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1、第 1 页 共 21 页2020 届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测考试数学试题一、单选题1若集合120Ax xx，ln0Bxx，则AB（）A12xxB11xxC12xxD21xx【答案】A【解析】分别化简集合A和B，然后直接求解AB即可【详解】12012Axxxxx，ln01Bxxx x，12ABxx.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题2已知12izi，则z（）A1355iB1355iC1355iD1355i【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由共轭复数的概念得结论.【详解】21212213222555iiiiiiziiii，1355zi.故选：B.【点睛】本题考查复
2、数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题3已知直线l过点 P(3，0)，圆22:40Cxyx，则（）Al与 C 相交Bl与 C 相切Cl与 C 相离Dl与 C 的位置关系不确定【答案】A【解析】代入计算得到点P在圆内，得到答案.【详解】第 2 页 共 21 页2240 xyx，即2224xy，223204，故点P在圆内，故l与C相交.故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定点P在圆内是解题的关键.4已知20121nnnpxbb xb xb x，若123,4bb，则p（）A1 B12C13D14【答案】C【解析】根据二项式定理得到13bpn，22142n nbp，解得答案
3、.【详解】1npx展开式的通项为：11nrrrrrrnnTCpxCpx，故113nbCppn，2222142nn nbCpp，解得9n，13p.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.5中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A15B14C13D12【答案】D【解析】总共有 10 种结果，其中相生的有5 种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2 种，共2510C种，而相生的有5
4、 种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.第 3 页 共 21 页6命题2:2,1,0pxxxm成立的充要条件是（）A0mB14mC124mD2m【答案】B【解析】根据题意2min()mxx，设221124yxxx，计算得到答案.【详解】2,1x，20 xxm，则2mxx，故2min()mxx，设221124yxxx，2,1x，故当12x时，函数有最小值为14.故14m.故选：B.【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小值是解题的关键.7在直角三角形ABC 中，,22ACBACBC，点 P 是
5、斜边 AB 上一点，且BP=2PA，则CP CACP CB（）A4B2C2 D4【答案】D【解析】如图所示：以CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，计算得到答案.【详解】如图所示：以CB为x轴，CA为y轴建立直角坐标系，则0,2A，2,0B，2 4,3 3P，2 42 484,0,2,2,043 33 333CP CACP CB.故选：D.第 4 页 共 21 页【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键.8已知函数212xxafxxeeax只有一个极值点，则实数a的取值范围是（）A0a或12aB0a或13aC0aD0a或13a【答案】A【解析】讨论0a，0
6、a两种情况，变换得到xxxeea，设xxg xee，求导得到单调性，画出函数g x和xya的图像，根据图像得到答案.【详解】212xxafxxeeax，则20 xxfxxeaea，故0 xxaxaee，当0a时，xfxxe，函数在,0上单调递减，在0,上单调递增，00f，故函数有唯一极大值点，满足；当0a时，即xxxeea，设xxg xee，则2xxgxee恒成立，且02g，画出函数g x和xya图像，如图所示：根图像知：当12a时，即0a或12a时，满足条件.第 5 页 共 21 页综上所述：0a或12a.故选：A.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，变换xxxeea，画出函数图像是解题的关
7、键.二、多选题9“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为21002001,10 2xfxex，则下列说法正确的是（）A该地水稻的平均株高为100cmB该地水稻株高的方差为10C随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一
8、样大【答案】AC【解析】根据函数解析式得到100，2100，故 A 正确 B 错误，根据正态分布的对称性得到C 正确 D 错误，得到答案.【详解】第 6 页 共 21 页2100200110 2xfxe，故100，2100，故 A 正确 B 错误；1208070p xp xp x，故 C 正确；根据正态分布的对称性知：100110901008090pxpxpx，故 D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.10如图，正方体ABCD 1111DCBA的棱长为2，线段11B D上有两个动点,M N，且1MN，则下列结论正确的是（）AACBMBMN 平面
9、 ABCDC三棱锥ABMN 的体积为定值D AMN 的面积与 BMN 的面积相等【答案】ABC【解析】如图所示，连接BD，根据AC平面11BDD B得到ACBM，A 正确，/MNBD，故 MN平面 ABCD，B 正确，计算23A MNBV，C 正确，1BMNS，1AMNS，D 错误，得到答案.【详解】如图所示：连接BD，易知ACBD，1DD平面ABCD，AC平面ABCD，故1ACDD，故AC平面11BDD B，BM平面11BDD B，故ACBM，A 正确；易知11/D BBD，故/MNBD，故 MN平面 ABCD，B 正确；11121 223323A MNBBMNVSAO为定值，故C 正确；第
10、 7 页 共 21 页1BMNS，122AMNhSMN h，其中h为点A到直线11B D的距离，根据图像知2h，故1AMNS，故 D 错误；故选：ABC.【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11已知双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为20 xy，双曲线的左焦点在直线50 xy上，A、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB 的斜率分别为12,k k，则12kk的取值可能为（）A34B 1 C43D2【答案】CD【解析】计算得到双曲线方程为2214xy，则2,0A，2,0B，设
11、00,P xy，12002kykx，根据渐近线方程知：00102yx，代入计算得到答案.【详解】第 8 页 共 21 页根据题意知：12ba，5c，故2a，1b，双曲线方程为2214xy，则2,0A，2,0B，设00,P xy，则220014xy，00 x，00y，00000201020022242yyx yxxxxkky，根据渐近线方程知：00102yx，故012012xkky.故选：CD.【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定00102yx是解题的关键.12在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2 的正方形ABCD 沿x轴滚动(无滑动滚动)，点 D 恰好经过坐标原点，设顶点,B x
12、 y的轨迹方程是yfx，则对函数yfx的判断正确的是（）A函数2 2g xfx在39，上有两个零点B函数yfx是偶函数C函数yfx在86，上单调递增D对任意的xR，都有14fxfx【答案】AB【解析】根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案.【详解】当以A点为中心滚动时，B点轨迹为2,0为圆心，2为半径的14圆弧；当以D点为中心滚动时，B点轨迹为0,0为圆心，2 2为半径的14圆弧；第 9 页 共 21 页当以C点为中心滚动时，B点轨迹为2,0为圆心，2为半径的14圆弧；当以B点为中心滚动时，B点不动，然后周期循环，周期为8.画出函数图像，如图所示：002 20gf，882
13、 202 20gff，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数yfx在0,2上单调递减，故在86，上单调递减，C错误；取2x，易知122ff，故 D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像确定周期是解题的关键.三、填空题13函数cos43sin 4yxx的单调递增区间为_.【答案】,26212kkkZ【解析】化简得到2sin46yx，取242262kxk，kZ，解得答案.【详解】cos43sin42sin46yxxx，取242262kxk，kZ，第 10 页 共 21 页解得,26212kkxkZ.故答案为：,26212kkkZ.【点睛】本题考
14、查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.14北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019 年 9 月 25 日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有 _种不同的安排方法.(用数字作答).【答案】10【解析】根据题意，共有2412A种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的2种选择，得到答案.【详解】不考虑西一跑道、西二跑道共有2412A种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的222A种选择，共有10种
15、选择.故答案为：10.【点睛】本题考查了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键.15已知A，B是球O的球面上两点，AOB 90，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 _【答案】144【解析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可.第 11 页 共 21 页【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABCVC AOB R2RR336，故R 6，则球O的表面积为S4R2144.故答案为144.【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特
16、征和面积公式，属于基础题.四、双空题16已知抛物线2:20C xpy p的准线方程为1y，直线:3440lxy与抛物线 C 和圆2220 xyy从左至右的交点依次为A、B、E、F，则抛物线C 的方程为 _，EFAB_.【答案】24xy16【解析】计算2p，故抛物线方程为24xy，联立方程得到114y，24y，计算14AB，4EF，得到答案.【详解】根据题意知12p，故2p，故抛物线方程为24xy，设焦点为0,1M，2220 xyy，即2211xy，直线:3440lxy过圆心，联立方程243440 xyxy，得到241740yy，解得114y，24y.故1111 144ABAM，141 14EF
17、FM，故16EFAB.故答案为：24xy；16.第 12 页 共 21 页【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.五、解答题17在5462abb，35144aabb，24235b Sa b三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设na是公比大于0 的等比数列，其前n 项和为,nnSb是等差数列.已知11a，32214352,SSaa abb，_.（1）求na和nb的通项公式；（2）设1 12233nnnTa ba ba ba b，求nT.【答案】（1）1,.nnnabn（2）121.nnTn【解析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答
18、案.（2）2nnna bn，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）方案一：选条件：设等比数列na的公比为q，132211,2aSSaa，220qq，解得2q或1q，0q，2q，12nna.设等差数列nb的公差为d，435546,2abb abb，1126831316bdbd，解得111bd，nbn，12,nnnabn.方案二：选条件：设等比数列na的公比为q，132211,2aSSaa，220qq，解得2q或1q，0q，2q，12nna.第 13 页 共 21 页设等差数列nb的公差为d，4353514,4abb aabb，11268235bdbd，解得111bd，nbn，12,.nnna
19、bn方案三：选条件，设等比数列na的公比为q，132211,2aSSaa，220qq，解得2q或1q，0q，2q，12nna.设等差数列nb的公差为d，4352423,5abb b Sa b，112680bdbd，解得111bd，nbn，12,.nnnabn（2）12,nnnabn，1 122nnnTa ba ba b01211 222122nnnn，12121 222122nnnTnn，12112222nnnTn12221212nnnnnn，121.nnTn【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18如图，在 ABC 中，5:5:3
20、,1 sin5ADDCBDA，0BA BD（1）求 BC 的长度；（2）若 E 为 AC 上靠近 A 的四等分点，求sinDBE.【答案】（1）2BC（2）3 1010【解析】（1）计算得到5cos5ADB，3 55DC，利用余弦定理计算得到答案.第 14 页 共 21 页（2）根据余弦定理得到2 105BE，利用正弦定理计算得到答案.【详解】（1）0BA BD，BABD，在ABD中，1BD，5sin5A，5AD，5cos5ADB，又:5:3ADDC，3 55DC，在BCD中，5cos5BDC，222=2cosBCCDBDCDBDBDC93 55=121555=42BC.（2）由（1）知 AB
21、=2，12545AEAC，2 5cos5A，ABE中，2222cosBEABAEABAEA42 52 542255585，2 105BE，在3 52 5sin=55BDEDEBDE中，sinsinDEBEDBEBDE，sin3 10sin10DEBDEDBEBE.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.19如图所示，在直三棱柱111ABCA B C中ABAC，侧面11ABB A是正方形，3,3 6ABAC.第 15 页 共 21 页（1）证明：平面11AB C平面11ABC；（2）若16AMAC，求二面角11MBCA的大小.【答案】（1）证明见解析；（2
22、）3【解析】（1）证明11A C平面11ABB A得到111ABAC，证明1AB平面11ABC得到答案.（2）如图，以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，求得平面1MBC的一个法向量为6 1,155n，1AB是平面11ABC的一个法向量，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）三棱柱111ABCA B C为直三棱柱，111AAAC，ABAC，1111ACA B，又111,AA A B平面111111,ABB AAAA BA，11AC平面11ABB A，又1AB平面11ABB A，111ABAC，又侧面11ABB A为正方形，11A BAB，又111,A CA B平面11ABC，1111A
23、BA CA，1AB平面11ABC，又1AB平面11ABC，平面11AB C平面11ABC.（2）如图，以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则110,0,3,0,3,3,0,3,0,3 6,0,0,3 6,0,3ABBCC，13 6,0,0,0,3,3ACAB，10,3,0,3 6,3,3ABBC，MBABAM16ABAC6,3,02，设平面1MBC的一个法向量为,1nx y，则100n MBn BC，解得61,55xy，第 16 页 共 21 页6 1,155n，又1AB是平面11A BC的一个法向量，13315cos,2321825n AB，12,3n AB，二面角11MBCA的大
24、小为3.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第 0 站，第 1站，第 2 站，第100 站.一枚棋子开始在第0 站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1 或 2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99 站或第 100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为nP.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：1111983nnnnPPPPn；（3）若最终棋子落在第99 站，则
25、记选手落败，若最终棋子落在第100 站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.第 17 页 共 21 页（2）根据题意得到112133nnnPPP，化简得到1113nnnnPPPP.（3）计算得到9998972133PPP，10099PP，得到答案.【详解】（1）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，6，3213282143,4327339P XP XC，2323212115,6339327P XCP X，所以，随机变量X 的分布列为
26、：X3456p8274929127842134564279927E X.（2）由题意知，当198n时，棋子要到第1n站，有两种情况：由第 n 站跳 1 站得到，其概率为23nP；由第1n站跳 2 站得到，其概率为113nP112133nnnPPP，111211333nnnnnnnPPPPPPP，1111983nnnnPPPPn，（3）由（2）知，当棋子落到第99 站游戏结束的概率为9998972133PPP，当棋子落到第100 站游戏结束的概率为1009813PP，10099PP，最终棋子落在第99 站的概率大于落在第100 站的概率，游戏不公平.【点睛】本题考查了分布列和数学期望，数列的递推
27、公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第 18 页 共 21 页21已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率e 满足223 220ee，以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线24 50 xy相切.（1）求椭圆C的方程；（2）过点 P(0，1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆 C 相交于 A，B 两点，问在y轴上是否存在与点P 不同的定点Q，使得APQBPQSQAQBS恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142xy（2）存在；定点0,2Q【解析】（1）根据点到直线距离公式计算得到2a，计算22e，得到答案.（2）设1
28、1220,1,QmmA x yB xy，直线l的方程为1ykx，联立方程得到12122242,2121kxxx xkk，sinsinAPQBPQSQAPQASQBPQB，得到QAQBkk，计算得到答案.【详解】（1）由题意知004 5241a，2a，由223 220ee，解得22e或2e（舍），故2c，2b，椭圆 C 的方程为22142xy.（2）存在，假设 y 轴上存在与点P 不同的定点Q，使得APQBPQSQAQBS恒成立，第 19 页 共 21 页设11220,1,QmmA x yB xy，直线l的方程为1ykx，由221421xyykx，得2221420kxkx，12122242,21
29、21kxxx xkk，222168 213280kkk，1sinsin21sinsin2APQBPQQP QAPQASQAPQASQBPQBQP QBPQB，APQBPQSQAQBS，sinsinPQAPQB，PQAPQB，QAQBkk，1212ymymxx，121212mxxkx x，即2242122121kmkkk，解得2m，存在定点0,2Q，使得APQBPQSQAQBS恒成立.【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22已知函数11,0 xxfxxexex.（1）证明：1011xfxxex；（2）若32 cos2xxg xaxxxx e，当0,
30、1,xfxg x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）,3第 20 页 共 21 页【解析】（1）xxfxx ee，得到0fx，00f得到0fx，整理得到221xex，即1xex，令10 xxexx，证明0 x得到答案.（2）当0,1x时，要证fxg x即证32112 cos02xxx eaxxx，令22cos2xG xx，证明G x在01，上是减函数，得当3a时，fxg x在01，上恒成立，再证明3a时，fxg x在01，上不恒成立，得到答案.【详解】（1）xxfxx ee，当0 x时，1,1xxee，0fx，fx在0，上是增函数，又00f，0fx.由111xfxxex
31、整理得221xex，即1xex，令10 xxexx，即10 xxe，x在0，上是增函数，又0 x，0 x，1xex，111xfxxex，综上，1011xfxxex.（2）当0,1x时，要证fxg x，即证3112 cos2xxxxxexeaxxxx e，只需证明32112 cos02xxx eaxxx.由（1）可知：当0,1x时，110 xxfxxexe，即211xx ex，332112 cos112 cos22xxxx eaxxxxaxxx第 21 页 共 21 页212cos2xx ax，令22cos2xG xx，则2sinGxxx，令2sinHxxx，则12cosHxx，当0,1x时，0
32、Hx，Gx在01，上是减函数，故当0,1x时，00GxG，G x在01，上是减函数，0=2G xG，13aG xa，故当3a时，fxg x在01，上恒成立.当3a时，由（1）可知：221xex，即2111xx ex，3321112 cos12 cos212xxxx eaxxxaxxxx32 cos12xxaxxxx212cos12xxaxx，令2112cos121xIxaxaG xxx，则211IxGxx，当0,1x时，0Ix，Ix在01，上是减函数，Ix在01，上的值域为12cos1,3aa.3a，30a，存在00,1x，使得00I x，此时00fxg x故3a时，fxg x在01，上不恒成立.综上，实数a的取值范围是,3.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.