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1、提分专练切线的性质与判定|类型 1|切线的性质1.2019 毕节 如图 T6-1,点 P 在 O 外,PC 是 O 的切线,C 为切点,直线 PO 与 O 相交于点A,B.(1)若 A=30,求证:PA=3PB;(2)小明发现,A 在一定范围内变化时,始终有 BCP=12(90-P)成立.请你写出推理过程.图 T6-12.2019 贺州 如图 T6-2,BD 是 O 的直径,弦 BC 与 OA 相交于点E,AF 与 O 相切于点A,交 DB 的延长线于点F,F=30,BAC=120,BC=8.(1)求 ADB 的度数;(2)求 AC 的长度.图 T6-23.2018 沈阳 如图 T6-3,BE
2、 是 O 的直径,点 A 和点 D 是 O 上的两点,过点 A作 O 的切线交 BE 的延长线于点 C.(1)若 ADE=25,求 C 的度数;(2)若 AB=AC,CE=2,求 O 的半径长.图 T6-34.2018 随州 如图 T6-4,AB 是 O 的直径,点 C 为 O 上一点,CN 为 O 的切线,OMAB于点 O,分别交 AC,CN于 D,M 两点.(1)求证:MD=MC;(2)若 O 的半径为 5,AC=4 5,求 MC 的长.图 T6-4|类型 2|切线的判定5.2019 常德 如图 T6-5,O 与 ABC 的 AC 边相切于点C,与 AB,BC 边分别交于点D,E,DEOA
3、,CE 是 O 的直径.(1)求证:AB 是 O 的切线;(2)若 BD=4,CE=6,求 AC 的长.图 T6-56.2018 青海 如图 T6-6,ABC 内接于 O,B=60,CD 是 O 的直径,点 P 是 CD 延长线上一点,且 AP=AC.(1)求证:PA 是 O 的切线;(2)若 PD=5,求 O 的直径.图 T6-67.2019 枣庄 如图 T6-7,在 Rt ABC 中,ABC=90,以 AB 为直径作 O,点 D 为 O 上一点,且 CD=CB,连接 DO并延长交CB 的延长线于点E.(1)判断直线CD 与 O 的位置关系,并说明理由;(2)若 BE=2,DE=4,求 O
4、的半径及AC 的长.图 T6-78.2019 安顺节选 如图 T6-8,在 ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的 O 与边 BC,AC 分别交于D,E 两点,过点 D作 DHAC 于点 H.(1)判断 DH 与 O 的位置关系,并说明理由;(2)求证:点 H 为 CE 的中点.图 T6-8【参考答案】1.解:(1)证明:AB 是直径,ACB=90,A=30,AB=2BC.连接 OC.PC 是 O 的切线,OCP=90,BCP=P=30,PB=BC,又 BC=12AB,PA=3PB.(2)点 P 在 O 外,PC 是 O 的切线,C 为切点,直线 PO 与 O 相交于点A,B,BCP=AC
5、O=A,A+P+ACB+BCP=180,且 ACB=90,2 BCP=90-P,BCP=12(90-P).2.解:(1)AF 与 O 相切于点A,AFOA,BD 是 O 的直径,BAD=90,BAC=120,DAC=30,DBC=DAC=30,F=30,F=DBC,AFBC,OABC,BOA=90-30=60,ADB=12AOB=30.(2)OABC,BE=CE=12BC=4,AB=AC,AOB=60,OA=OB,AOB 是等边三角形,AB=OB,OBE=30,OE=12OB,BE=3OE=4,OE=433,AC=AB=OB=2OE=833.3.解:(1)如图,连接 OA,AC 为 O 的切线
6、,OA 是 O 的半径,OAAC.OAC=90.ADE=25,AOE=2ADE=50.C=90-AOE=90-50=40.(2)AB=AC,B=C.AOC=2B,AOC=2C.OAC=90,AOC+C=90,3C=90,C=30.OA=12OC.设 O 的半径为r,CE=2,r=12(r+2).r=2.O 的半径为2.4.解:(1)证明:连接 OC,CN 为 O 的切线,OCCM,OCA+MCD=90.OMAB,OAC+ODA=90.OA=OC,OAC=OCA,MCD=ODA.又 ODA=MDC,MCD=MDC,MD=MC.(2)依题意可知AB=52=10,AC=4 5,AB 为 O 的直径,
7、ACB=90,BC=102-(4 5)2=2 5.AOD=ACB,A=A,AOD ACB,?=?,即?25=545,得 OD=52.设 MC=MD=x,在 Rt OCM 中,由勾股定理得x+522=x2+52,解得 x=154,即 MC=154.5.解:(1)证明:连接 OD,DE OA,AOC=OED,AOD=ODE,OD=OE,OED=ODE,AOC=AOD,又 OA=OA,OD=OC,AOC AOD(SAS),ADO=ACO.CE 是 O 的直径,AC 为 O 的切线,OCAC,OCA=90,ADO=OCA=90,ODAB.OD 为 O 的半径,AB 是 O 的切线.(2)CE=6,OD
8、=OC=3,BDO=180-ADO=90,BO2=BD2+OD2,OB=42+32=5,BC=8,BDO=OCA=90,B=B,BDO BCA,?=?,48=3?,AC=6.6.解:(1)证明:连接 OA,B=60,AOC=2B=120,又 OA=OC,OAC=OCA=30,又 AP=AC,P=ACP=30,OAP=AOC-P=90,OAPA,PA 是 O 的切线.(2)在 Rt OAP 中,P=30,PO=OD+PD=2OA,又 OA=OD,PD=OA,PD=5,CD=2OA=2PD=2 5.O 的直径为2 5.7.解:(1)直线 CD 与 O 相切.理由如下:连接 CO.点 D 在圆上,O
9、D=OB,又 CD=CB,CO=CO,COD COB(SSS).ABC=90,ODC=ABC=90,ODDC,直线 CD 与 O 相切.(2)设 O 的半径为 x,DE=4,OE=4-x.在 RtOBE 中,BE2+BO2=OE2,即 22+x2=(4-x)2,解得 x=1.5,OD=OB=1.5.AB=2OB=3.CB,CD 是圆的切线,CB=CD.则设 CB=CD=y,在 RtCDE 中,CD2+DE2=CE2,即 y2+42=(y+2)2,解得 y=3,BC=3.在 RtABC 中,AC=?2+?2=3 2.8.解析(1)连接 OD,AD,先利用圆周角定理得到ADB=90,再根据等腰三角
10、形的性质得BD=CD,再证明 OD 为 ABC 的中位线得到ODAC,根据 DH AC,所以 ODDH,然后根据切线的判定定理可判断DH 为 O 的切线.(2)连接DE,由圆内接四边形的性质得DEC=B,再证明DEC=C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH 与 O 相切.理由如下:连接 OD,AD,如图,AB 为直径,ADB=90,即 ADBC,AB=AC,BD=CD,而 AO=BO,OD 为ABC 的中位线,ODAC,DHAC,OD DH,DH 为 O 的切线.(2)证明:连接 DE,如图,四边形ABDE 为 O 的内接四边形,DEC=B,AB=AC,B=C,DEC=C,DHCE,CH=EH,即 H 为 CE 的中点.