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1、第 1 页 共 23 页2020 届四川省绵阳南山中学高三高考仿真模拟（一）数学（文）试题一、单选题1在复平面内，复数z对应的点为(1,1)，则1zi（）A1B 1 C2 D2【答案】B【解析】1zi，代入计算得到答案.【详解】复数 z 对应的点为(1,1)，则1zi，2112111112ziiiiiiii.故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法，复数的模，复数对应坐标，意在考查学生的计算能力和转化能力.2已知集合2 2,1,0,10ABxx，则AB（）A(2,0)B 2,0C2,1,0 x xxx或或D1【答案】B【解析】先求集合B，再求AB，即可得答案.【详解】由210 x，解得20 x，
2、则20Bxx所以20ABxx=2,0故选：B.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查分式不等式的解法，属基础题.3已知5log 312a，5log 314b，5log 0.12c，则（）第 2 页 共 23 页A abcBbacCcbaDacb【答案】A【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】5log 312a，555log 32log 3log 9111422b，5555101logloglog 0.1lo100g122212c，由5logyx在定义域内单调递增，则555log 10log 9log 3，又12xy单调递减，所以555log 10log 9log 3111222
3、，所以 abc.故选：A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，需掌握指数函数、对数函数的图像与性质，属于基础题.4阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A3 B 11 C38 D123【答案】D【解析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；再将第三次循环的结果写出，输出结果【详解】解；经过第一次循环得到2123a，经过第二次循环得到23211a，第 3 页 共 23 页经过第三次循环得到2112123a，不满足判断框的条件，执行输出123.故选:D【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查输出
4、结果问题，属于基础题5若48,26(0)PmmQmm，则 P，Q 的大小关系是（）APQBPQCPQD由 m 的取值确定【答案】C【解析】平方作差即可比较出大小关系【详解】解：224242122(4)(8)QPmmmm2122(4)(8)mmm284mm，0m，所以84mm，即840mm22QP，又P，0Q，PQ故选：C【点睛】本题考查了数的大小比较方法、平方作差法、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6函数2121xy的部分图象大致为（）AB第 4 页 共 23 页CD【答案】D【解析】计算函数在0,的值域即可判断结果.【详解】当0,x时，21,x所以210 x，则2021x
5、所以21121x，故函数在0,的值域为1,故 D 正确故选：D【点睛】本题考查根据函数的解析式判断大致图像，对这种题型一般从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、值域入手，属基础题.7甲、乙等3 名同学打算参加社会公益活动，现有“环境保护”和“知识传播”两项公益活动，每个同学只参加一项活动，每项公益活动至少有一名同学参加，则甲、乙两人参加同一项公益活动的概率为（）A13B115C320D120【答案】A【解析】利用捆绑法计算概率得到答案.【详解】根据捆绑法：一共有2232CA种排法，甲、乙两人参加同一项公益活动有2222CA种排法，故2222223213CApCA.故选：A.【点睛】第 5 页 共
6、23 页本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8 如图所示，在正方体1111ABCDA B C D中，点 E 为线段AB的中点，点 F 在线段AD上移动，异面直线1B C与EF所成角最小时，其余弦值为（）A0 B12C105D1116【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1BC与EF的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z 轴，建立空间直角坐标系，在正方体1111ABCDA B C D中,点 E 为线段AB的中点，设正方体棱长为2，则1(0,0,0)
7、,(2,1,0),(2,2,2),(0,2,0)DEBC，1(2,0,2)B C,设,0,0F m02m，(2,1,0)EFm，设异面直线1B C与EF的夹角为，第 6 页 共 23 页则1212|2(2)|cos|12 2(2)1211(2)EF B CmEFB Cmm,异面直线1BC与EF所成角最小时，则cos最大，即0m时，210cos51102141.故选：C.【点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题.9已知0,2，且cos32cos1sin2，则cos（）A45B2 55C35D55【答案】C【解析】化简式子，
8、可得2sincos22，由平方关系求出2cos2，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.cos2【详解】由2221 sincos2sincossincossin222222因为0,2，则0,24，所以cossin22所以1 sincossin22，又22coscossincossincossin222222所以cossincossincos2222cos1sincoscossin2222第 7 页 共 23 页则cossincos3222cos1 sincos22化简可得：2222542sincos,sincoscos1,cos22224225，所以23cos2cos125故选：C【点睛】本题考
9、查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.10 过抛物线24yx的焦点 F 的直线交抛物线于A，B 两点，交 y 轴于点 C，|3AF，则|:|BCAC（）A14B12C13D15【答案】A【解析】如图所示：根据相似得到3CFAF，32BF，32CB，得到比例关系.【详解】如图所示：312APAMMP，1OF，故3CFAF，易知BCBQACAP，即62BCBQ，3BCBQ，即331BFBF，解得32BF，故33322CB，1:4BCAC.故选：A.第 8 页 共 23 页【点睛】本题考查了抛物线中线段的比例关系
10、，意在考查学生的计算能力和转化能力.11若,a b c均为单位向量，且0,()()0a bacbc，则(a bc+)的取值范围为（）A0,1B0,2C1,2D21,2【答案】C【解析】由0a b得2ab，根据向量数量积的运算性质可得1abc，再结合a bca bc+即可得结果.【详解】,a b c均为单位向量，0a b，2ab，20acbccabc，即1abc，且2a bca bc+，abc的取值范围为1,2，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.12函数()cos(1)xfxeaxxx，当0 x时，()0f x恒成立，则a 的取值范围为（
11、）A0,B1,eC,eD,e【答案】B 第 9 页 共 23 页【解析】先令1x可得1ae.又原不等式等价于cos10 xeaxx在0,上恒成立.令,0,xes xxx，利用导数可得s xe恒成立，再利用三角函数的性质结合放缩法可证明当1ae时cos10 xeaxx是恒成立的.【详解】取1x，则有1(1)11 cos(1 1)0fea，故1ae.又0 x时，()0f x恒成立等价于cos10 xeaxx在0,上恒成立.令,0,xes xxx，21xexs xx，当0,1x时，0s x，1,x时，0s x，所以s x在0,1上减函数，在1,为增函数，所以s xe，故当1ae时，有cos110 x
12、eaxeax，综上，1ae.故选：B.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立，可通过赋值法缩小参数的范围，再将复杂不等式等价转化为简单不等式，利用导数或函数的性质证明不等式恒成立，本题属于难题.二、填空题13 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线已知双曲线22:14yCx，则其共轭双曲线离心率为_【答案】5【解析】本题首先可以求出双曲线C的实轴长以及虚轴长，然后结合题意求出其共轭双曲线的实轴长以及虚轴长，最后根据离心率cea即可得出结果.【详解】第 10 页 共 23 页因为双曲线C的解析式为2214yx，所以2a，双曲线C的实轴长为4，1b，双曲线C的虚轴长
13、为2，因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，所以双曲线C的共轭双曲线实轴长为2，虚轴长为4，此时1a，2b，故225cab，离心率551cea，故答案为：5.【点睛】本题考查共轭双曲线的离心率的求法，能否结合题意得出共轭双曲线的实轴长以及虚轴长是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14已知圆22:20(0)Axyaxa被直线20 xy截得的线段长为2，则圆 A 与圆22:4450Bxyxy的位置关系是_【答案】相交【解析】根据弦长公式计算得到1a，再计算圆心距得到答案.【详解】圆22:20(0)A xyaxa，即222xaya，圆心,0a到直线20 xy的距
14、离为222222ada，解得1a或5a（舍去），1r，圆22:4450Bxyxy，即222213xy，13R，22112213RrdRr，故两圆相交.故答案为：相交.【点睛】本题考查了直线和圆，圆和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.152020年 5月 27 日中国珠穆朗玛峰测高工程队顺利登顶，将在峰顶竖立觇标，安装GNSS（全球卫星导航系统），将对这座世界最高峰的高度进行最新测量，如在水平面上的 A 处测得峰顶H 的仰角是45，然后在另一点B 处测得峰顶H 的仰角是60，若 H在水平面的射影为O（如图），且150,AOBABa，则珠穆朗玛峰的最新高度第 11 页 共 23 页O
15、H_【答案】217a【解析】假设OHh，依据题意可得,AO BO，然后使用余弦定理2222cosABAOBOAO BOAOB，简单计算即可得结果.【详解】设OHh由题可知：45,60OAHOBH，则3,3AOh BOh，在AOB中，有2222cosABAOBOAO BOAOB又 ABa，所以22232cos15033hhahh则2232177ahha故答案为：217a【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.16如图，在三棱锥ABCD，,ABAD BC平面ABD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱AD、BD上，且EFAD则下列结论中：正确结论的序号是_第 1
16、2 页 共 23 页EF/平面ABC；ADAC；EF/CD；直线AC与EF的距离等于直线BC与EF的距离【答案】【解析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距，简单判断可得结果.【详解】由,ABAD EFAD，所以EF/AB，由EF平面ABC，AB平面ABC所以EF/平面ABC，故正确BC 平面ABD，AD平面ABD，所以BC AD又ADAB，ABBCB，,AB BC平面ABCAC平面ABC，所以ADAC，故正确若EF/CD，则EF/平面ACD，又EF与平面ACD相交，故错由EF/平面ABC，且,AC BC平面ABC所以直线AC与EF的距离等于直线BC与EF的距离，即为E
17、F与平面ABC的距离，故正确故答案为：【点睛】本题考查线线、线面之间的位置关系，掌握线线、线面、面面的位置关系以及平行、垂直的判定定理和性质定理，审清题意，属基础题.三、解答题17设数列na的前 n 项和为nS，已知111,21(2)nnaSSn（1）证明na为等比数列；（2）设nnbna，求数列nb的前 n 项和【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21nn.【解析】（1）由121nnSS得*12213,nnSSnnN，两式做差，可得第 13 页 共 23 页*123,nnannNa，当2n时，代回原式，解得22a，所以212aa，满足*122,nnannNa，即可得证；（2）根据错位相减法
18、求数列12nnbn的前 n项和即可.【详解】解：（1）由121nnSS得*12213,nnSSnnN，则1122nnnnSSSS，即12nnaa，即*123,nnannNa，当2n时，2121SS，解得22a，故212aa*122,nnannNa，所以数列na是以 1 为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得12nna，则12nnbn，设数列nb的前 n 项和为nT，则01211222322nnTn12121 222(1)22nnnTnn-：2112222(1)21nnnnTnn故(1)21nnTn【点睛】本题考查利用定义证明等比数列，错位相减求和法，解题时，需根据题干所给关系，对n 进行合
19、理赋值，再运用等比数列的定义即可得证，考查计算化简的能力，属中档题.182020 年新型冠状病毒肺炎（简称“新冠肺炎”）成为威胁全球的公共卫生问题，中医药在本次新冠肺炎的治疗中发挥了重要作用研究人员对66 例普通型新冠肺炎恢复期患者进行了中医临床特征分析，发现主要证型有气阴两虚证与肺脾气虚证，同时可能兼夹湿证 为研究这两种主要证型在兼夹湿证的难易上是否有差异，研究人员将湿证症第 14 页 共 23 页状分级量化，将所有肺脾气虚证患者的量化分作成茎叶图（1）若量化分不低于16 分，即可诊断为兼夹湿证，请参考茎叶图，完成下面22列联表夹湿证非夹湿证合计气阴两虚20肺脾气虚合计66（2）根据此资料，
20、能否有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异？附：2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bcKab cd ac bd【答案】（1）列联表见解析；（2）有 99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异.【解析】（1）根据茎叶图可得肺脾气虚证患者为兼夹湿证为12210，从而可完善列联表.（2）根据列联表计算观测值即可判断.【详解】解：（1）由茎叶图可得肺脾气虚证患者为兼夹湿证为12210，列联表如下：第 15 页 共 23 页夹湿证非夹湿证合计气阴两虚20 34 54 肺脾气虚10 2 12 合计30 36
21、 66（2）因为2266(40340)8.4886.63554123036K，所以有 99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异【点睛】本题考查了完善列联表、独立性检验的基本思想，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.19 如图，在直三棱柱111ABCA B C中，12,2,3ACABBCAA，E 在棱1AA上，且12AEA E，F 是边BC的中点，G 在线段AF上（1）求证：11EGB C；（2）求点 F 到平面1BEC的距离【答案】（1）证明见解析；（2）3 1414.【解析】（1）由已知条件可证得BC 平面AEF，即可得,BCEG由11/BCBC，即可证得结论；（2）
22、借助11FBECEBFCVV等体积转化，由已知求得112E BFCV，计算求得第 16 页 共 23 页1142BECS，进而可求得点F 到平面1BEC的距离【详解】解：（1）如图，因为111ABCA B C为直三棱柱，所以1AABC，又因为ACAB，F 是边BC的中点，所以BCAF，又1AAAFA，所以 BC 平面AEF，EG平面AEF，所以11,/BCEG BCB C，11EGB C（2）连接1FC，在三棱锥1FBEC中，11FBECEBFCVV，因为2,2ACABBC，所以三角形ABC为直角三角形，则三棱锥1EBFC的高1AF，132BFCS，112EBFCV，又在三角形1BEC中，11
23、13,6,3BCBEEC，第 17 页 共 23 页由余弦定理11187cos,sin93BECBEC，所以1142BECS，设点 F 到平面1BEC的距离为 h，则由11FBECEBFCVV得：11132BECSh得3 1414h，故点 F 到平面1BEC的距离为3 1414.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质定理，考查等体积法求点到面的距离，考查逻辑推理能力和计算能力，难度一般.20已知函数1()ln(0),()1f xxax ag xx（1）若直线0(0)xybb是函数()f x 与()g x的公切线，求a，b 的值：（2）函数()4(1)()()h xag xfx，且函数()yh x
24、只有一个零点，求实数a 的取值范围【答案】（1）211ae；1b；（2）1,9.【解析】（1）假设公切线与两函数的切点，然后利用函数在某点处的几何意义，可得切点，简单计算即可得a，b（2）计算()h x，依据题意可得2(31)10axax在0 x时无解，然后构造函数2()(31)1xaxax，计算3102(0)0aa或23102(31)40aaaa,可得结果.【详解】（1）设公切线与函数(),()yf xyg x的切点分别是1122,x yxy，由21()(1)g xx，所以22111x，220,1xy代入切线方程得1b；第 18 页 共 23 页又由1()fxax，111ax，111xa，1
25、1ln11ayaa，代入切线方程得211ae（2）因为4(1)()ln(0)1ah xxax xx，所以23222(1)(31)1(21)(32)1()(1)(1)xaxaxaxaxaxh xx xx x，由己知()yh x只有一个零点，则2(1)(31)10 xaxax只有一解1x，所以2(31)10axax在0 x时无解；当0a时，得1x，不符合题意，故0a设2()(31)1xaxax，则3102(0)0aa或23102(31)40aaaa所以13a或1193a，故实数 a 的取值范围为：1,9【点睛】本题考查导数的应用，熟悉曲线“在”，“过”某点处的切线方程的求法，以及等价转化思想的灵活
26、应用，考验分析能力以及计算能力，属中档题.21定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆22221(0)xyabab上一点 P（不与长轴的端点重合）的焦点三角形12F PF，且12F PF第 19 页 共 23 页（1）求证：焦点三角形12F PF的面积为定值2tan2b；（2）已知椭圆22:143xyC的一个焦点三角形为12F PF，12F PF；若06，求P点的横坐标的范围；若3，过点P的直线l与x轴交于点M，且122PF MPF MSS，记2MPF，求sin的值【答案】（1）证明见解析；（2）4 3 352x或24 3 35x；
27、21sin14或12【解析】（1）根据椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式推理运算即可；（2）先设出P点坐标，根据焦半径公式表示出12,PFPF，根据余弦定理用点P的横坐标表示出来，再利用的范围求出点P的横坐标范围；利用（1）的结论及条件先求出M点坐标，然后在2PMF中利用面积公式求出sin即可.【详解】解：（1）证明：设12,PFm PFn，由椭圆定义有122,2mna F Fc，在三角形12F PF中，由余弦定理得：2222cos4mnmnc，即22442(1cos)acmn，所以12221sinsintan21 cos2F PFSmnbb.（2）设(,)P x y，由已知得：12,3,1,
28、2abce，3cos12.在三角形12F PF中，由焦半径公式得：12122,2,222xxPFPFF F，由余弦定理得：222121212|2cosF FPFPFPFPF，第 20 页 共 23 页代入并化简得：216(3 35)x，故4 3 352x或24 3 35x.由（1）可知11222122tan3,21PF MF PFPMFSF MSbSMF，可得1,03M，或(3,0)M.（）当1,03M时，设(,)P x y，在三角形12F PF中，12122,2,222xxPFPFF F，由余弦定理得：2221212122cos3FPFPFPFPFF得0,3xy.则(0,3)P，所以22 7
29、|,23PMPF，所以221|sin2PMFSPMPF，31 2 72sin323，所以21sin14.（）当(3,0)M时，同理可得1sin2综上所述，21sin14或12【点睛】本题考查椭圆定义、焦半径公式、余弦定理和三角形面积公式，重点考查椭圆与三角形知识的综合应用，属于压轴题.22在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程是2cos3 sinxy（为参数）以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）点 A，B 在曲线 C 上，且OAOB，求2211|OAOB的值【答案】（1）22123sin；（2）712.【解析】（1）先计算出曲线的普通方程，然
30、后根据cos,sinxy代入化简即可（2）根据（1）的条件，假设1122,AB,依据OAOB，可得212，第 21 页 共 23 页然后计算221211，简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：曲线 C 的参数方程是2cos3sinxy（为参数）则曲线 C 的普通方程为：22143xy又cos,sinxy所以2222cossin143，则22223cos4sin12即22123sin（2）设1122,AB,由OAOB，可得212由（1）可知：221222121212,3sin3sin则22221112226sinsin3sin3sin112|121212OAOB2211226sincos1
31、17|1212OAOB【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程相互转化，牢记cos,sinxy，222xy，审清题意，细心计算，属中档题.23已知函数()|6|2|2|f xxx第 22 页 共 23 页（1）在直角坐标系中，画出函数()fx 的图像；（2）设()f x 的最小值为m，若实数0,0,0 xyz，且xyzm，求证：11194xyz【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，可得函数的解析式，然后分段画出函数图象即可（2）根据图象可知函数的最小值4m，然后计算1111()4xyzxyz并使用基本不等式，可得结果.【详解】（1）310,2()2,26310,6xxf xxxxx，作出()f x 的图像如下第 23 页 共 23 页（2）由（1）可得，4,4mxyz1111111()4xyzxyzxyz134yzxzxyxxyyzz19(3222)44当且仅当43xyz时取等【点睛】本题考查含有多个绝对值函数图象的画法依据基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法，同时掌握绝对值三角不等式ababab，属中档题.