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1、天津市南开区2020 届高三上学期期末考试试题数学一、选择题（本大题共9 小题）1.设全集1,2,3,4U，集合1,2S，2,3T，则UST等于（）A.2B.3C.4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合UST.【详解】由题意可得3,4US，因此，3UST.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.命题“0(0,)x，00ln1xx”的否定是（）A.0(0,)x，00ln1xxB.0(0,)x，00ln1xxC.(0,)x，ln1xxD.(0,)x，ln1xx【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定
2、，所以命题的否定为：(0,)x，ln1xx考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0（，）上单调递增的是（）A.3yxB.2ylgxC.2xyD.yx【答案】D【解析】【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A函数为奇函数,不满足条件B.函数的定义域为|0 x x,函数为偶函数,当0 x时,22ylgxlgx为减函数,不满足条件C.2xy为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件D.令fxx，定义域为R，fxxxfx，该函数为偶函数，当0 x时，yx为增函数,满足条件,故选：D【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列na的公差为d，前
3、n项和为nS，则“0d”是“3542SSS”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据前n项和nS与通项之间的关系化简判断即可.【详解】等差数列na的公差为d,3542SSS,345344SSaSaS,540aad则“0d”是“3542SSS”的充要条件,故选：C【点睛】本题主要考查了数列通项与前n项和nS的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143abogclg，则a，b，c的大小关系是（）A.acbB.bcaC.cabD.cba【答案】A【解析】【分析】判断每个数的大致范围再分析即可.【详解】0
4、.20221,0a,331031,13loglogb,1410,01lglglgc,acb,故选：A【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点 A（-1，0），斜率为 k 的直线，被圆（x-1）2+y2=4 截得的弦长为23，则 k 的值为（）A.33B.33C.3D.3【答案】A【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,解得：,故选 A.考点：直线与圆的位置关系7.函数30966xxysincosx（）的最大值与最小值之和为（）A.13B.1C.0 D.23【答案】D【解析】【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析【详解】函数1332662626xxxxysinco
5、ssincos（）263xsin（）,由09x,得73636x,所以31263xsin（）,所以y的最大值为2,最小值为3,所以y的最大值与最小值之和为23故选：D【点睛】本题主要考查了辅助角公式的应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点 A(2,0)，抛物线C：24xy的焦点 F射线 FA与抛物线 C相交于点M，与其准线相交于点N，则:FMMN=（）A.2:5B.1:2C.1:5D.1:3【答案】C【解析】【详解】抛物线C：x2=4y 的焦点为 F（0，1），定点 A（2，0），抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又 F（0，1），A（
6、2，0），直线 FA为：x+2y-2=0，当 y=-1 时，x=4，即 N（4，-1），2221542FPFN，:FMMN=1:5.9.四边形ABCD中，129090BCACABCADC，则AC BD的取值范围是（）A.13，B.31（，）C.31，D.33，【答案】C【解析】【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABCADC,故,A B C D四点共圆.又1,2BCAC,易得3,60,30ABACBCAB.AC BD32332ACBAADAC BAAC ADAC ADAC AD.易得当D在A时3AC AD取最小值3,当D在C时3AC AD取最大值2321.
7、故AC BD的取值范围是31，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型.二、填空题（本大题共6 小题）10.复数212ii的共轭复数是 _【答案】i.【解析】2(2)(12)512(12)(12)5iiiiiiii，故该复数的共轭复数为i.11.曲线21xyx在点（1，1）处的切线方程为.【答案】20 xy【解析】2221212121xxyxx，故切线方程的斜率2112 1 1k又1112 11f，故曲线21xyx在点处的切线方程为111yx整理得20 xy即答案为20 xy12.四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，
8、PA平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为 4，2AB，则此球的表面积等于_【答案】17【解析】【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可.【详解】因为四边形ABCD是正方形,且PA平面ABCD,所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433Vhh.则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3,它们的外接球是同一个,设外接球直径为D,所以222222317D,所以表面积为22417SRD故答案为：17【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214
9、yx具有相同渐近线，则的方程为；渐近线方程为 .【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x，y满足23xyxy，则当x_时，xy的最小值是 _【答案】(1).12 (2).1【解析】【分析】将xy化简成只关于y的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x,y满足23xyxy,2031yxy,可得13y,2243131yyyxyyyy,令31ty则13ty且0t,221144511111334552 41999ttttxytttttt
10、（）（）,当且仅当14tt即12t,此时12xy取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型.15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ababa bb baab（），（），设21*1f xxx（）（）（），若函数2g xf xmxmR（）（）（）恰有三个零点123xxx，则m的取值范围是 _；123x x x的取值范围是_【答案】(1).104（，）(2).13016（，）【解析】【分析】分析21x与1x的大小关系,再化简2f xmx（）画图分析求解即可.【详解】当211xx时,即30,21xf xxx（）（）
11、,当211xx时,即30,1xf xxx（）（）,所以3321,01,0 xxxf xxxx（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2ymx的图象有三个交点,即21,010 xxxk xxxx（）（）（）与函数ym有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0 x时，函数k x最大值为111(1)224.所以104m,不妨设123xxx,易知20 x,且231xx,所以223231024xxx x（）由12140 xxx（）解得134x,所以11304x所以12313016x x x且当m无限接近14时123x x x趋近于1316,当m无限接近0 时123x x x趋近于 0
12、.故答案为：10,4（）；13,0.16（）【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x随m的变化情况,属于中等题型.三、解答题（本大题共5 小题）16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且113bccosAABC，的面积为2 2（）求a及sinC的值；（）求26cosA（）的值【答案】（）3a，429sinC，（4 27 318）【解析】【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A与2cos A,再根据余弦的差角公式计算即可.【详解】（）在ABC中,角A,B,C所对的边
13、分别是a,b,c,且21221,133bccosAsinAcos A,ABC的面积为12 2222,6,3,22233bcbc sinAbcbcbc,2212942 3 233abcbc cosA再根据正弦定理可得acsinAsinC,即324 2,9223sinCsinC（2 214 2222,339sin AsinAcosA）272219cos Acos A,故734 2 14 27 3222666929218cosAcos AcossinAsin（）【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111AB
14、CA B C的底面是直角三角形，1190223ACBAAABBCDCCD，（）求证：1AB平面1A BD；（）求二面角1ABDA的余弦值；（）求点1B到平面1A BD的距离【答案】（）证明见解析（64）（2）【解析】【分析】()根据直三棱柱中90ACB可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD的法向量m并证明1/ABm即可.()分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.()根据线面垂直的关系可得点1B到平面1A BD的距离为112AB,再求解即可.【详解】依题意,以C为原点,CB为x轴,1CC为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,则11
15、10,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,3,0,2,3CBCBAA（）（）（）（）（）（）,13DCCD，10,02D（）,（）证明：1111,2,3,1,2,3,1,02ABA BBD（）（）（）,设平面1A BD的一个法向量为,mx y z（）,则1230102m ABxyzm BDxy,令3z,则1,2,3m（）,1ABm,即1/ABm,1AB平面1A BD；（11,0,3,1,02ABBD）（）（）,设平面ABD的一个法向量为,na b c（）,则30102n ABacn BDab,令3c,则3,6,3n（）,又平面1A BD的一个法向量为1,2,3m（）,31236
16、,41439363m ncosm nmn,即二面角1ABDA的余弦值为64；（）设点1B到平面1A BD的距离为d,则易知112BdA,而11432 2AB,点1B到平面1A BD的距离为2【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C的一个顶点为01A（，），焦点在x轴上，若右焦点到直线2 20 xy的距离为 3（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C与直线 ykxm 相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为Ei（）当00km，时，射线OE交直线3x于点3DnO（
17、，）（为坐标原点），求22kn的最小值；ii（）当0k，且AMAN时，求m的取值范围【答案】（）2213xy；（）（i）2；（ii）0,2.【解析】【分析】（）利用点到线的距离公式与222abc求解即可.（）i（）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M,N的二次方程与韦达定理,继而得出点E的坐标,再化简求得22nk的解析式,利用,n k的关系换元求最值即可.ii（）当0k,且AMAN时,则AEMN,再表达出斜率的关系式化简利用,n k的关系求m的取值范围即可.【详解】（）,设椭圆的右焦点,0,0cc（）,由题意得：2222 21,3,2cbabc,解得：223,1ab,所以椭圆的方程：2213x
18、y；（）（i）设11,M xy,22,N xy,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,364 13330kxkmxmk mkm（）（）（）,即2213mk,且122631kmxxk，121222231myyk xxmk,所以MN的中点223,1313kmmEkk（）,所以射线OE：13yxk,与直线3x的交点13,k（）,所以1nk,所以222212nkkk,当且仅当21,0kk,所以1k时22nk有最小值2（ii）当0k,且AMAN时,则AEMN,所以1AEMNkk,即22221113,213,231 3mkmkmmkmkk,解得02m,所以m取值范围,2（0）【点睛】本题主要
19、考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，且122538433abababa，（）求数列na的通项公式na；（）令23nnaclog，证明：233411111*2nnnNnc cc cc c（，）；（）求1231*3inibibnN（）（）【答案】（13 2nna）（）证明见解析（32322 3nn）【解析】【分析】()设数列na是公比为q的等比数列,数列nb是公差为d的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.()先求得nc,再利用裂项相消求和证明即可.()代入nb,再利用
20、错位相减求解即可.【详解】（）设数列na是公比为q的等比数列,数列nb是公差为d的等差数列,由12253843,3,aba baba,可得231113,433,73bdq bdqbdq,解得12,3,3qdb,则13 2,3313nnnabnn（）；（）证明：122213nnnacloglogn,23341111111111111111122 312231nnc cc cc cnnnnn；（）由12313362333nnnbnbnn（）（）（）,可设12312462392733ininnbibnT（）,1124623927813nnnT,相减可得12222223392733nnnnT11111
21、223332113313nnnnn（）,化简可得123132322 33ininbibn（）【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数fxlnxax aR（）（）（）讨论f x（）的单调性；（）若2f xx（）对0 x（，）恒成立，求实数a的取值范围；（）当1a时，设1f xg xxexe（）（）（为自然对数的底.）若正实数12，满足12121210 xxxx，（，）（），证明：1 1221122.gxxg xg x（）（）（）【答案】（）见解析（1），）（）证明见解析【解析】【分析
22、】（）求导后讨论a的取值范围进行分析即可（）参变量分离后有lnxaxx恒成立,再设函数求导分析最大值即可.（）先证：存在12,x x（）,使得2121g xg xgxx（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可.【详解】（）函数的定义域为10,x xfxax（）,当0a时,0fx（）,函数f x（）在0,（+）上单调递增；当0a时,令0fx（）解得10 xa,令0fx（）解得1xa,故此时函数f x（）在10,a（）上单调递增,在1,a（）上单调递减；（2f xx）（）对0,x（）恒成立,即为对任意的0,x（）,都有lnxaxx,设0lnxF xx
23、 xx（）（）,则222111lnxlnxxFxxx（）,令210G xlnxxx（）（）,则120Gxxx（）,G x（）在0,（+）上单调递减,且10G（）,当0,1x（）时,0,0,G xFxF x（）（）（）单调递增；当1,0,0,xG xFxF x（）（）（）（）单调递减,11maxF xF（）（）,实数a的取值范围为1,）（）证明：当1a时,111,100lnxxx lnxxxg xxexxexexgxex（）（）（）（）,不妨设120 xx,下先证：存在12,x x（）,使得2121g xg xgxx（）（）（）（）,构造函数211121g xg xH xg xg xxxxx（）
24、（）（）（）（）（）,显然12H xH x（）（）,且2121g xg xHxgxxx（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x（）,使得21210g xg xHgxx（）（）（）（）,即存在12,xx（）,使得2121g xg xgxx（）（）（）（）,又1xgxe（）为增函数,2121121g xg xgxxgxxx（）（）（）（）（）（）,即21121g xg xgxxx（）（）（）（）,设31 122121xxx（）,则1311222322111,1xxxxxxxx（）（）,133133311221g xg xgxxxg xgxxx（）（）（）（）（）（）（）,233233322111g xg xgxxxg xgxxx（）（）（）（）（）（）（）,由12得,112231122g xg xg xgxx（）（）（）（）,即11221122.gxxg xg x（）（）（）【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.