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1、【金版学案】2015-2016 学年高中数学第 2 章 数列章末知识整合苏教版必修 5 题型 1 求数列的通项公式一、观察法写出下列数列的一个通项公式：(1)1，7，13，19，25，；(2)2，52，134，338，8116，；(3)27，411，12，45，2，；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，.分析：观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系，以及所给数列与一些特殊数列之间的关系解析：(1)原数列的各项可看成数列an：1，1，1，1，与数列 bn：1，7，13，19，25，对应项相乘的结果又 an(1)n1(nN*)，bn16(n1)6n5(nN*)故原数列的一个通项公式为cn
2、(1)n1(6n 5)(nN*)(2)原数列可改写成：1120，2121，3122，4123，.故其通项公式为ann12n1(nN*)(3)这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有414，411，48，45，.分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为an4173n(nN*)(4)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故它可改写成：10，21，30，41，50，6 1，.所以原数列的通项公式为ann12（1）n2(nN*)?归纳拓展(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键(2)由数列的前n项归纳出的通项公式不一定唯一如数列5，0
3、，5，0，5，的通项公式可为5cos（n1）2(nN*)，也可为an5sinn2(nN*)(3)已知数列的前n项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列如(1)n，n，2n1，2n，2n 1，n2，1n等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式?变式迁移1写出下列数列的一个通项公式(1)1，14，19，116，；(2)2，6，23，25，；(3)1，3，6，10，15，；(4)1，4，7，10，13，.解析：(1)an(1)n 11n2(nN*)(2)原数列可写成2，6，12，20，易得ann（n1）(nN*)(3)3 12，6123，101 234，1512 345，an
4、123nn（n1）2(nN*)(4)1，4，7，10，13，组成1 为首项，3 为公差的等差数列，易得an(1)n1(3n2)(nN*)二、利用anS1，n1，SnSn 1，n 2求an例 2 设Sn为数列 an的前n项的和，且Sn32(an1)(nN*)，求数列 an的通项公式分析：由Sn与an的关系消去Sn(或an)，转化为an(或Sn)的递推关系求解解析：Sn32(an1)，当n1 时，S1a132(a11)，解得a13.当n2时，anSnSn132(an1)32(an11)，得anan1 3，当n2 时，数列 an是以 3 为公比的等比数列，且首项a23a19.n2时，an93n 23
5、n.显然n1 时也成立故数列的通项公式为an3n(nN*)?归纳拓展已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是anSnSn1(n2)这里常常因为忽略了n2 的条件而出错，即由anSnSn1求得an时的n是从 2 开始的自然数，否则会出现当n1 时Sn1S0，而与前n项和定义矛盾可见由anSnSn1所确定的an，当n1 时的a1与S1相等时，an才是通项公式，否则要用分段函数表示为anS1，n 1，SnSn1，n 2.?变式迁移2设数列 an 的前n项和为Sn，数列 Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求an的通项公式解析：(1)当n1 时，T12S
6、11，而T1S1a1，a12a11，解得a11.(2)n2时，SnTnTn12Snn22Sn 1(n1)2 2Sn2Sn1 2n1.Sn2Sn12n 1，Sn12Sn2n1.得an12an2，即an122(an2)，亦即an12an22.a1 23，a226，a2 2a1 22，an2是首项为3，公比为2 的等比数列an232n1，故an32n 12(nN*)三、叠加法例 3 已知数列 an 满足a1 1，an3n1an1(n2)(1)求a2，a3；(2)证明：an3n12(nN*)分析：已知a1，由递推公式可以求出a2，a3，因为an3n1an1属于an1anf(n)型递推公式，所以可以用叠
7、加法求出an.(1)解析：a11，a2314，a332413.(2)证明：由已知anan13n1，令n分别取 2，3，4，n得a2a1 31，a3a2 32，a4a3 33，anan1 3n1，以上(n1)个式子相加，得ana13132 3n1.an3n12.n1 时，a131121，an3n12(nN*)?归纳拓展(1)对n1 时，检验a11 是否满足an3n 12是必要的，否则就要写成分段函数的形式(2)如果给出数列 an的递推公式为anan 1f(n)型，并且 f(n)容易求和，这时可采用叠加法对n1 检验是必要的，否则就要写成分段函数的形式，这里说的f(n)易求和，指的是f(n)的形式
8、为等差数列前n项和、等比数列前n项和，或是常见的特殊公式，如122232n2n（n1）（2n1）6等?变式迁移3已知数列 an 满足an1ann2，且a11，求 an 的通项公式解析：an1ann2，an1ann2.a2a112，a3a222，anan1（n 1）2.叠加即得ana1 1222(n1)2（n1）n（2n1）6，an16n(n1)(2n1)1(nN*)四、叠乘法例 4 在数列 an中，a1 2，an1n2nan，求数列 an 的通项公式an.分析：由an1n2nan?an1ann2n知，已 知条件属于an1anf(n)型递推公式，所以用叠乘法求出an.解析：由a1 2，an1n2
9、nan，an1ann2n.取n1，2，3，n1 得a2a131，a3a242，a4a353，an1an2nn2，anan1n 1n 1.把上述各式两边分别相乘，得：a2a1a3a2a4a3an1an2anan1314253nn2n1n1，ana1n（n1）2.ann（n1）2a1，即ann(n1)当n1 时，a12 适合上式故ann(n1)(nN*)?归纳拓展如果数列 an的递推公式为an1anf(n)型时，并且 f(n)容易求前n项的积，这时可采用叠乘法叠乘的目的是出现分子、分母相抵消情况?变式迁移4在数列 an 中，已知a114，an12nan，求an.解析：由an12nan得an1an2
10、n，a2a121，a3a222，anan12n1.叠乘得ana1222 2n12n（n1）2，an2n（n1）2142n2n42(nN*)五、构造转化法例 5 已知数列 an中a11，an 12anan2，则通项公式an_分析：通过观察给出的递推公式可以发现两边取倒数可以得到1an1与1an的关系，也可以将式子乘开得到an1an2an12an两边同时除以2anan 1，转化为等差数列求解解析：方法一将an12anan2两边取倒数，得1an 1an22an121an，1an11an12.数列1an是首项为1a1 1，公差为12的等差数列1an1(n1)12n 12.an2n 1(nN*)方法二(
11、1)an12anan2，an1(an2)2an.an1an2an2an1.两边同除以2an1an得1an11an12.数列1an是等差数列，首项为1a11，公差为12.1an1a1(n1)12n12.an2n 1(nN*)答案：2n1(nN*)?归纳拓展根据已知条件构造一个与an有关的新的数列，通过新数列通项公式的求解求得an 的通项公式新的数列往往是等差数列或是等比数列例如形如anpan1q(p，q为常数)的形式，往往变为anp(an1)，构成等比数列，求an通项公式，再求an.?变式迁移5已知数列 an 中，a12，an13an2，求an.解析：由an1 3an2，设an1k3(ank)，
12、其中k是待定系数，即an 13an 2k与条件进行对比，得2k 2，k 1.故an1 13(an1)，an 1是 211 为首项，公比为3 的等比数列an113n1.an3n11(nN*)题型 2 数列的求和一、公式法例 6(1)求 147(3n 1)的值；(2)若数列 xn 满足logaxn11logaxn(nN*，a0，且a1)且x1x2x3x100100，求x101x102x200的值分析：(1)中 1，4，7，3n1 是个等差数列，但容易这样求解：Snn1（3n1）23n22n.这是错误的，错在没搞清此数列有多少项(2)可以作个变换logaxn 1 logaxnlogaxn1xn1，推
13、导出 xn 是等比数列再求解解析：(1)数列中30 11，第 1 项 1 是n0 时得到的此数列是首项为1，末项为3n1，项数为n1 的等差数列Sn（n 1）1（3n1）23n225n21.(2)由 logaxn11logaxn得 logaxn1logaxn1，logaxn1xn1.xn1xna.数列 xn 是公比为a的等比数列由等比数列的性质得：x101x10 2x200(x1x2x100)a100 100a100.?归纳拓展数列求和常用的公式有：等差数列：Snn（a1an）2na1n（n1）2d；等比数列：Snna1，q1，a1（1qn）1qa1anq1q，q1；k1nk123n12n(n
14、1)；k1nk2122232n216n(n1)(2n1)?变式迁移6设 an为等比数列，bn为等差数列，且b1 0，cnanbn，若 cn是 1，1，2，求cn的前 10 项之和解析：设an 的首项为a，公比为q，bn 首项为b，公差为d，b10，由c1a1b1 1，知a11.c2a2b2qd1，c3a3b3q22d2，解得q2，d 1，an2n 1(nN*)，bn1n(nN*)cn2n1(1 n)(nN*)cn 前10项 和 为a1a2 a10(b1b2 b10)1210121001092（1）978.二、分组求和法例 7 求和：x1x2x21x22xn1xn2.分析：此数列的通项公式是an
15、xn1xn2x2n 21x2n，而数列 x2n，1x2n是等比数列，2 是常数，故采用分组求和法解析：当x1 时，Snx221x2x421x4x2n21x2n(x2x4x2n)1x21x41x2n2nx2（x2n1）x2 1x2（1x 2n）1x 22n（x2n1）（x2n21）x2n（x21）2n.当x1 时，Sn4n.综上，Sn4n，x1，（x2n1）（x2n 21）x2n（x21）2n，x 1.?归纳拓展将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用的是化归的数学思想，通项变形是这种方法的关键?变式迁移7已知数列 an 的通项公式为ann(n1)，
16、求 an的前n项和Sn.解析：ann(n1)nn2(nN*)，Sn(1 23n)(122232n2)n（n1）2n（n1）（2n1）6n（n1）（n2）3.三、裂项相消法例 8 求数列11221224132614281n2 2n的前n项和分析：通项an1n22n1n（n2）121n1n2，所以可以使用裂项相消法解析：an1n22n1n（n2）121n1n2，Sn11 31241351461（n1）（n1）1n（n2）121131214131514161n11n11n1n2121121n11n 23412n212n4.?归纳拓展裂项相消求和就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的
17、抵消项，从而达到求和的目的常见的拆项公式有：(1)1n（n1）1n1n1；(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1；(3)1n（n1）（n2）121n（n1）1（n 1）（n2）；(4)1ab1ab(ab)；(5)anSnSn 1(n2)?变式迁移8已知数列 an 的通项公式为an2n1n2（n1）2，求 an的前n项和Sn.解析：2n1n2（n1）2（n1）2n2n2（n1）21n21（n1）2，Sn 11221221321321421n21（n1）211（n 1）2n（n2）（n1）2.四、错位相减法例 9 求数列n2n的前n项和Sn.分析：此数列非等差数列也非等比数列，其通项公式
18、ann2n可以认为是一个等差数列bnn与一个等比数列cn12n相乘得到的，可以用乘公比错位相减法来求解解 析：Sna1a2a3an，Sn11221223123n12n，12Sn11222123(n1)12nn12n1，得：12Sn1212212312nn12n112112n112n12n1112nn12n1，Sn212n 1n2n.?归纳拓展若数列 an 是等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 anbn，当求该数列前n项和时，常常采用将 anbn的各项乘以公比，并向后错一项与anbn的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种求和的方法称为错位相减法?变式迁移
19、9求和：Sn12422723(3n2)2n.解析：Sn12422723 3(n1)2 2n1(3n2)2n，2Sn122423 3(n1)2 2n(3n2)2n1，得Sn12322323 3 2n(3n2)2n13(2 22 2n)(3n2)2n14 3(2n 12)(3n2)2n14 32n 163n2n12n24 2n23(1 n)2n110.Sn3(n1)2n12n210.五、倒序相加法求和例 10 设f(x)12x2，利用教科书上推导数列前n项和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为 _分析：若直接求解则相当麻烦，考虑f(x)12x2的特点及f(5)，f(6)
20、；f(4)，f(5)；的特点，f(x)与f(1 x)是否有某种特别的联系，如果有则可以用求等差数列前n项和公式的方法解答此题解析：f(x)12x2，f(1x)121x22x222x122x22x.f(x)f(1 x)12x222 2x2 2x22.设Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，倒过来，则有Sf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，2Sf(5)f(6)f(4)f(5)f(6)f(5)62.S32.答案：32?归纳拓展此题运用了倒序相加法求得所给函数值的和，由此可以看出，熟练掌握重要的定理、公式的推导过程是非常重要的，它有助于同学们理解各种解题方法，强化思维过程的训练当数列 an
21、 满足akank常数时，可用倒序相加法求数列an的前n项和?变式迁移10设f(x)x21x2，求和Sf(2 014)f(2 013)f(2 012)f(1)f12f13f12 013f12 014.解析：f(x)x21x2，f1x1x211x211x2.f(x)f1x 1.Sf(2 014)f(2 013)f(1)f12f12 014，又Sf12 014f12 013f(1)f(2)f(2 014)，两式相加得2S2 014 2 013，S4 0272.题型 3 数列应用题一、与等差数列有关的实际应用题例 11 有 30 根水泥电线杆，要运往1 000 米远的地方安装，在1 000 米处放一根
22、，以后每隔 50 米放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务(完成任务回到原处)，那么这辆汽车的行程共为多少千米？分析：读懂题意，将实际问题转化为等差数列，关键要找准首项、公差，弄清an还是Sn.解析：如下图所示，假定30 根水泥电线杆存放在M处，则 a1MA 1 000，a2 MB 1 050，a3 MC 1 100，a6 a3503 1 250，a30a31509.由于一辆汽车每次只能装3 根，故每运一次只能到a3，a6，a9，a30，这些地方，这样组成公差为150，首项为1 100 的等差数列，令汽车的行程为S，则S2(a3a6 a30)2(a3a31501 a3150
23、9)2 10a31501929 35.5(千米)，即这辆汽车的行程为35.5 千米?归纳拓展对于与等 差数列有关的应用题，要善于发现“等差”的信息，如“每一年比上一年多(少)”“一个比一个多(少)”等，此时可化归为等差数列，明确已知a1，an，n，d，Sn中的哪几个量，求哪几个量，选择哪一个公式?变式迁移11有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存，到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和每期存入金额存期12存期（存期1）利率.(1)试解释这个本利和公式(2)若每月初存入100 元，月利率为5.1，则到第12 个月底的本利和是多少？(
24、3)若每月初存入一笔金额，月利率是5.1，希望到第12 个月底取得本利和2 000 元，那么每月初应存入多少钱？解析：(1)设每期存入金额为A，每期利率为p，存的期数为n，则各期利率之和为Ap 2Ap 3Ap nAp12n(n 1)Ap，连 同 本 金 可 得 本 利 和nA12n(n 1)Ap A n12n（n1）p.(2)当A100，p 5.1，n 12 时，本利和100 121212135.1 1 239.78(元)(3)将(1)中公式变形，得A本利和n12n（n1）p2 000121212135.1 161.32(元)，即每月初应存入161.32 元二、与等差、等比数列有关的综合应用题
25、例 12 某工厂三年的生产计划中，从第二年起，每一年比上一年增长的产值都相同，三年的总产值为300 万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划的年产值多10 万元、10 万元、11 万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分数都相同，求原计划中每年的产值分析：将实际问题转化为数列，弄清哪部分为等差数列或等比数列，结合等差、等比数列性质求解解析：由题意得原计划三年中每年的产值组成等差数列，设为ad，a，ad(d 0)，则有(ad)a(a d)300，解得 a100.又由题意得(a d)10，a10，(a d)11 组成等比数列，(a 10)2(a d)10(ad)11 将 a100 代入上式，得
26、1102(110 d)(111 d)，d2d1100，解得 d10，或 d 11(舍)原计划三年中每年的产值分别为90 万元、100 万元、110 万元?归纳拓展读懂题意，将实际问题转化为等比数列问题，找准首项，公比(差)，弄清求什么混合型应用题常有两种解法：一是归纳法，归纳出前n 次(项)，寻找规律，再写出前n 次(项)的通项(前 n 项和)，此时要注意下标或指数的规律二是逆推法，寻找前后两项的逆推关系，再从逆推关系求an，Sn，此时应注意第(n 1)次变到第n 次的变化过程?变式迁移12某地房价从2004 年的 1 000 元/m2增加到十年后2014 年的 5 000 元/m2，问平均每年增长百分之几？(注意：当x(0，0.2)时，ln(x 1)x，取lg 2 0.3，ln 10 2.3)解析：设年增长率为x，则每年的房价依次排列组成首项为1 000，公比为(1 x)的等比数列由题意可得1 000(1 x)105 000，即(1x)105，取自然对数有10ln(1 x)ln 5ln10lg 52.3(1lg 2)1.61，再利用ln(x 1)x，可得xln 5100.1616%.故每年约增长16%.