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1、第 1 页 共 21 页2020 届 A佳教育湖湘名校高三下学期3 月线上自主联合检测数学（理）试题一、单选题1若集合|1Ax x，则满足ABAI的集合B可以是（）A|0 x xB2|x xC|0 x xD|2x x【答案】B【解析】由ABAI推出 AB,再依次判断选项即可.【详解】若ABAI,则AB,又|1Ax x2|x x故选:B.【点睛】本题考查集合关系,属于基础题.2若(4)()0mi mi，其中i为虚数单位，则实数m的值为（）A2 B4 C4 D2【答案】D【解析】先利用复数运算化简,再由实部大于0 且虚部等于0 列式求解.【详解】2(4)()5(4)0mi mimm iQ,2040
2、mm,即2m,故选:D.【点睛】本题考查复数运算,考查复数的基本概念,属于基础题.3已知向量(2,2)ABuuu r，(1,)uuu rACa，若|1BCuuu r，则AB ACuu u r u uu r（）A2 B 4 C6 D8【答案】C【解析】由|1BCuuu r,可得2a,再利用坐标运算求出AB ACuu u r uuu r.第 2 页 共 21 页【详解】(1,2)BCACABauuu ruuu ru uu r,由|1BCuu u r,可得22(1)(2)1a,解得2a,则2 1226AB ACuuu ru uu r,故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.4已知函数(
3、)2sin(1)f xx，若对于任意的xR，都有12()fxf xfx成立，则12xx的最小值为（）A2 B 1 C4 D12【答案】B【解析】由题意可知1()f x是函数的最小值,2()f x是函数的最大值,则12|xx的最小值就是函数的半周期.【详解】对任意的xR,12()fxf xfx成立,所以1min()2fxf x,2max()2fxf x,所以12min2Txx,又()2sin(1)f xx的周期22T,所以12min1xx,故选:B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大5在圆M：224410 xyxy中，过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和B
4、D，则四边形ABCD的面积为（）A6 B 12 C24 D36【答案】B【解析】先将圆M的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置第 3 页 共 21 页关系可得AC?BD的值,进而求出答案.【详解】圆M的标准方程为:22(2)(2)9xy,其圆心为(2,2)M,半径3r,过点E最长的弦长是直径,故6AC,最短的弦是与ME垂直的弦,又415ME,所以2219522BDrME,即4BD,所以四边形的面积116 41222SAC BD,故选:B.【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC和BD的位置关系,难度不大.6“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”.三国时
5、期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12，现在向该正方形区域内随机地投掷100 枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（）A30 B 40 C50 D60【答案】C【解析】设大正方形的边长为1,区域 2 直角三角形的直角边分别为a,b(ab),分别求出大正方形和小正方形的面积,再利用几何概型概率公式求解即可.【详解】设大正方形的边长为1,区域 2 直角三角形的直角边分别为a,b(ab),则1 sin12a,1 cos12b,小正方形
6、的面积为221()cossin1 sin121262Sba,所以飞镖落在区域1 的概率为12P,第 4 页 共 21 页则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是1100502N,故选:C.【点睛】本题考查几何概型概率的求法,解题关键是求出两正方形的面积比,难度不大.7已知抛物线x2 4y 的准线与双曲线2222xyab-1(a0，b0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是()A2B 2 C5D 5【答案】A【解析】抛物线 x2 4y 的准线为l：y1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e2.8已知二进制数(2)1010化为十进制数为n，若()nxa的展
7、开式中，7x的系数为15，则实数a的值为（）A12B15C1 D2【答案】A【解析】先利用进制转化求出n的值,再利用二项展开式的通项公式,结合题意列式求得a的值.【详解】根据进制转换法可得:31(2)10101 21 210,所以10n,设10()xa展开式的通项为10110CkkkkTxa,令107k,3k,7x的系数为3310C15a,318a,12a,故选:A.【点睛】本题考查二项式,考查进制转换,需要学生对基础知识牢固掌握且灵活运用.9若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nA、nB，且满足2131nnAnBn，则371159aaabb的值为（）第 5 页 共 21 页A3944B5
8、8C1516D1322【答案】C【解析】利用等差中项的性质将371159aaabb化简为7732ab,再利用数列求和公式求解即可.【详解】11337117131135971313()33332 13115213()22223 131162aaaaaaAbbbbbB,故选:C.【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10已知倾斜角为的直线l过定点(0,2)，且与圆22(1)1yx相切，则1cos2cos2的值为（）A4 23B4 23C23D4 23或4 23【答案】A【解析】根据直线和圆相切,利用点到直线的距离公式列式求出2tan8,再利用三
9、角函数公式化简求值即可.【详解】由题意知0180,且90,则直线斜率tank,直线l方程为2ykx,即20kxy,圆心坐标(0,1),则圆心到直线l的距离22|12|3111dkk,即291k,解得28k,即2tan8,第 6 页 共 21 页由sin0,可得2 2sin3,所以211 2sin1cos24 22sinsin3cos2,故选:A.【点睛】本题考查三角函数的化简和求值,结合了直线与圆的相关知识,属于中档题.11已知四棱锥SABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于22 3，则球O的体积等于（）A43B8
10、3C163D223【答案】A【解析】由条件可得球心O为正方形ABCD的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.设球O的半径为R,则222ABACR，可得SBC为等边三角形，根据条件可得1R，从而得出答案.【详解】四棱锥 SABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内,所以球心O为正方形ABCD的中心，当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值.此时四棱锥为正四棱锥.设球O的半径为R,则222ABACR,222SBOBSORSBC为等边三角形，则2213sin 6022SBCSSBRo所以此四棱锥的表面积为2242 3222 3SBCA
11、BCDSSRR所以1R.球O的体积34433VR故选：A 第 7 页 共 21 页【点睛】本题考查四棱锥的表面积和外接球的体积问题，属于中档题.12已知函数()lnf xaxx，1,xe的最小值为3，若存在12,1,nx xxeL，使得121nnfxfxfxfxL，则正整数n的最大值为（）A2 B 3 C4 D5【答案】B【解析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出minmax(1)()()nf xf x,即可求得n的最大值.【详解】11()axfxaxx,当0a或10ae时,()0fx在1,xe恒成立,从
12、而()f x 在1,e单调递减,所以min()()13fxf eae,解得41,aee,不合题意;当11ae时,易得()f x 在11,a单调递减,在1,ea单调递增,所以min11()1ln3fxfaa,解得21,1aee,不合题意;当1a时,()f x在1,e单调递增,所以min()(1)31fxfa,满足题意;综上知3a.所以()3lnf xxx,1,xe,第 8 页 共 21 页所以min()(1)3fxf,max()()31fxf ee依题意有minmax(1)()()nfxfx,即(1)331ne,得23ne,又*nN,所以3n.从而n的最大值为3.故选:B.【点睛】本题考查利用导
13、数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题13已知实数x，y满足不等式组10,240,0,xyxyy，则2log(1)zxy的最大值为_.【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域,令1txy可得1yxt,结合图象即可求出t的最大值,从而求出答案.【详解】作出满足不等式组1 024 00 xyxyy,的可行域如图所示,令1txy可得1yxt,结合图象可知当直线过点C时,截距最大,此时1txy取得最大值,由10240 xyxy12xy,即(1,2)C,第 9 页 共 21 页故1txy的最大值为:4,2log(1)zxy的最大值为:2log 42,
14、故答案为:2.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合思想答题是解决本题的关键.14我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为222222142acbSa c，若2sin5sinaCA，22()16acb则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为 _.【答案】2【解析】利用正弦定理推出5ac,从而求出222acb,最后利用面积公式计算即可.【详解】2sin5sinaCAQ,25a ca,即5ac,因为22()16acb,所以2221626acbac,从而ABC的面积为221652
15、42S,故答案为:2.【点睛】本题考查正弦定理,考查学生的推理与计算能力,难度不大.15某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为 _.第 10 页 共 21 页【答案】16【解析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值.【详解】由三视图之间的关系可知2210802xy,整理得22128xy,故22222()2()2562xxyxyxyy,解得16xy,当且仅当8xy时等号成立,故答案为:16【点睛】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大.16已知曲线1C：()2xfxex，曲线2C：()cosg xaxx，（1）若曲线1C在
16、0 x处的切线与2C在2x处的切线平行，则实数a_；（2）若曲线1C上任意一点处的切线为1l，总存在2C上一点处的切线2l，使得12ll，则实数a的取值范围为_.【答案】2 1,12【解析】(1)由已知分别求出曲线1C在0 x处的切线的斜率及曲线2C在2x处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得a的值;(2)曲线1C上任意一点处的切线的斜率1()2xkfxe,则与1l垂直的直线斜率为11(0,)22xe,再求出过曲线2C上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案.【详解】(1)()2xfxe,则曲线1C在0 x处的切线的斜率1(0)3kf,2()sin,g xax C在2x处的
17、切线的斜率212kga,依题意有13a,即2a;(2)曲线1C上任意一点处的切线的斜率1()2xkfxe,则与1l垂直的直线的斜率为110,22xe,第 11 页 共 21 页而过2C上一点处的切线的斜率2()sin1,1kg xaxaa,依题意必有10112aa,解得112a,故答案为:12;,12.【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.三、解答题17设数列na满足：11a，且112nnnaaa（2n），3412aa.（1）求na的通项公式：（2）求数列21nna a的前n项和.【答案】（1）21nan（*nN）（2）113(21
18、)(23)nnn【解析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列na是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差d,即可得到数列na的通项公式;(2)由(1)求出数列21nna a的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n项和nS.【详解】(1)由112nnnaaa(2n)可知数列na是等差数列,设公差为d,因为11a,所以34112312aaadad,解得2d,所以na的通项公式为:21nan(*nN);(2)由(1)知211111(21)(23)42123nna annnn,所以数列21nna a的前n项和:第 12 页 共 21 页1111111114537592123nSnn11111432123
19、nn113(21)(23)nnn.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前n项和,难度不大.18 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形/AB CD，ABAD，PA平面ABCD，E是棱PC上的一点.（1）证明：平面ADE平面PAB；（2）若PEEC，F是PB的中点，3AD，22ABAPCD，且二面角FADE的正弦值为1010，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）1或 4【解析】(1)先证明PAAD,结合ABAD,推出AD平面PAB,再根据面面垂直的判定定理证明出结论;(2)以A为原点,AD,AB,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法结合夹角
20、公式建立的关系式,求解即可.【详解】(1)因为PA平面ABCD,AD平面ABCD,所以PAAD,又ABAD,PAABAI,所以AD平面PAB,又AD平面ADE,所以平面ADE平面PAB;(2)以A为原点,AD,AB,AP分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系:第 13 页 共 21 页则(0,0,0)A,(0,2,0)B,(0,0,2)P,(3,1,0)C,(3,0,0)D,(0,1,1)F,由(1)知AD平面PAB,故ADPB,又F是PB的中点,ABAP,PBAF,且AFAADI,PB平面ADF,平面ADF的一个法向量为(0,2,2)PBuu u r,PEEC,32,1111PEP
21、Cuuu ruuu r,32,111AEAPPEuuu ru uu ruuu r,设平面ADE的法向量为(,)nx y zr,则0n ADr uuu r且0n AEr uu u r,30 x且320111xyz,0 x,令1y,则2z,平面ADE的一个法向量0,1,2nr,二面角FADE的正弦值为1010,3 10cos,10PB nuu u r r,223 10102 214,第 14 页 共 21 页1或 4.【点睛】考查空间中的垂直,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题.19已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，直线20l xy:与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的
22、圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线与椭圆C交于,A B两点，交y轴于点0,Mm，使22OAOBOAOBuuu vuuu vuuu vuuu v成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】(1)22182xy(2)2 105m或2 105m【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到abc 的值，从而得到椭圆方程；（2）将向量模长的方程两边平方得到OAOBuuu vu uu v，即0OAOBuu u vuuu v，即12120 x xy y，联立直线和椭圆得到二次方程，带入韦达定理得到参数范围解析：（1）由已知得222232abcbca，解方程组得22,2,6
23、abc，椭圆1C的方程为22182xy，（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为ykxm，由22182ykxmxy得22222418480,16 820*kxkmxmkm，设1122,A x yB xy，则2121222848,4141kmmxxx xkk，第 15 页 共 21 页2222121212122841mky ykxmkxmk x xkm xxmk，由22OAOBOAOBuuu vuu u vu uu vuuu v得OAOBu uu vuuu v，即0OAOBuu u vuu u v，即12120 x xy y，故228580km，代入（）式解得2 105m
24、或2 105m点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5 道不同题中随机抽出3 道题进行答题，答对一题加10 分，答错一题（不答视为答错）减5 分，
25、已知甲能答对备选5 道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5 道题中的其中3 道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题，直到答错，则换人（换庄）答下一题 以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1 题，若答对继续答第2题，如果第2 题也答对，继续答第3 题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20 道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为nP（120n），其中11P，已知供甲乙回答的20 道题中
26、，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n道题且回答正确则该同学加10 分，答错（不答视为答错）则减5 分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）求第二轮答题中2P，3P；求证12nP为等比数列，并求nP（120n）的表达式.【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）213P，359P证明见第 16 页 共 21 页解析；1111223nnP（120n）【解析】(1)设甲选出的3 道题答对的道数为,则2(3,)3B,设甲第一轮答题的总得分为x,则1515x,1515ExE,设乙第一轮得
27、分为y,求出y的分布列,得到Ey,比较两者大小即可得出结论;(2)依题意得11P,213P,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出3P;1111212(1)(2)3333nnnnPPPPn,从而1111()232nnPP,2n,由此能证明12nP是等比数列,并求出(120)nPn剟的表达式.【详解】(1)设甲选出的3 道题答对的道数为,则23,3 B,设甲第一轮答题的总得分为x,则105(3)1515x,所以2151515 315153ExE;(或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x,则x的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P xC,2231 21
28、2(15)3 327P xC,213126(0)3327P xC,30311(15)327P xC,故得分为x的分布列为:x30 15 0-15 P8271227627127第 17 页 共 21 页812130151515272727Ex;)设乙的第一轮得分为y,则y的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10CP yC,2132356(15)10C CP yC,1232353(0)10C CP yC,故y的分布列为:x30 15 0 P110610310故163015121010Ey,ExEy,所以第二轮最先开始答题的是甲.(2)依题意知11P,213P,31122533339
29、P,依题意有111121213333nnnnPPPP(2n),1111232nnPP,(2n),又11122P,所以12nP是以12为首项,13为公比的等比数列,1111223nnP,1111223nnP(120n).【点睛】本题考查概率?离散型随机变量的分布列?数学期望的求法及应用,考查等比数列,需要学生具备一定的运算求解以及分析理解能力,属于中档题.21已知对数函数()f x 过定点1,2Pe（其中2.71828eL），函数()()()g xnmfxf x（其中()fx为()f x 的导函数，n，m为常数）第 18 页 共 21 页（1）讨论()g x的单调性；（2）若对(0,)x有()g
30、 xnm恒成立，且()()2h xg xxn在12,xx x（12xx）处的导数相等，求证：1272ln 2h xh x.【答案】（1）当0m时，()g x在(0,)单调递减；当0m时()g x在(0,)m单调递增，在(,)m单调递减（2）证明见解析【解析】(1)求出()f x 的解析式,得到()g x,利用分类讨论法研究()g x的单调性;(2)根据(1)可知1m,得到()g x和()h x的解析式,利用12()()h xh x求得12111xx,结合基本不等式得到124x x,令124tx x,则12h xh x121221lnx xx x可换元为()21lnttt,最后利用导数求出()t
31、的最小值即可得证.【详解】(1)令()logaf xx(0a且1a),将定点1,2Pe代入解得ae,所以()lnf xx,1()fxx,所以()lnmg xnxx,221()mmxg xxxx(0 x),当0m时,()0gx在0 x时恒成立,即()g x在(0,)单调递减;当0m时()00g xxm,()0g xxm,即()g x在(0,)m单调递增,在(,)m单调递减;综上所述:当0m时,()g x在(0,)单调递减;当0m时()g x在(0,)m单调递增,在(,)m单调递减.(2)因为(1)gnm,而(0,)x有()(1)g xnmg恒成立,所以max()g x(1)g,由(1)知必有1m
32、,1()lng xnxx,1()()22lnh xg xxnxxx,211()2h xxx,第 19 页 共 21 页设12h xhxk,即21122211201120kxxkxx,12111xx,1212121224xxx xx xx x,12121212112lnlnh xh xxxxxxx121221lnx xx x,令124tx x,()21 lnttt,1()20tt(4t),()t在(4,)上单调递增,()(4)72ln 2t,即1272ln 2h xh x.【点睛】本题考查导数研究函数单调性与最值,考查分类讨论思想,需要学生具备一定的计算分析能力,属于难题.22在平面直角坐标系x
33、Oy中，已知曲线C：12cos2sinxy（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin24.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)P，直线l交曲线C于A，B两点，求11|PAPB的值.【答案】（1）曲线C的普通方程22(1)4xy，l的直角坐标方程20 xy（2）143【解析】(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换;(2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解.【详解】(1)已知曲线C:12cos2sinxy(为参数),第 20 页 共 21 页则曲线C的普通方
34、程22(1)4xy,直线l的极坐标方程为sin24,则l的直角坐标方程20 xy;(2)直线l的参数方程为22222xtyt(t为参数)代入曲线C:22(1)4xy,化简得2230tt,设A,B对应的参数分别为1t,2t,则122tt,1 23t t,所以121212121 21111|ttttPAPBttt tt t2121 21 24143ttt tt t.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.23已知函数()|4|1|f xxx，xR.（1）解不等式：()5fx；（2）记()f x 的最小值为M，若实数a，b满足22abM，试证明
35、：22112213ab.【答案】（1）|05xx（2）证明见解析【解析】(1)先将()f x化为分段函数形式,然后根据()5f x,分别解不等式即可;(2)由(1)可得min()3f xM,从而得到223ab,再利用基本不等式求出221121ab的最小值.【详解】第 21 页 共 21 页(1)()|4|1|f xxx25,43,1425,1xxxxx剟.()5f xQ,25 54xx,或14x剟或25 51xx,45x,或14x剟或01x,05x剟,不等式的解集为|05xx剟;(2)因为()|4|1|(4)(1)|3f xxxxx(当且仅当14x等号成立),所以()f x 的最小值3M,即223ab,所以222222111112121216ababab22221212216baab2222121(22)216baab23(当且仅当21a,22b等号成立).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.