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1、厦门市 2013 届高三质量检查数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分150 分，考试时间120分钟.第卷（选择题共 50 分）一.选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.1已知全集UR，集合3Ax x，20Bx x，则UAC B等于（）A(,3B(,3)C2,3)D(3,22.双曲线2214xy的渐近线方程为（）A2yxB4yxC12yxD14yx3.某雷达测速区规定：凡车速大于
2、或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚如图是某路段的一个检测点对200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A20 辆B40 辆C60 辆D80 辆4.“abee”是22loglogab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5.函数()sin()f xxx xR（）A.是偶函数且为减函数B.是偶函数且为增函数C.是奇函数且为减函数D.是奇函数且为增函数开始i=0输入正整数 nn为奇数?n=3n+1n=n/2i=i+1n=1?输出 i结束是否是否2俯视图侧视图正视图AB6.若不等式组,0,1yxyx
3、表示的平面区域为M，不等式2yx表示的平面区域为N，现随机向区域M内投掷一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为（）A16B13C12D.237甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以 31 的比分获胜的概率为（）A.827B.6481C.49D.898.在右侧程序框图中，输入5n，按程序运行后输出的结果是（）A3 B4 C5 D.6 9若函数3()3f xxx在2(,6)aa上有最小值，则实数a的取值范围是（）A(5,1)B5,1)C2,1D(2,1)10.ABC中，2,45BCA，B为锐角，点O 是ABC外接圆的圆心，
4、则OA BC的取值范围是（）A.(2,2 2B.(2 2,2C.2 2,22D.(2,2)第卷（非选择题共 100 分）二填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，满分20 分。11若2()ai为纯虚数（i为虚数单位），则实数a=.12已知3sin(),25x则cos2x.13 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆。现有一只蚂蚁从点A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A 点，则蚂蚁所经过路程的最小值为_14 在含有 3 件次品的10 件产品中，取出*(10,)n nnN件产品，记n表示取出的次品数，算得如下一组期望值nE：当 n=1 时，011037371111010
5、30110C CC CECC;ODACBPQ当 n=2 时，0211203737372222101010601210C CC CC CECCC;当 n=3 时，031221303737373733333101010109012310C CC CC CC CECCCC;观 察 以 上 结 果，可 以 推 测：若 在 含 有M件 次 品 的N件 产 品 中，取 出*(,)n nN nN件产品，记n表示取出的次品数，则nE=15 某同学在研究函数22()1610f xxxx的性质时，受到两点间距离公式的启发，将)(xf变形为2222)10()3()10()0()(xxxf，则)(xf表示|PBPA（
6、如图），下列关于函数)(xf的描述正确的是（填上所有正确结论的序号）)(xf的图象是中心对称图形；)(xf的图象是轴对称图形；函数)(xf的值域为 13,)；方程()110ff x有两个解.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分13 分）已知函数33()sincos22f xxx（0）的周期为4。（）求()f x的解析式；（）将()f x的图象沿x轴向右平移23个单位得到函数()g x的图象，P、Q分别为函数()g x图象的最高点和最低点（如图），求OQP的大小。17（本小题满分13 分）如图，PA,QC 都与正方形ABCD 所在
7、平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC BD=O（）求证：OP平面 QBD;（）求二面角P-BQ-D 平面角的余弦值；（）过点C 与平面 PBQ 平行的平面交PD 于点 E，求PEED的值.18（本小题满分13 分）xyOB(3,-1)PA(0,1)yPQO某城市 2002 年有人口200 万，该年医疗费用投入10 亿元。此后该城市每年新增人口10 万，医疗费用投入每年新增x亿元。已知2012 年该城市医疗费用人均投入1000 元。（）求x的值；（）预计该城市从2013 年起，每年人口增长率为10%。为加大医疗改革力度，要求将来 10 年医疗费用总投入达到 690 亿元，若医疗费用人均投入每年
8、新增y元，求y的值。（参考数据：111.12.85）19.（本小题满分13 分）已 知 函 数()lnfxxax在1x处 的 切 线l与 直 线20 xy垂 直，函 数21()()2g xfxxbx（）求实数a的值；（）若函数()g x存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（）设1212,()x xxx是函数()g x的两个极值点，若72b，求12()()g xg x的最大值20.（本小题满分14 分）已知椭圆221:12xCy.（）我们知道圆具有性质：若E为圆 O：222(0)xyrr的弦 AB 的中点，则直线 AB 的斜率ABk与直线 OE 的斜率OEk的乘积ABOEkk为定值。类比圆的
9、这个性质，写出椭圆1C的类似性质，并加以证明；（）如图（1），点 B 为1C在第一象限中的任意一点，过B 作1C的切线l，l分别与x 轴和 y 轴的正半轴交于C，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值；（）如图（2），过椭圆222:182xyC上任意一点P作1C的两条切线PM 和 PN，切点分别为M，N.当点 P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.xyCOBD图（1）图（2）21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7 分，请考生任选2 题作答，满分14 分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7 分）选修4-
10、2：矩阵与变换已知矩阵A3211，122 3B.（）求矩阵A 的逆矩阵1A；（）求直线01yx在矩阵1A B对应的线性变换作用下所得曲线的方程.（2）（本小题满分7 分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程是22cos,2sinxy（为参数）.（）将 C1的方程化为普通方程；（）以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C2的极坐标方程是()3 R，求曲线 C1与 C2交点的极坐标.（3）（本小题满分7 分）选修4-5：不等式选讲已知正数x，y，z满足6222zyx（）求zyx2的最大值；（）若不等式zyxaa221对满足条件的x，y，z恒成立，
11、求实数a的取值范围yxMNOPyA1OBDyQMBAOP厦门市 2013 届高三质量检查数学（理科）评分标准一选择题；BCABDBACCA10.分析 1：BC=2，045A，所以22sinaRRA，如图建系，(1,0),(1,0)BC(0,1)O，求 得 圆O：22(1)2xy，设(,)A x y，则OA BC分析 2：|cos,4cos,OA BCOABCOA BCOA BC分析3：2211()()()()22OA BCODDABCDA BCACABACABcb又02sinsinsin 45bcBC，所以222211()(22 sin)(22 sin)22cbCB=22221()4(sins
12、in).2cbCB二填空题：11.112.72513.26(或2 23)14.mnN15 15.分析：如图设12(,0),(,0)P xQ x，当 P，Q 关于3(,0)2对称时，即12322xx12()()f xf x,所以 f(x)关于32x对称.设()f xt，则()110f t，观察出10t，则23t，由知无解.三解答题：16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力满分13 分解：（1）33()sincos22f xxx133(sincos)22xx-1分3(s
13、incoscossin)33xx3sin()3x-3分2=4,=42o因为，所以-5分()3sin()23f xx所以-6分（2）将()f x的图像沿x轴向右平移23个单位得到函数()3sin2g xx-7分因为P、Q分别为该图像的最高点和最低点，所以(1,3),(3,3)PQ-9分所以2,4,OPPQ-10分222312,cos22OQPQOPOQOQ QP-12分所以6-13分法 2：60,60,30=30ooooPOxPQOx可以得所以法 3：利用数量积公式(2,23)(3,3)3cos241293QP QOQPQO，=30o所以17 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面
14、角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，考查空间想象、计算、推理论证等能力满分13 分解：（）连接OQ，由题知PAQC,P、A、Q、C 共面BD AC,BD PA,PA AC=A，BD平面 PACQ,BDOP.-1分由题中数据得PA=2，AO=OC=2,OP=6,QC=1，OQ=3 PAO OCQ,POA=OQC,又 POA+OPA=90 POA+COQ=90 OPOQ（或计算 PQ=3，由勾股定理得出POQ=90 ，OPOQ）-3分OPBD,OP OQ,BD OQ=O，OP平面 QBD-4分（）如图，以A 为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z 轴建立直角坐标系，各点坐标分别为A
15、(0,0,0)，B(2,0,0)，C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q(2,2,1),O(1,1,0)-5分BP=(-2,0,2),BQ=（0,2,1）,设平面 PBQ 的法向量),(zyxn22020n BPxzn BQyz，得zyzx2，不妨设1y，)2,1,2(n-6分由（）知平面BDQ 的法向量)2,1,1(OP，-7分cosOP，n=214666 3OP nOPn，二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值为66.-9分（）设PEED,(1)0,2,2PDPEEDED,10,2,21ED222,11CECDDE，-11分CE平面 PBQ,CE与平面 PBQ 的法向量)2
16、,1,2(n垂直。242440111n CE,-12分21.12PEED-13分（方法二）在平面 PAD 中，分别过D 点、P 点作直线PA、AD 的平行线相交于点M，连结 MC 交直线 DQ 与点 N，在平面PQD 中过点 N 作直线 NE PQ 交 PQ 于点 E，-11分由题可知CNPB,NEPQ,CN NE=N平面 CNE平面 PBQ,CE平面 PBQ-12分CQ=1，MD=PA=2，12QNNDNEPQ,12PEED-13分18本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力满分1
17、3 分.解：（）依题意，从2002 年起，该城市的人口数组成一个等差数列，到2012 年，11n，该 城 市 的 人 口 数 为200(11 1)10300万 人，-2分故 2012 年医疗费用投入为493001010003 10元，即为30 亿元，由 于 从2002年 到2012年 医 疗 费 用 投 入 也 组 成 一 个 等 差 数 列，-4分所以10(11 1)30 x，解得2x，-5分（）依题意，从2013 年起（记 2013 年为第一年），该城市的人口数组成一个等比数列na，其中1300(1 10%)3001.1a，公比1.1q，3001.1nna-6分医疗费用人均投入组成一个等差
18、数列nb，其中11000by，公差为y，1000nbny；-7分于是，从2013 年起，将来10 医疗费用总投入为：101 12210 10Sa ba ba b，-8分21010300(1000)1.1300(10002)1.1300(100010)1.1Syyy，2311101.1300(1000)1.1300(10002)1.1300(100010)1.1Syyy，相减得：21011100.130011001.11.11.1(100010)1.1 Syyyy，1111101.1 1.10.13001100(100010)1.1 300(111750)1 1.1Syyy，所以3000(111
19、750)nSy（万元），-12分由题设，3000(111750)6900000y，解得50y。-13分19.本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。满分13 分.解：（）()lnfxxax，()1afxx.-1分l与直线20 xy垂直，112xkya，1a.-3分（）21()ln(1)2g xxxbx，21(1)1()(1)xbxg xxbxx.-4分由题知()0g x在(0,)上有解，0 x,-5分设2()(1)1u xxbx，则(0)10u只须2102(
20、1)40bb-7分1331bbbb或，故b的取值范围为(3,).-8分（）21(1)1()(1)xbxg xxbxx，令()0g x，得：2(1)10 xbx12121,1xxbx x，法 1：221211122211()()ln(1)ln(1)22g xg xxxbxxxbx22221112121212122211ln()(1)()ln()()()22xxxxbxxxxxxxxxx22221112112122212221111ln()ln()ln()222xxxxxxxxxxxx xxxx-10分120 xx，设12(01)xttx，令11()ln(),(01)2h ttttt-11分则22
21、2111(1)()(1)022th tttt，()h t在(0,1)上单调递减-12分又72b，225(1)4b，即22121212()125()24xxxxtx xt01t，241740tt，104t，115()()2ln248h th，故所求最小值为152ln 28-13 分法 2：同上得212121ln)(21)()(xxxxbxgxg22221ln4)(21xxxb22ln24)1(21xbb24)1()1(ln24)1(2122bbbb2ln24)1()1ln(24)1(2122bbbb-10分令51()2tbt，则22()42ln(4)2ln 22th tttt-11分222222
22、12()422444tth ttttt0-12分()h t在5(,)2上 为 增 函 数.当52t时,15()2ln 2.8h t故 所 求 最 小 值 为152ln 28-13分20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。满分14 分.yCOBD解：（）若 A，B 为椭圆221:12xCy上相异的两点，00(,)E xy为 A，B 中点，当直线AB 的斜率ABk与直线 OP 的斜率OPk的乘积OPABkk必为定值;-1分证 1：设1122(,),
23、(,)A xyB xy，则221122221(1)21(2)2xyxy（2）-（1）得：21212121()()()()02xxxxyyyy，-2 分仅考虑斜率存在的情况：0020ABxyk12OEABkk-4分证2：设AB：ykxb与椭圆221:12xCy联立得：222(12)4220kxkbxb122412kbxxk，-2分所以0002202112122OEykbbxykkkxk12OEABkk-4 分（）（）当点A 无限趋近于点B 时，割线AB 的斜率就等于椭圆上的B 的切线的斜率k，即12OBk k，222yxk所以点 B 处的切线QB：222222()122xxyyxxxy yy-6
24、分令0 x，21yyD，令22,0 xxyC，所以222yxSOCD-8分又点 B 在椭圆的第一象限上，所以12,0,0222222yxyx222222222222221yxyxyxyMNOP222222yxSOCD，当且仅当122222222yxyx所以当2(1,)2B时，三角形OCD 的面积的最小值为2-10 分（没写等号成立扣 1 分）（）设(,)P m n，由（）知点),(33yxM处的切线为：1233yyxx又PM过 点(,)P m n，所 以1233nymx，又 可 理 解 为 点),(33yxM在 直 线12ynmx上同理点),(44yxN在直线12ynmx上，所以直线MN的方程
25、为：12mxny-12分所以原点O 到直线 MN 的距离2214dmn22，-13 分所以直线MN 始终与圆2212xy相切.-14分21.（1）选修 4-2：矩阵与变换本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。满分 7 分解：（）013211det A，矩阵A可逆-1分且1A1213-3分（）BA1=12133221=1031-4分设直线01yx上任意一点(,)P x y在矩阵BA1对应的线性变换作用下得到(,)P x y，则1031yx=yx-5分即：yyyxx3，从而yyyxx3-6分代 入01yx得012yx即012yx为 所 求 的 曲 线 方 程。
26、-7分（2）选修 4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。满分7 分解：（）C1的普通方程为：4)2(22yx-3分（）法一：如图,设圆心为A，原点 O 在圆上，设 C1与 C2相交于 O、B，取线段OB 中点 C，直线 OB 倾斜角为3，OA=2，-4分OC=1 从而 OB=2，-5分O、B 的极坐标分别为).3,2(),0,0(BO-7分法二：C2的直角坐标方程为：xy3-4分代 入 圆 的 普 通 方 程 后，得4)3()2(22xx,即：0)1(xx，得：1,021xxO、B的直角坐标
27、分别为).3,1(),0,0(BO-5分从而O、B的极坐标分别为).3,2(),0,0(BO-7分（3）选修 4-5：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，xyCOBA考查运算求解能力，分类讨论思想。满分7 分解：（）由柯西 不等 式，2222222)2()121)(zyxzyx-1分即有36)2(2zyx，又x、y、z是 正 数，62zyx即zyx2的 最 大 值 为6，-2分当 且 仅 当121zyx，即 当2,1 yzx时 取 得 最 大 值。-3分（）由题意及（）得，6)2(21maxzyxaa-4分即：-6分解 得：a无 解或37a综 上，实 数a的 取 值 范 围 为37a-7分