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1、-1-2020 届广东省深圳市外国语学校高三第一次测试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 UR，集合|lgAx yx，集合|1Byyx，那么()UAC BA.B.0,1C.(0,1)D.(1,)2.若命题“0,Rx使得2002+50 xmxm”为假命题，则实数m的取值范围是A.10,6B.(6,2C.2,10D.(2,10)3.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边过点(1,3)P，则cos2的值为A.54B.45C.35D.354.在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行
2、健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程占全程的18C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42 里路5.数列na满足11a，对任意*nN都有11nnaan，则122019111aaaA20202019B.20191010C.20171010D.403720206.在同一直角坐标系中，函数xya，1log()2ayx(0a，且1a)的图象可能是7.设23342,log 15,log 20abc，则,a b c的大小关系是A.abcB.bcaC.acbD.cba8对某种产品市场产销量情况如图所示，其
3、中：1l表示产品各年年产量的变化规律；2l表示产品各年的销-2-售情况下列叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增你认为较合理的是A（1），（2），（3）B（1），（3），（4）C（2），（4）D（2），（3）9.若函数()yf x的图像和sin()4yx的图像关于点(,0)4P对称，则()f x的表达式是A)4cos(xB)4cos(xC)4cos(xD)4cos(x10.设()f x是定义在上的奇函数,且,当时,有
4、()()f xxfx恒成立,则不等式()0 xf x的解集为ABCD11.若仅存在一个实数(0,)2t，使得曲线C：sin()(0)6yx关于直线xt对称，则的取值范围是A1 7,)3 3B4 10(,33C1 7(,3 3D4 10,)3312.已知函数e,0,()2e(1),0 xxmmxxf xxx（e为自然对数的底），若方程()()0fxf x有且仅有四个不同的解，则实数m的取值范围是A.(0,e)B.(e,+)C.(0,2e)D.(2e,)二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，满分20 分13.第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，
5、会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么tan()4_.14.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线lnyx上，且该曲线在点A处的切线经过点(,1)e(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 _.15.已知关于x的方程|()1xxa在(2,)上有三个相异实根，则实数a-3-的取值范围是_16.如图，在杨辉三角形中，斜线1 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，记其前n项和为nS，则21S=_三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答应写出文字说明，证明过
6、程或演算步骤17（本小题满分10 分）已知等差数列na和等比数列nb，其中na的公差不为0设nS是数列na的前n项和若125,a aa是数列nb的前 3 项，且416S（1）求数列na和nb的通项公式；（2）是否存在常数t,使得41nnSat为等差数列？并说明理由.18（本小题满分12 分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5 米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计轴截面如图所示，设（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱）（1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最
7、佳，求此时的值19.（本小题满分12 分）如图，平面四边形ABCD中，30.CADBAD（1）若75,10ABCAB，且/ACBD，求CD的长；（2）若10BC，求ACAB的取值范围.20.（本小题满分12 分）-4-已知函数()lnxf xaebx，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为1(1)1yxe.(1)求,a b；(2)证明：()fx无零点.21.（本小题满分12 分）已知函数2()lnf xxaxx（1）判断()f x的单调性；（2）若函数()fx存在极值，求这些极值的和的取值范围.22.（本小题满分12 分）已知函数sinxfxexax（1）若fx在0,4上单调递增，求
8、实数a的取值范围；（2）当1a时，求证：对于任意的x30,4，均有0fx理科数学答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 2 3 4 5 6 C C A B B D 7 8 9 10 11 12 C D B A B D 12.【解析】因为函数()()()F xfxf x是偶函数，(0)0F，所以零点成对出现，依题意，方程有-5-两个不同的正根，又当0 x时，()e2xmfxmx，所以方程可以化为：eee02xxxmmxx，即1e()2xxm x，记()exg xx，()e(1)xg xx，设直1()2ym x与()g
9、x图像相切时的切点为(,e)tt t，则切线方程为ee(1)()ttyttxt，过点1(,0)2，所以1ee(1)()12tttttt或12（舍弃），所以切线的斜率为2e，由图像可以得2em二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，满分20 分13.7 14.(e,1)15.16.361 16.【解析】根据杨辉三角形的生成过程，当n为偶数时，42nna，当n为奇数时，1=1a，3=3a，2-132nnnnnaaaa，312aa，533aa，212nnnaa，2438nnna，11102113212420(.)(.)Saaaaaa个个136.66(345.12)28675361（）三、解答题：本
10、大题共6 小题，满分70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10 分）已知等差数列na和等比数列nb，其中na的公差不为0设nS是数列na的前n项和若125,a aa是数列nb的前 3 项，且416S（1）求数列na和nb的通项公式；（2）是否存在常数t,使得41nnSat为等差数列？并说明理由.【解析】（1）设等差数列na的公差为d因为125,a a a是数列nb的前 3 项，且416S，所以21111()(4)434162ada adad,因为0d，所以解得112ad所以，1(1)21naandn又11221,3,baba故数列nb的公比3q，所以1113nnnbb
11、q（2）由（1）可知2nSn若数列41nnSat是等差数列，则3121234141 41,SSSatatat成等差数列，-6-所以3212134141412SSSatatat，即153352315ttt，解得0t或2t令41nnnScat，当0t，41210nnnScna因为12nncc，所以nc是等差数列当2t，41212nnnScna因为12nncc，所以nc是等差数列综上，实数t为 0 或 218（本小题满分12 分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5 米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计轴截面如图所示，设（注
12、：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱）（1）用表示圆柱的高；（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时的值解（1）作于点，则在直角三角形中，因为，所以，因为四边形是等边圆柱的轴截面，所以四边形为正方形，所以（2）由余弦定理得：，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，所以当时，的最大值为答：当时，观赏效果最佳19.（本小题满分12 分）如图，平面四边形ABCD中，30.CADBAD（1）若75,10ABCAB，且/ACBD，求CD的长；-7-（2）若10BC，求ACAB的取值范围.20.（本小题满分12 分）已知函数()lnxf xaebx，曲线()y
13、f x在点(1,(1)f处的切线方程为1(1)1yxe.(1)求,a b；(2)证明：()f x无零点.解(1)函数()f x的定义域为(0,)()xbfxaex，由题意得1(1)fe，1(1)1fe，所以111aeeaebe，解得211aeb.(2)证明：由(1)知21()ln(0)xf xex xe因为21()xfxex在(0,)上单调递增，又(1)0f，(2)0f，所以()0fx在(0,)上有唯一实根0 x，且0(1,2)x当0(0,)xx时，()0fx，当0(,)xx时，()0fx，从而当0 xx时，()f x取极小值，也是最小值由0()0fx，得0201xex，则002lnxx.故0
14、200000000111()()lnln2220 xf xf xexxxxxxx，所以()0f x，即()f x无零点.-8-21.（本小题满分12 分）已知函数2()lnf xxaxx（1）判断()f x的单调性；（2）若函数()fx存在极值，求这些极值的和的取值范围.综上可知，当22a时，()fx在(0,)上单调递减；当2 2a时，()f x在1(0,)x，2(,)x上单调递减；在12(,)x x上单调递增.（2）对函数求导得.因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根.设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知，由得，即这些极值的和
15、的取值范围为22.（本小题满分12 分）已知函数sinxfxexax（1）若fx在0,4上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当1a时，求证：对于任意的x30,4，均有0fx-9-解析：（1）因为sinxfxexax，所以()2sin()4xfxexa函数()fx在0,4上单调递增()fx在0,4上恒有()0fx.即2sin()4xexa恒成立.令()2sin()4xg xex则min()g xa又因为()g x在0,4上单调递增，所以min()(0)1g xg，所以1a.（2）证明：因为sinxfxexax，所以2sinxfxe（4x）a令2sinxg xe（4x），则2cosxgxex 当
16、x0,2时，0gx，g x递增，有min01g xg xg，因为1a，此时，0fxg xa，fx递增，有min00fxfxf成立 当x（3,24时，0gx，g x递减，有min304g xg xg，若0a，此时0fxg xa，fx递增，0fx显然成立若a（0,1，此时记00fx，则fx在（0,2x上递增，在（03,4x上递减此时有002ff，33443232342424feae，构造22xt xex，则212xtxe，令0tx，求得2xIn故t x在（,2In上递减，在（2,In）上递增，所以3242322120242IneeInIn，所以304f，此时满足0fx，综上所述，当1a时，对于任意的x30,4，均有0fx