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1、第 1 页 共 6 页莆田一中 2019-2020 学年度上学期12 月月考答案高三理科数学一、选择题DAABCCCBDBDD二、填空题13.114.215.216.2；312三、解答题17.解：（1）3a，5a 是方程214450 xx的两根，且数列na的公差0d，35a，59a，公差53253aad5(5)21naandn（3 分）又当1n时，有11112bbS，113b当2n，有)(2111nnnnnbbSSb，)2(311nbbnn数列 nb是首项113b，公比13q等比数列，1113nnnbbq（6 分）（2）由（1）知213nnnnnca b，则123135213333nnnT（1
2、）（8 分）234111352321333333nnnnnT（2）（10 分）由（1）（2）得：23123121222211111212()33333333333nnnnnnnT（12 分）18.解：（1）34ABC，2AB，20AC，由余弦定理可得，2222cosACABBCAB BCABC，2220442BCBC，22 2160BCbc，2 2BC，或4 2BC（舍)，112sin22 22222ABCSAB BCABC（5 分）（2）设BACCAD，则 04，4BCA，（6 分）在ABC 中，sinsinACABABCBCA，即23sinsin()44AC，2sin()4AC第 2 页
3、共 6 页在ACD 中，sinsinACCDADCCAD，即4sinsin6AC，2sinAC（9 分）由22sinsin()4，解得 2sincos，又 04，5sin5，22 5sinAC.（12 分）19.证明：（1）取 BC 的中点 O，连结 AO，DO，BDCD5，DOBC，DO222OCCD，DO?平面 BCD，平面 DBC平面 ABCBC，平面 BCD平面 ABC，DO平面 ABC，AE平面 ABC，AEDO，又 DO2AE，四边形AODE 是平行四边形，EDAO，ABC 是等边三角形，AOBC，又 AO?平面 ABC，平面 BCD平面 ABCBC，平面 BCD 平面 ABC，A
4、O平面 BCD，BD平面 BCD，ED?平面 EBD，平面EBD平面 BCD（6 分）（2）解：由（1）得 AO平面 BCD，AODO，又 DOBC，AOBC，分别以OB，OA，OD 所在直线为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,3,0(A，B（1，0，0），D（0，0，2），)2,3,0(E，)0,3,1(AB，)2,3,1(BE，)2,0,1(BD设平面 ABE 的一个法向量为),(zyxm，则02303zyxBEmyxABm，取3x，得)0,1,3(m，设平面 BED 的一个法向量为),(zyxn，则02302zyxBEnzxBDn，取 x2，得)1,0,2(n，（9
5、分）2020届福建省莆田一中2017级高三 12月月考数学（理）试卷第 3 页 共 6 页设二面角AEBD 的平面角为，由题意为钝角，则5155232cosnmnm（11 分）二面角AEBD 的余弦值为515（12 分）20.解：（1）根据题意，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，则有2ac，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4 3，则有24 3ab，又222abc，解得2a，3b，1c，故椭圆 C 的方程为22143xy；（4 分）（2）由于对称性，可令点(4,)Mt，其中0t将直线 AM 的方程(2)6tyx代入椭圆方程22143xy，得2222(27)44108
6、0txt xt，由22410827APtxxt，2Ax得2225427Ptxt，则21827Ptyt （6 分）再将直线BM 的方程(2)2tyx代入椭圆方程22143xy得2222(3)44120txt xt，由224123BQtxxt，2Bx得22263Qtxt，则263Qtyt（8 分）故四边形APBQ 的面积为22222222222118648(9)48(9)48|2|2()9122273(27)(3)(9)129PQPQttttttSAByyyytttttttttt由于692tt，且12在 6，)上单调递增，故812，从而，有61248S当且仅当6，即3t，即点 M 的坐标为(4,3
7、)时，四边形 APBQ 的面积取最大值6（12 分）2020届福建省莆田一中2017级高三 12月月考数学（理）试卷第 4 页 共 6 页21.解法一：（1）依题意，()f x 的定义域为(,)，()(1)xfxaxae，（1 分）当0a时，()0 xfxe，()f x 在(,)单调递减；当0a时，当1axa时，()0fx，当1axa时，()0fx，()f x 在1(,)aa单调递减，在1(aa，)单调递增；当0a时，当1axa时，()0fx，当1axa时，()0fx，()f x 在1(,)aa单调递增，在1(aa，)单调递减；（4 分）综上，当0a时，()f x 在(,)单调递减；当0a时，
8、()f x 在1(,)aa单调递减，在1(aa，)单调递增；当0a时，()f x 在1(,)aa单调递增，在1(aa，)单调递减；（5 分）（2）当1a，要证明1)1ln()(xxexfx，即证明1)1ln()1(xxeexxx，因为 所以0 xe，所以只需证明xexxx)1()1ln()1(，（6 分）即01)1ln()1(xxexx，设()(1)(1)1xg xxeln xx，则11(1)()1()11(1)xxxxx exg xxex exxxe，设()1xh xex，则()1xh xe，（9 分）所以当10 x时，()0h x；当0 x时，()0h x；所以)(xh在(1,0)单调递减
9、，在(0,)单调递增；所以0)0()(hxh，当10 x时，()0g x；当0 x时，()0g x；所以)(xg在(1,0)单调递减，在(0,)单调递增；所以0)0()(gxg，所以当1x时，1)1ln()(xxexfx（12 分）2020届福建省莆田一中2017级高三 12月月考数学（理）试卷第 5 页 共 6 页解法二：（1）同解法一（2）当1a，要证明1)1ln()(xxexfx，即证明1)1ln()1(xxeexxx因为 所以0 xe，所以只需证明xexxx)1()1ln()1(，即01)1ln()1(xxexx，只需证明01)1ln()1ln(xxexx（9 分）设1)(xexx，则
10、1)(xex，当01x时，0)(x；当0 x时，0)(x；所以)(x在(1,0)单调递减，在(0,)单调递增；所以0)0()(x，所以0)1ln(xx，即01)1ln()1ln(xxexx所以当1x时，1)1ln()(xxexfx（12 分）22.解：（1）设点(MM，)，点(,)P，(0)，M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段 OM 上，且满足|8OMOP，8M，sin4M，代入点 P 的轨迹方程为：2sin，(0)，22 sin，点 P 的轨迹2C 的直角坐标方程为22(1)1xy，(0)y（5 分）（2）设点(AA，)3，点(BB，)3，分别代入1C，2C 的极坐标方程中，则sin43
11、A，2sin3B，解得8 33A，3B，5 3|3ABAB（10 分）23.解：（1）0,2310,21,2312)(xxxxxxxxxf2()f xx，2321xxx或1022xxx或2320 xxx，12x或01x或31702x，2020届福建省莆田一中2017级高三 12月月考数学（理）试卷第 6 页 共 6 页31712x或12x，不等式的解集为317|12xx或 12x；（5 分）（2）证明：由（1）知，()minMf xf（1）1，1abcM22222)2(4)2(babbababa，222bababa，同理222bccbcb，12222cbacbcbbaba即12222cbcbbaba（10 分）2020届福建省莆田一中2017级高三 12月月考数学（理）试卷