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1、安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020 学年高二上学期期中考试试题数学一、选择题：(本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分)1.已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay3 0平行，则a()A 1 B 2 C0 或 2 D 1 或 2 2如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上 C直线AC上 DABC内部3.设b、c表示两条直线，、表示两个平面，下列命题中真命题是A若b,c，则bc B 若b,bc，则cC若c，c，则D 若c，则 c4.已知直线m、n，平面、,给出下列命题:若,mn，且mn，
2、则若/,/mn，且/mn，则/若,/mn，且mn，则若,/mn，且/mn，则其中正确的命题是()A.B.C.D.5直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是()A.1，15B.，12()1，C(，1)15，D(，1)12，6.给出下面四个命题：其中正确的命题是()过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等A.B.C.D.7已知l是大小确定的一个二面角，若a、b是空间两条
3、直线，则能使a、b所成角的为定值的一个条件是()Aa/且 b/Ba/且 bC a且 b/D a且 b8.已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A1 B.2 C.212 D.2129.若二面角l为56，直线m，直线n，则直线m与n所成的角取值范围是()A(0,)2 B,6 2 C,3 2D,6 310正方体ABCD 1111A B C D的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A2 B 3 C.4 D.5 11.如图，已知正三棱柱111ABCA B C的各条棱长都相等，M是侧棱1CC的中点，则异面直线1ABBM和所成的角的大小
4、是 ()A30 B45 C.60 D.9012某几何体的三视图如图所示，当ab取最大值时，这个几何体的体积为 ()A16 B.13 C.23 D.12二.填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线xsin Aayc 0 与bxysin B sin C 0 的位置关系是 _14点 A(1，1)到直线 xcos ysin 20 的距离的最大值是.15如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AMME最小，其最小值为_16.如图，正方体1111ABCDA B C D
5、，则下列四个命题：P在直线1BC上运动时，三棱锥1AD PC的体积不变；P在直线1BC上运动时，直线AP与平面 ACD1所成角的大小不变;P在直线1BC上运动时，二面角1PADC的大小不变；M是平面1111A B C D上到点D和1C距离相等的点，则M点的轨迹是过1D点的直线.其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号）.三解答题（本大题共有6小题，总分70 分）17.（本题满分10 分）设直线l的方程为(a 1)xy2a 0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围18.（本题满分12 分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，
6、在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度19.（本题满分12 分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的正弦值。；A C B P 20（本题满分12 分）如图，已知，在空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB的中点.（1）求证：平面CDE平面ABC；（2）若3,5,4ABDCBCBD,求几何体ABCD的体积；（3）若G为ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF平面CDE.21.（本题满分12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是菱形，PO 底面
7、 ABCD，O、E 分别是 AD、AB 的中点，AB 6,AP 5，BAD 60 .（1）求证：平面 PAC 平面 POE；（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；（3）若 F 是边 DC 的中点，求异面直线 BF 与 PA 所成角的余弦值。22.（本题满分12 分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得 PM 平面 BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBD
8、A的正切值。答案一、选择题1.D 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.D 8.C 9.C 10.C 11.D 12.D 二.填空题13.垂直 14.22 15.3a2 16.17.（本题满分10 分）设直线l的方程为(a 1)xy2a 0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解:(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a2a1a2，即a11，a0，方程即为xy2 0.综上，l的方程为3xy0 或xy2 0.(2)将l的方程化为y(a1)xa
9、2，所以020)1(aa或020)1(aa故1a综上可知a的取值范围是(，1 18.（本题满分12 分）有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为,VV圆锥V球13(3r)23r43r353r3，将 球 取 出 后，设 容 器 中 水 的 深 度 为h，则 水 面 圆 的 半 径 为33h，从 而 容 器 内 水 的 体 积为,32,91)33(31hhhV，由VV，
10、得h315r.19.（本题满分12 分）如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的正弦值；证明：（）取AB中点D，连结PDCD，PA=PB，PDABAC=BC，CDABAB平面PCD平面PCD，PCABPCA C B D P A C B E P A C B P（）解ACBC，APBP，PC=PCAPCBPC又PCAC，PCBC 又90ACB，即ACBC，且ACPCC，BC平面PAC取AP中点E连结BECE，ABBP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在直角三角形ACB中,AB=B
11、C=2,90ACB,22在 等 边 三 角 形P中623AB,在BCE中，90BCE，2BC，BE=6，6sin3BCBECBE20.（本题满分12 分）（1）证明：连接 BD,四边形 ABCD 是菱形,AC BD，21.又 OE/BD,OE AC PO 底面 ABCD,PO AC,OE OP O，AC 平面 POE,又 AC 平面 PAC,平面 PAC 平面 POE（2）过点 B 作 BM OE 于 M，易证 PO BM,OE,OE OP O,BM 平面 POE PM 是 PB 在平面 POE 上的射影,BPM 即为所求。四边形ABCD 是菱形，由平几知识得BM=233 ,又 AP=5,OA
12、=3,在直角三角形POA中得 OP=4,在直角三角形POB中，OB=33 ,OP=4,PB=43,在PMBRt中，233BM,43PB，所以861293sinPBBMBPM(3)取 PB的中点 T,AB 的中点 H,连 BF,DH,TH.易证 DH/BF,TH/PA DHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角,在三角形PDB中,PD=5,DB=6,PB=43,43103243103643252cos222PBPDDBPBPDBPD ,在三角形PDT中，47943103243544325cos2222BPDPTPDPTPDDT,所以279DT,在DHT中，33DH,25HT,279DT
13、1033332252479274252cos222DHHTDTDHHTDHT9219tanDHT21（本题满分12 分）如图，已知，在空间四边形ABCD中，,BCAC ADBD，E是AB的中点.（1）求证：平面CDE平面ABC；（2）若3,5,4ABDCBCBD,求几何体ABCD的体积；（3）若G为ADC的重心，试在线段AB上找一点F，使得GF平面CDE.证明：（1）BC=AC，E为 AB的中点，AB CE.又 AD=BD，E为 AB的中点 AB DE.ECEDE,AB 平面 DCE AB平面 ABC，平面 CDE 平面 ABC.4分（2）在 BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，222BC
14、BDDCCD BD，5 分,在 ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，222ACADDCCD AD，DBDAD CD 平面ABD.所以线段CD的长是三棱锥C-ABD的高。6 分,又在 ADB中，DE=2554916,455332552121ABDESABDVC-ABD4553325532131 8 分（3）在 AB上取一点F，使 AF=2FE，则可得GF 平面 CDE 9 分取 DC的中点 H，连 AH、EH G为 ADC的重心，G在 AH上，且 AG=2GH，连 FG，则 FG EH 10 分又 FG平面 CDE，EH平面 CDE，GF 平面 CDE 12 分22.如图，正方形
15、ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE平面；（II）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得 PM 平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角FBDA的正切值。解：（）因为平面ABEF平面ABCD,BC平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，BC AB,所以BC平面ABEF所以BCEF.因为ABE为等腰直角三角形，ABAE，所以45AEB又因为45AEF，所以454590FEB，即EFBE,BC BE=B,所以EF平面BCE。4 分（
16、）存在点M,当M为线段AE的中点时，PM平面BCE.取 BE的中点 N，连接 CN,MN，则 MN 12AB PC，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以 PM CN，因为 CN在平面 BCE内，PM不在平面 BCE内，所以 PM 平面 BCE.8分另解：取 AB的中点 T,连接 MT,PT，证明平面MPT平行平面BCE,从而得到PM 平面 BCE.（）平面ABEF 平面 ABCD，平面 ABEF平面 ABCD=AB,EA平面 ABEF,EA AB,EA平面 ABCD，作 FG AB,交 BA的延长线于G，则 FG EA。从而，FG 平面 ABCD，作 GH BD于 H，连结 FH，则由三垂线定理知，BDFH，因此，FHG为二面角F-BD-A的平面角，因为 FA=FE,AEF=45,所以 AFE=90，FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF=22.FG=AFsinFAG=12在 RtFGH中，GBH=45,BG=AB+AG=1+12=32,GH=BG sinGBH=3222=3 24在 RtFGH中，tanFHG=FGGH=23故二面角F-BD-A 的正切值为23.12 分