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1、第 1 页 共 19 页2020届云南省大理、丽江、怒江高三第二次复习统一检测数学（文）试题一、单选题1已知集合3,0 xMy yx，2lg 3Nx yxx，则MN为（）AB1,C3,D1,3【答案】D【解析】求出集合M、N，然后利用交集的定义可求出集合MN.【详解】3,01,xMy yxQ，22lg 3300,3Nx yxxxxx，因此，1,3MNI.故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，涉及指数函数值域以及对数函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.2设i是虚数单位,如果复数i2ia的实部与虚部是互为相反数,那么实数a的值为()A13B13C3D3【答案】D【解析】分析：由复数代数形式
2、的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案详解：2aii=2212225aiiaa iii=21255aai，复数2aii的实部与虚部是互为相反数，212055aa，即 a=3故选 D点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的实部与虚部的概念，属于基第 2 页 共 19 页础题3甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A丙被录用了B乙被录用了C甲被录用了D无法确定谁被录用了【答案】C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录
3、用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.4设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，/n，则m，n为异面直线；若m，m，则；若/，/，则/；若m，n，/mn，则.则上述命题中真命题的序号为（）ABCD【答案】C【解析】根据线面平行的定义可判断的正误；利用面面垂直的判定定理可判断的正误；利用面面平行的性质可判断的正误；利用线面垂直
4、的性质可判断的正误.综合可得出结论.【详解】对于，若m，/n，则m与n平行或异面，错误；对于，设a，在平面内作na，因为，由面面垂直的性质定理知n，又mQ，/m n，mQ，则n，因为n，正确；第 3 页 共 19 页对于，若/，/，由面面平行的性质可知/，正确；对于，若m，/m n，则n，又n，/，错误.故选：C.【点睛】本题考查了空间中线面、面面位置关系的判断，解答时要注意空间中垂直、平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中档题5若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为(mod)Nnm，例如103(mod 7).下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的中国剩余定理，执行该程序
5、框图，则输出n的值等于（）A29 B 30 C31 D32【答案】D【解析】由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】由题中的程序框图可知：该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余2，所以应该满足是15的倍数多2，并且是比26大的最小的数，故输出的n为32，故选：D.【点睛】第 4 页 共 19 页该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.6函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x-6)的最大值为A
6、65B 1C35D15【答案】A【解析】由诱导公式可得coscossin6233xxx，则16sinsinsin53353fxxxx,函数fx的最大值为65.所以选 A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()yAxB的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征7曲线2lnyxx在1x处的切线的倾斜角为，则cossin的值为（）A2 105B105C105D2 105【答案】A【解析】利用导数求出曲线2lnyxx在1x处的切线斜率，可得出tan的值，进而利用同角三角函数的基本关系可求得cossin的值.
7、【详解】对于函数2lnyxx，则212yxx，所以，tan3，0,Q，为锐角，由22sintan3cossincos1sin0，解得3 10sin1010cos10，因此，2 10cossin5.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，同时也考查了利用同角三角函数基本关系求值，考查计算能第 5 页 共 19 页力，属于基础题.8等比数列na的前n项和为nS，若2135213nnSaaaanNL L?，1238a a a,则8S（）A510 B 255 C127 D6540【答案】B【解析】由等比数列的性质可得22a，由2135213nnSaaaanNL L?可得公比2q=，11a，再由等比数
8、列的求和公式即可求出8S【详解】由等比数列的性质可得312328a a aa，解得22a，又2135213nnSaaaanNL LQ?，24613521213521()()3()nnnaaaaaaaaaaaaL LL LL L，2421352162()nnaaaaaaaaL LL L，21135135212()nnqqqqaaaaaaaaL LL L即2q=，又21aa q，所以11a由等比数列的求和公式8818(1)2125511aqSq故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）第 6 页 共 19 页A92B
9、9C12D16【答案】B【解析】首先把三视图转换为几何体，可知该几何体为直三棱锥，计算出底面三角形的外接圆半径，利用公式求出外接球的半径，然后利用球体的表面积公式求解即可.【详解】根据几何体的三视图转换为几何体如下图所示：由图象可知，AB平面BCD，且90CBDo，则Rt BCD的外接圆半径2215222CDrBDCD，设该几何体的外接球半径为R，则22322ABRr.因此，所求外接球的表面积为249SR.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，球体表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题10设函数313222xxfxeexx，则使得21
10、0fxfx成立的x的取值范围是（）第 7 页 共 19 页A2,1B1,2C1,13D1,23【答案】C【解析】考虑利用函数的单调性将函数值的大小转为自变量大小关系，所以研究()f x 的单调性和奇偶性，即可求解.【详解】313222xxfxeexxQ，313(),()2xxfxeexf xf x是奇函数，331113()322xxxxfxeexexe在(2,2)上单调递增，210fxfx化为21(1)fxfxfx等价于21222212xxxx解得113x，所以不等式的解集为1(,1)3.故选：C.【点睛】本题考查运用函数的性质解不等式，要注意函数的定义域，考查等价转化思想和计算求解能力，属于
11、中档题.11 设12FF、分别是椭圆2221 204xybb的焦点，过2F的直线交椭圆于PQ、两点，且1PQPF，1PQPF，则椭圆的离心率为（）A32B63C22D96 2【答案】B【解析】由已知得11|2|FQPF，结合1RtF PQ周长为48a，求出12|,|PFPF，再求出12|F F，即可求解.【详解】1111,|2|,QPQPFFPFQPPFQ，1RtF PQ周长为1112|(22)8PFFQPF，第 8 页 共 19 页12|84 2,|44 2PFPF，设2112|2,PFcFPFFQ222122212|48(21),2 62 3|4PFPFcF Fc，2 62 3632cea
12、.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，焦点三角形要注意椭圆定义的应用，属于中档题.12已知1t，235=log,log,=logxt yt zt，则A235xyzB523zxyC352yzxD325yxz【答案】D【解析】由题意2222loglogxtt，33333loglogytt，55555loglogztt，又1162228，11336339，易知113223，11510525，11102232，即115252，1115321523，又1t，325yxz，故选 D二、填空题13命题“xR，212xx”的否定是 _.【答案】xR，212xx【解析】原命题为特称命题，其否定为全称命
13、题.【详解】“xR，212xx”的否定是xR，212xx故答案为：xR，212xx【点睛】本题考查对特称命题进行否定.对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可14 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”.其中“日第 9 页 共 19 页减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为_.【答案】429【解析】设第n天织布的尺数为na，可知数列na为等差数列，根据
14、题意得出关于公差的方程，解出这个量的值，即可得出结果.【详解】设第n天织布的尺数为na，可知数列na为等差数列，设等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则15a，1na，90nS，则13902nnn aaSn，解得30n，301295291aadd，解得429d，因此，每天比前一天少织布的尺数为429.故答案为：429.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15已知双曲线222210,0 xyabab的两条渐近线均与圆22:8120C xyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则双曲线的方程为_.【答案】221124xy【解析】利用渐近线与
15、圆相切求得ba的值，求出圆C的圆心坐标可得出22ab的值，由此可得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的方程.【详解】圆C的标准方程为2244xy，圆心4,0C，半径长为2.双曲线222210,0 xyabab的渐近线方程为byxa，第 10 页 共 19 页由于双曲线的两条渐近线与圆C相切，则2421baba，解得33ba，又Q双曲线的右焦点为圆C的圆心，则224ab，则有22334baab，解得22 3ba，因此，双曲线的方程为221124xy.故答案为：221124xy.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及双曲线几何性质的应用以及直线与圆相切的转化，考查计算能力，属于
16、中等题.16平行四边形ABCD中，3,2,120,ABADBADPo是平行四边形ABCD内一点，且1AP，若APxAByADuuu vuuu vuuu v，则32xy的最大值为 _.【答案】2.【解析】【详解】分析：根据APxAByADuu u ruuu ruuu r，利用21APuuu v，利用向量的平方和向量模的平方是相等的，利用基本不等式得出32xy的最大值.详解：因为APxAByADuu u ruuu ruuu r，所以22221()94232()2APxAByADxyxyuuu vuuu vuu u v2223=32)3 32(32)(32)4xyxyxyxy（21(32)4xy，又
17、21APuuu v，即21(32)14xy，所以322xy，当且仅当32xy，即11,32xy时，32xy取得最大值2，故答案是2.点睛：该题考查的是求式子的最值的问题，涉及到的知识点有向量的平方和向量模的平第 11 页 共 19 页方是相等的，向量数量积的定义式，利用基本不等式求最值，在解题的过程中，注意式子的正确使用.三、解答题17在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2226bca，且sinsin4 sinsinbCcBaBC.（1）求cosA；（2）求ABC的面积.【答案】（1）32；（2）32.【解析】（1）利用余弦定理可知cos0A，利用正弦定理边角互化思想求得si
18、n A的值，然后利用同角三角函数的基本关系可求出cosA的值；（2）利用余弦定理求出bc的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC的面积.【详解】（1）因为sinsin4 sinsinbCcBaBC，由正弦定理得sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC，又sinsin0BC，所以4sin2A，即1sin2A又2226bca，由余弦定理得cos0A，所以23cos1sin2AA；（2）因为222cos2bcaAbc，所以3622bc，即2 3bc，所以1113sin2 32222ABCSbcA.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式的应用，涉及正
19、弦定理边角互化思想的应用，考查计算能力，属于基础题.18某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分)8085719287第 12 页 共 19 页乙的成绩(分)9076759282(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3
20、道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二【解析】（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为18085719287835x；乙的平均成绩为29076759282835x，甲的成绩方差25211150.85iisxx；乙的成绩方差为25221148.85iisxx；由于12xx，2212ss，乙的成绩
21、较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适.解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P，乙获得85分以上(含85分)的概率225P因为12PP故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F.方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F共 5 种，第 13 页 共 19 页抽中会的备选题的结果有a，b，c，共 3 种.所以学生乙可参加复赛的概率135P.方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有,a b c，,a b E，,a b F，,a c E，,a c F，,a E
22、F，,b c E，,b c F，,b E F，,c E F，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：,a b c，,a b E，,a b F，,a c E，,a c F，,b c E，,b c F共 7 种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P因为12PP，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19如图，直三棱柱111ABCA B C中，M是AB的中点.（1）证明：1/BC平面1MCA；（2）若122ABA MMC，2BC，求点1C到平面1MCA的距离.【答案】（1）
23、详见解析（2）32【解析】（1）由线线平行可证明线面平行，即易证1/MNBC，又MN平面1MCA，1BC平面1MCA，所以1/BC平面1MCA；（2）由1AC的中点N在平面1MCA上，即点1C到平面1MCA的距离与A到平面1MCA的距离相等，再由三棱锥1AAMC的体积36V，1MCA的面积1S，结合三棱锥的体积公式求解即可.第 14 页 共 19 页【详解】解：（1）连接1AC，设1AC与1AC的交点为N，则N为1AC的中点，连接MN，又M是AB的中点，所以1/MNBC.又MN平面1MCA，1BC平面1MCA，所以1/BC平面1MCA.（2）由22ABMC，M是AB的中点，所以90ACB，在直
24、三棱柱中，12A M，1AM，所以13AA，又2BC，所以2AC，15AC，所以190A MC.设点1C到平面1MCA的距离为h，因为1AC的中点N在平面1MCA上，故A到平面1MCA的距离也为h，三棱锥1AAMC的体积11336AMCVSAA?，1MCA的面积1112SA MMC?，则113336VShh，得32h，第 15 页 共 19 页故点1C到平面1MCA的距离为32.【点睛】本题考查了由线线平行从而证明线面平行及等体积法求点到面的距离，重点考查了空间想象能力，属中档题.20设函数2a2xfxxalnx(a0)x()求函数f x的单调区间；()记函数f x的最小值为g a，证明：g
25、a1【答案】（I）()f x 在(0,)a上单调递减，在(,)a上单调递增；（II）详见解析.【解析】（I）对函数fx求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；（II）由（I）先得到g a，要证1g a，即证明1ln1aaaa，即证明2111lnaaa，构造函数211ln1h aaaa，用导数的方法求函数h a的最小值即可.【详解】（）显然fx的定义域为0,222242332222221xxaxx axaxxfxaxxxxx220 x，0 x，若0,xa，0 xa，此时0fx，fx在0,a上单调递减；若,xa，0 xa，此时0fx，fx在,a上单调递增；综上所述：fx在0,a上单调递减，在,a
26、上单调递增（）由（）知：min1lnfxfaaaaa，即：1lng aaaaa要证1g a，即证明1ln1aaaa，即证明2111lnaaa，令211ln1h aaaa，则只需证明211ln10h aaaa，第 16 页 共 19 页22333211122aaaah aaaaaa，且0a，当0,2a，20a，此时0h a，h a在0,2上单调递减；当2,a，20a，此时0h a，h a在2,上单调递增，min1112ln21ln20244h ah211ln10h aaaa1g a【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.21
27、已知抛物线2:3Cxy的焦点为F，斜率为1的直线l与C的交点为A B、，与y轴的交点为P.（1）若5AFBF，求直线l的方程；（2）若2APPBu uu ruu u r，求线段AB的长度.【答案】（1）1:4lyx（2）9 2【解析】（1）设直线l方程为1122,yxb A xyB xy,，1232AFBFyy，直线方程与抛物线方程联立，由根与系数关系求出12xx，进而得出12yy建立b的方程，求解即可；（2）由2APPBuuu ruu u r，得122xx，结合（1）中的12,x x关系，即可求出结论.【详解】1设直线l方程为1122,yxb A xyB xy,，联立223330 xyxxb
28、yxb由得34b，1212123,223xxyyxxbb.由抛物线的定义知123323522AFBFyyb所以14b，满足，符合题意，所以直线l方程为14yx.第 17 页 共 19 页2由（1）得121 23,3xxx xb.由2APPBuuu ru uu r得122xx，解得126,3,6xxb，满足，符合题意，所以2121 1|92ABxx.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系在解题的中应用，不要遗漏两交点存在满足的条件，考查计算求解能力，属于基础题.22在直角坐标系xOy中，圆 C 的参数方程1cossinxy（为参数），以 O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建
29、立极坐标系.（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是2sin3 33，射线:3OM与圆 C 的交点为O、P，与直线l 的交点为 Q，求线段PQ的长.【答案】（1）2cos；（2）2【解析】（1）首先利用221cossin对圆 C 的参数方程1xcosysin（为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程（2）设11P（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11，；设22Q（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22，可得PQ【详解】（1）圆 C 的普通方程为2211xy，又cosx，siny所以圆 C 的极坐标方程为2cos.（
30、2）设11,，则由23cos解得11，13，得1,3P；第 18 页 共 19 页设22Q,，则由2sin3 333解得23，23，得3,3Q；所以Q2【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23设函数1fxx.（1）求不等式336fxfx的解集；（2）若不等式14fxfxaxb的解集为实数集R，求a b的取值范围.【答案】（1）,33,U（2）,5.【解析】（1）分2x、22x、2x三种情况解不等式336fxfx，综合可得出原不等式的解集；（2）化简函数14yfxfx的解析式，利用数形结合转化求解即可【详解】（1）332222fxfxxxxx.当2x时，由336fxfx，得26x，解得3x，此时3x；当22x时，由336fxfx，得46，不合乎题意；当2x时，由336fxfx，得26x，解得3x，此时3x.综上所述，不等式336fxfx的解集为,33,；（2）5,3142321,325,2xfxfxxxxxx，作出函数14yfxfx的图象如图所示：第 19 页 共 19 页由14fxfxaxb的解集为实数集R，可得0a，5b，即5ab.因此，a b的取值范围为,5.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解以及含绝对值不等式恒成立问题的求解，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题