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1、2013 年浙江理工大学数学建模竞赛封面题目：A（）B （在相应的题号上打钩）姓名年级（注 1）专业手机号（注 1）：须注明本科生或研究生及年级浙江理工大学理学院数学建模实践基地二零一三年三月病人候诊问题摘要本文针对病人候诊问题，通过采用服从泊松分布的病人到达率和服从负指数分布的看病时间，建立病人候诊单服务台的排队模型，来分析诊所的工作状态。针对问题一，我们假设病人到达率服从泊松分布，病人的看病时间服从负指数分布，诊所容量无限，引入排队论原理和“生灭过程”状态方程表达出病人排队看病过程，编写 LINGO程序来运算得到该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率
2、，以及排队队长。同时通过模型分析，给出了最优服务率（即病人看病时间）的求解方程式。针对问题二，我们在问题一的基础上将模型进行推广，在问题一的基础上限制诊所的容量，通过计算得出了诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率，以及排队队长的表达式，将数据代入得到最后的结论。编写LINGO程序方便求解。得出最优服务率的方程式。关键字：泊松分布，负指数分布，容量，排队论，生灭过程，LINGO，最优服务率。一、问题的提出某私人诊所只有一位医生，已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的，若病人的到达服从泊松分布且每小时有4 位病人到来，看病时间服从负指数分布，平均每个病
3、人需要12 分钟。试分析该诊所的工作状况，即求出该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率等。二、模型的准备本题是单服务台的排队模型，排队是日常生活中常见的一种现象，其特点是：在一个排队服务系统中包含有一个或多个“服务设施”，有许多需要进入服务系统的“被服务者”或“顾客”，当被服务者进入系统后不能立即得到服务，也就出现排队现象。由于“被服务者”到达服务系统的时间不确定，是随即的，所以排队论又称为“随即服务系统理论”，因此，排队论在实际中有着广泛的应用。如：病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理。排队论主要研究的内容是性态问题，最优化问题和排队系统的
4、统计推断。排队论中的排队系统由下列三部分组成：（1）输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达。（2）排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即时制就是当服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是当服务台被占用时顾客便排队等待服务。等待制服务的次序规则有先到先服务，随机服务，有优先权的先服务等。（3）服务机构，其主要特征为服务台的数目，服务时间的分布。服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员；可以对单独顾客进行服务，也可以对成批顾客进行服务。和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，但通常假定服务时间的分布是平稳的。排
5、队论主要是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理、研究设计改进措施。因此，研究排队问题，首先要确定用以判断系统运行优劣的基本量化指标，然后求出这些指标的概率分布和数学特征。要研究的系统运行指标主要有：（1）队长指在系统中的顾客数，期望值记作LS；（2）排队长（队列长）指在系统中等待服务的顾客数，其期望值记作Lq，即LS=Lq+Ln，其中Ln为正在接受服务的顾客数；（3）逗留时间指一个顾客在系统中的停留时间，其期望值记作WS；（4）等待时间指一个顾客在系统中排对等待的时间，其期望值记作Wq，即WS=Wq+，其中 为服务时间；（5）忙期服务机构连续工作的
6、时间长度，记作Tb；（6）损失率由于系统的条件限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门受到损失的概率，用Plost表示；（7）服务强度绝对通过能力 A，表示单位时间内被服务完顾客的均值，或称为平均服务率；相对通过能力Q，表示单位时间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比值。要解决这里的病人候诊问题，只要分析排队论中最简单的单服务台排队问题即可。所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成，对顾客进行单独的服务。下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题。三、模型假设（1）顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。（2）排队方式为单一队列的等待制，先到先服务
7、。队长没有限制。（3）顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均数。（4）各顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，其中表示单位时间内能服务完的顾客的平均数。（5）顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。四、模型的分析与建模确定系统在任意时刻t 的状态为 n 的概率Pn(t)。由假设知，当t充分小时，在 t,t+t 时间间隔内：有一个顾客到达的概率为：t+)(t；没有一个顾客到达的概率为：1t+)(t；有一个顾客被服务完的概率为：t+)(t；没有一个顾客被服务完的概率为:1 t+)(t;多于一个顾客到达或被服务完离开的概率为：)(t；现在考虑在t+t时刻系统中有 n 个顾客的概率
8、Pn(t+t)，可能有四种情况A：时刻 t 顾客数为 n Pn(t+t)=Pn(t)(1t)(1 t)B：时刻 t 顾客数为 n+1 Pn(t+t)=Pn 1(t)(1t)tC：时刻 t 顾客数为 n1 Pn(t+t)=Pn 1(t)(t)(1 t)D：时刻 t 顾客数为 n Pn(t+t)=Pn(t)(t)(t)这是一个生灭过程，四种情况相互独立，则有Pn(t+t)=Pn(t)(1 tt)+Pn 1(t)t+Pn 1(t)t+(t)，令t0，则得dttdpn=Pn 1(t)+Pn 1(t)(+)Pn(t)，n=1,2,.当n=0时，类似有dttdp=tP0+tP1.于是，一般的，有)()()
9、()()()()()(11100tptptpdttdptptpdttdpnnnnn=1,2.五、模型求解此方程为差分微分方程，假设t，极限存在，于是有dttdpn=0，tPn=Pn则状态平衡方程为0)1(,01011pppppnnnn令=，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称为服务强度。我们的问题求解将在1 的条件下进行，否则系统内排队的长度将无穷增大，永远不能达到稳定状态。由差分方程（1），得Pn=nP0,n=0,1,2,又由概率的性质0nnP=1和1，得1)11()(1100nnp从而，),1(nnp,2,1,0n下面我们就可
10、以计算出系统的一些重要运行指标。（1）队长Ls=1nn(1)n=1=；（2）队列长Lq=11nnPn=Ls=；（3）逗留时间逗留时间服从参数为的负指数分布，分布函数和分布密度分别为WF=1ew和fw=()ew所以Ws=WE=1；（4）等待时间等待时间=逗留时间被服务时间，即Wq=Ws1=由题意可得=4，5，54，从而，该诊所内平均有病人人数为：Ls=4（人）该诊所内排队候诊病人的平均数为：Lq=2.3（人）看一次病平均所需的时间：Ws=11（小时）排队等候看病的平均时间：Wq=8.0（小时）诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：510P结论：由结果可知病人平均等待的概率为0.8，病人
11、平均等待时间 0.8h，系统排队长 3.2 人，病人平均逗留时间为 1h，系统队长 4人。六、模型推广在刚刚的建模中，我们考虑的是顾客源为无限的情形。在实际情况下，我们常考虑系统容量有限的模型（记之为模型）。这类模型，可以在模型假设中将原模型假设中的假设1 中“认为顾客源无限”改为“认为排队系统的容量为N，即排队等待的顾客最多为N 1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统”，其他假设一样。1,2,1),()()()()()()()(11100Nntptptptptptptpnnnn当 n=N时，由同样的方法得：)()()(1tptptpNNN在稳态情况下，令
12、，得111011,2,1,)1(NNnnnppNnppppp在条件Nnnp11下，解得1,111,11110NnpNpppnNnN这里，不用假设1（因为我们限制了系统的容量）。得到的各种指标为：（1）NnNnnsNnnPL001，11,1111111010NNNnNnNnnsNnnPL（2）1,1111,121111101NNnNnqsnNnqNnNNNnPLPLPL（3）效LWsS（4）1WWSq应该指出，效是指有效到达率，它与平均到达率不同。这儿对Ws,Wq的导出过程中用效而不采用主要是由于当系统已满时，顾客的实际到达率为0。又正在被服务的顾客的平均数为010001)1(10pppnpnn
13、，又概率效P01,从而P0-1效。把病人候诊问题修改为：某私人诊所只有一位医生，诊所内有 8 个椅子，当8 个椅子都坐满时，后来的病人不进诊所就离开了，病人平均到达率为5 人/小时，医生每小时可诊 6 个病人，试分析该服务系统，给出求解该问题的数学模型和一般的计算公式，并计算求出该诊所内排队候诊病人的期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率等。65,6,5,9N诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：1011NP=1988.0从而，该诊所内平均有病人人数为Ls=6565191911965165074.3（人）该诊所内排队候诊病人的平均数为：Lq=PLS01=272.2（人）
14、系统的有效到达率：P0-1效=807.4看一次病平均所需的时间：效LWsS=639.0（小时）排队等候看病的平均时间：1WWSq=472.0（小时）结论：由结果可知排队等待时间 0.472h，排队长 2.27.看病完成需要 0.639h，医生空闲概率 0.1988。七、最优化问题针对问题一模型，设目标函数Lccswsz，即单位时间服务成本与顾客等待费用之和的期望值，其中cs表示1（单位时间内服务完一个顾客）时服务机构的服务费用，cw为每个顾客在系统中停留单位时间的费用，由Ls=，则ccwsz，求其最小值，令0ddz，解得最优解ccsw*，即为最优服务率。针对问题二模型，设系统服务完一个顾客收入
15、G 元，于是单位时间收入的期望值为,1GpN则系统的纯利润为ccpsNNNNsNGGz111令0ddz，得GNNcsNNN 11211)1(其中,111NNNNP用数值方法求解出*的数值解。八、参考文献【1】韩中庚实用运筹学模型、方法与计算清华大学出版社 2007 195-223【2】徐全智 杨晋浩数学建模 .高等教育出版社 .2003 95-107 九、附录附录一：诊所容量无限制的模型下，求出该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率的LINGO程序：Model:S=1;R=4;T=1/5;load=R*T;Pwait=peb(load,S);W_Q=Pw
16、ait*T/(S-load);L_Q=R*W_Q;W_S=W_Q+T;L_S=W_S*R;End 运行结果：Variable Value S 1.000000 R 4.000000 T 0.2000000 LOAD 0.8000000 PWAIT 0.8000000 W_Q 0.8000000 L_Q 3.200000 W_S 1.000000 L_S 4.000000病人平均等待的概率为 0.8，病人平均等待时间 0.8h，系统排队长 3.2 人，病人平均逗留时间为 1h，系统队长 4人。附录二：诊所容量有限制的模型下，求出该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生
17、空闲的概率的LINGO程序：MODEL:sets:num_i/1.9/:P;endsets c=1;N=9;L=5;T=1/6;P0*L=(1/T)*p(1);(L+1/T)*p(1)=L*p0+c/T*p(2);for(num_i(i)|i#gt#1#and#i#lt#N:(L+c/T)*p(i)=L*p(i-1)+c/T*p(i+1);L*p(N-1)=c/T*P(N);P0+sum(num_i(i)|i#le#N:P(i)=1;Plost=p(N);Q=1-p(N);L_E=Q*L;L_S=sum(num_i(i)|i#le#N:i*P(i);L_Q=L_S-L_E*T;W_S=L_S/
18、L_E;W_Q=W_S-T;end 运行结果为 Variable Value C 1.000000 N 9.000000 L 5.000000 T 0.1666667 P0 0.1987690 PLOST 0.3852276E-01 Q 0.9614772 L_E 4.807386 L_S 3.073862 L_Q 2.272631 W_S 0.6394040 W_Q 0.4727374 P(1)0.1656408 P(2)0.1380340 P(3)0.1150283 P(4)0.9585695E-01 P(5)0.7988079E-01 P(6)0.6656732E-01 P(7)0.5547277E-01 P(8)0.4622731E-01 P(9)0.3852276E-01排队等待时间 0.4727374h，排队长 2.272631.看病完成需 0.6394040h，医生空闲概率 0.1987690。