CAB
13、 AC221123323ABACAB AC当且仅当2ABAC时，113CABCVAB AC取最大值7分ABAC，1A A底面 ABC以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系8分(2,0,0)B,(0,2,0)C,1(0,0,2)A1(2,0,2)A B,(2,2,0)BC,11(0,2,0)AC设面1ABC的一个法向量1111(,)nxy z由11100nA BnBC得1(22,1)n9分同理得2(2,0,1)n10分12121215cos,5|nnn nnn二面角11CABC的余弦值为15512分21.解：()由条件可得:2222421caab解得2 2,2ab所以椭圆的方程为22184xy，
14、3分卫星圆的方程为2212xy4分（II）当12,l l中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为2 2x或2 2x，当1l方程为2 2x时，此时1l与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,2)，此时经过点(22,2)(22,2)且与椭圆只有一个公共点的直线是2y或2y，即2l为2y或2y，12ll线段 MN 应为“卫星圆”的直径，|43MN7分 当12,l l都有斜率时，设点),(00yxP，其中220012xy，设经过点),(00yxP与椭圆只有一个公共点的直线为00)(yxxty,则，0022()184ytxytxxy消去y得到2220000(12)4(
15、)2()80txt ytxxytx，9分2220000(648)163280 xtx y ty10分2200122200328328(12)1648648yxttxx11分所以121tt，满足条件的两直线12,l l垂直.线段 MN 应为“卫星圆”的直径，|4 3MN综合知：因为12,l l经过点),(00yxP，又分别交其准圆于点MN，且12,l l垂直，所以线段MN准圆220012xy的直径，|=4 3MN为定值12分22.解:（1）设xxxfxgcos211)()(，当),0(x时，01sin2)(2xxxg 2 分所以)(xg在),0(上单调递减，3 分又因为012)2(,0113)3
16、(gg所以)(xg在(,)32上有唯一的零点，所以命题得证 6 分（2）1由（1）知：当),0(x时，0)(xf，)(xf在),0(上单调递增；当),(x时，0)(xf，)(xf在),(上单调递减；7 分所以)(xf在(0,)上存在唯一的极大值点()32所以022222ln)2()(ff 8 分又因为22221111()22sin220feeee所以)(xf在(0,)上恰有一个零点 9 分又因为02ln)(f所以)(xf在(,)上也恰有一个零点 9 分2当,2)x时，sin0 x，()lnf xxx设()lnh xxx，011)(xxh所以)(xh在,2)上单调递减，所以0)()(hxh所以当,2)x时，()()()0f xh xh恒成立所以)(xf在,2)上没有零点.10 分3当2,)x时，2ln)(xxxf设()ln2xxx，1()10 xx所以()x在2,)上单调递减，所以()(2)0 x所以当2,)x时，()()(2)0f xx恒成立所以)(xf在2,)上没有零点.综上，)(xf有且仅有两个零点12 分