《2019届浙江省知行联盟高三下学期2月联考数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届浙江省知行联盟高三下学期2月联考数学试题(解析版).pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 1 页 共 21 页2019 届浙江省知行联盟高三下学期2 月联考数学试题一、单选题1集合0,1,2,3,4,5的真子集个数是()A32B421C52D621【答案】D【解析】集合有 6 个元素，直接代入真子集个数的公式求解.【详解】集合有 6 个元素，所以集合的真子集个数是621个.故选：D【点睛】本题考查真子集的计算公式，属于基础题型.2抛物线22yx的焦点到准线的距离是()A1 B12C14D18【答案】C【解析】先写出抛物线的标准方程，再根据抛物线的定义求解即可【详解】解：由题意可得，抛物线的标准方程为22yx，14p，焦点到准线的距离是14p，故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的
2、性质，属于基础题3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是()第 2 页 共 21 页A4163B4323C4323D8323【答案】C【解析】由三视图确定几何体的结构，上面是圆锥，下面是长方体，里面挖掉了一个球，再分别求体积.【详解】由三视图可知，几何体的上面是圆锥，下面是长方体，里面挖掉了一个球，上面圆锥的体积是2182233，下面长方体的体积是44232，中间球的体积是344133，所以组合体的体积是8443232333V.故选：C【点睛】本题考查三视图，组合体的体积，意在考查直观想象，计算能力，属于基础题型.4设复数zabi（i 为虚数单位，,a bR
3、），若,a b满足关系式2abt，且 z在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是()A0,1B 1,1C(0,1)(1,)D(1,)【答案】C【解析】首先根据复数的几何意义得到z的轨迹方程2xyt，再根据指数函数的图象，得到关于t的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为,x y，2axaybt，即2xyt，因为 z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则当0 x时，11t且10t，解得0t且1t，即t的取值范围是0,11,U.故选：C【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.第 3 页 共 21 页5
4、如图，对应此函数图象的函数可能是()A21(1)2xyxB22(1)xyxClnyxD1xyxe【答案】B【解析】观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.【详解】由图象可知当0 x时，1y，C 不满足；当1x时，0y，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x时，2141122y，显然 A 不成立；而 B 都成立.故选：B【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.6若,x y满足约束条件0124425xyxyxy，则3zxy的取值范围
5、是()A2,4B152,4C(2,4)D15(2,)4【答案】B【解析】首先作出可行域，和初始目标函数，然后平移初始目标函数至两个边界端点时取得最值.【详解】如图，画出可行域，令0z得到初始目标函数30 xy，平移初始目标函数至点D处第 4 页 共 21 页取得最小值，平移至B处取得最大值，2424xyxy，解得：0,2xy，所以0,2D,代入目标函数min3 022z，点B是直线425xy与x轴的交点，即5,04B，代入目标函数max5153044z，所以3zxy的取值范围是152,4故选：B【点睛】本题考查线性规划，重点考查作图，和数形结合分析问题的能力，属于基础题型.7设01p，随机变量
6、的分布列是-113P2(1)p2(1)pp2p则当p在(0,1)内增大时，“()E减小”是“()D增加”的()A充分不必要条件B必要不充分条件第 5 页 共 21 页C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】首先求E和D，然后换元tE，221331321222228Dttt，利用函数的单调性，判断充分必要条件.【详解】由题意可知：221210pppp，且2011p，0211pp，201p解得：01p，2211121341Eppppp，22222141114121341Dppppppp288pp，设411,3Ept，221113884422ttDtt21122t，当1,1t时，D增大
7、，当1,2t时，D减小，所以当E减小时，不能推出D增加；设2880,2Dppt，21822pt，21228tp，当102p时，1228tp，此时124128tE，当Dt增加时，E也增加，当112p时，1228tp，此时124128tE，当Dt增加时，第 6 页 共 21 页E减小，所以当D增加，不能推出E减小.综上可知：“E减小”是“D增加”的既不充分也不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.8在ABC中，设BAC，CA与CB所成的角是，绕直线AC将AB旋转至AB，则在所有旋转过程中，关于AB与BC所成的角的说
8、法正确的是()A当4时，,B 当4时，,C当4时，,D 当4时，,【答案】D【解析】首先理解异面直线所成的角的范围是0,2，排除选项A,B,C,对于 D 可根据AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB是母线，再将异面直线所成的角，转化为相交直线所成的角，判断最大值和最小值.【详解】因为是异面直线所成的角，所以0,2A.当4时，的范围有可能超过2，比如，3,46，所以不正确；B.当4时，当3,46，此时,，也不正确；C.当4，当3,46，此时,，故也不正确；D.4时，AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥，AB是母线，如图，过点A作BC的平行线AD，且CAD，AB与BC所成的角转化为AB与AD所
9、成的角，由图象可知，当AB是AB时，角最大，为，当AB在平面ABC内时，不与AB重合时，角最小，此时为第 7 页 共 21 页故选：D【点睛】本题考查异面直线所成的角，重点考查轨迹，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是判断，并画出AB绕AC旋转，形成以AC为轴的圆锥.9如图，椭圆22:14xCy的右顶点为A，上顶点为B，动直线l 交椭圆 C 于两点，且始终满足OMON，作OHMN交 MN 于点 H，则HA HBuuu r uuu r的取值范围是()A32 3,32 3B44 544 5,5555C6 14,55D5 15,44【答案】C【解析】首先根据直线与椭圆方程联立，利用根与
10、系数的关系，以及12120 x xy y求得点H的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，转化为22254HDADHDHA HBuuu r uuu r，利用圆外的点与圆上的点的距离的范围求HD的范围，再求HA HB的范围.【详解】设直线 ykxb，与椭圆方程联立得2221 48440kxkbxb，第 8 页 共 21 页得122814kbxxk，21224414bx xk，因为121212120 x xy yx xkxbkxb，代入整理得22544bk，原点到直线的距离222224()151bbOHkk所以点 H 在圆224:5O xy上运动，记线段AB 的中点为D，直线AB与圆224:5O xy相
11、切，则22254HDADHDHA HBuuu r uu u r52 552 55 9 5,25251010HDdr dr，256 14,455HD故选：C【点睛】本题考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系的综合应用，重点考查转化与化归和计算能力，属于综合性强的难题，本题的关键是求出点H的轨迹方程，再利用直线与圆的位置关系求解.10设,a b是实数，定义：22991()aba bmaabmRe.若满足此不等式：1(2(20182019)1ee KeK，则m的取值范围是()Am1B20 323mC913329mD32943231361m【答案】C【解析】设4(5(20182019)xeee，分别求3x
12、e，23xee，以及123xeee，当满足不等式时，求实数m的取值范围.【详解】22991()aba bmaabmRe设4(5(20182019)xeee第 9 页 共 21 页则3992791926xxmxme则2(926)4(926)4189(926)151113mmmmme则1(51113)5111399(51113)11mmmme913329m.故选：C【点睛】本题考查新定义，重点考查观察，分析问题的能力，应用新定义的能力，本题的关键是设4(5(20182019)xeee，然后再依次往后代入，解不等式.二、双空题11 庄子 天下篇中写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”意思是：指一尺
13、的东西今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，总有一半留下，所以永远也取不尽.则第 6 天还剩下 _尺，第 7 天到第 19 天共截取 _尺.【答案】6126191122【解析】设第n天剩下的为na，先求数列na的通项公式，再利用通项表示应用问题.【详解】由题意设第n天剩下的为na，数列na是首项为12，公比为12的等比数列，则12nna，那么第 6 天还剩下612尺；第 7 天还剩下612，第 19 天后剩下1912，所以从第7 到第 19 天工截取6191122.故答案为：612；6191122【点睛】本题考查等比数列的通项公式和基本量的求法的应用问题，重点考查抽象，
14、概括，归纳能力，属于基础题型.12已知0a，多项式6260126(1)(1)(1)(1)axaa xaxaxL.若1234562345612aaaaaa，则a_；3a_.【答案】2-160【解析】首先多项式两边求导，再赋值0 x求a；多项式变形为6621211xx，由展开式可知3a表示31x前面的系数，利用通项公式求解.第 10 页 共 21 页【详解】多项式两边求导数，5251236612131.61a axaaxaxax令0 x，得1236623.612aaaaa，解得：2a，6621211xx，616211rrrrTCx，其中3a表示31x前面的系数，当3r时，3333362111601
15、Cxx，所以3160a.故答案为：2；-160【点睛】本题考查二项式定理和多项式展开求系数，以及导数的综合应用，属于中档题型，本题的关键是对多项式两边求导.13 在ABCV中，角 A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若2a，4b，231sin20B，则sin A_，ABCSV_.【答案】231403 23125或2314【解析】首先根据正弦定理求sin A，再根据余弦定理求c，最后代入求ABCSV.【详解】根据正弦定理可知sinsinabAB解得：sin231sin40aBAb，abQ，cos0A，237cos1sin40AA，22222cos537600abcbcAcc,解得：5c或12
16、5c第 11 页 共 21 页所以11231231sin2522204ABCSacBV或11122313 231sin22252025ABCSacBV.故答案为：23140；3 23125或2314【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，根据图形推理边角关系，考查计算能力，属于基础题型.14已知,a bR，函数2()2f xxaxb.若函数()f x 在区间3,4上有两个零点，则4ab的取值范围是_.若其在区间3,4上至少有一个零点，则224ab的最小值是 _.【答案】0,38110【解析】（1）首先设12fxxxxx，由已知条件求2f的范围，再表示442abf，求4ab
17、的范围；（2）经过整理，换元，方程变形为为关于,m n的直线20tmnt，那么22224abmn，表示直线上的点到原点的距离的平方，那么距离的最小值就是原点到直线的距离，利用点到直线的距离求最小值.【详解】（1）设两个零点为1234xx，所以12221,221xx，设12fxxxxx，则122221,4fxx，由条件可知244fab，442abf，21,4fQ，所以4ab的范围是0,3.（2）由题意可知存在3,4t使220tatb，第 12 页 共 21 页整理为：220tabt设2,am bn，整理为关于,m n的直线20tmnt，那么22224abmn，表示直线上的点到原点的距离的平方，那
18、么距离的最小值就是原点到直线的距离所以222222221()111tmnttt，当3,4t时，222111tt是单调递增函数，当3t是取得最小值8110.即22224abmn的最小值是8110.故答案为：0,3；8110【点睛】本题考查根据零点个数求参数的取值范围，考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，逻辑推理能力，本题的难点是第二问，需转化为直线方程，借助几何意义求解.三、填空题15若正实数,x y满足244xyg，则221348xyyxy的最小值为 _.【答案】10【解析】由条件可知22xy0,0 xy，22xy代入后原式为211616122(1)yyy y，再根据配方，放缩，基本
19、不等式求得最小值.【详解】由已知得22(00)xyxy，22221122,3483(22)482(1)xyxyyyyyxyy y2211116161216()82(1)22(1)yyyy yy y2181012()2yy，当且仅当11,2xy时取等号.故答案为：10【点睛】第 13 页 共 21 页本题考查利用不等式求最小值的综合应用，考查到了放缩法，基本不等式，属于中档题型，本题的关键是21116()822(1)yy y放缩为211116()8822(1)2 1yy yy y，再利用基本不等式求最小值，并且两次求解，等号成立的条件一致.16 用红橙黄绿蓝5种颜色去染一个六棱锥，使其相邻的面均
20、不同色，且底面不染红色，则共有 _种不同的染法（用数字作答）.【答案】2928【解析】首先将六棱锥压扁，如图，先涂7 号区域，然后再按照相对的区域颜色相同和不同分类讨论染色的方法种数.【详解】思路是将其压扁成如图，分类讨论：第一步：7 号区域涂非红的有14C；第二步：分四件事区域 1 与区域 3 颜色同，其区域2 与区域 4 颜色同：11114131784C C C C；区域 1 与区域 3 颜色同，其区域2 与区域 4 颜色异：111141327168C C C C；区域 1 与区域 3 颜色异，其区域2 与区域 4 颜色同：111143217168C C C C；区域 1 与区域 3 颜色
21、异，其区域2 与区域 4 颜色异：11143213312C C C；共4(84168168312)2928故答案为：2928 第 14 页 共 21 页【点睛】本题考查分类和分步计数原理，重点考查分类讨论的思想，属于中档题型，本题的难点是分类复杂，要做到不重不漏.17已知,a bR，函数()1()f xxxaxb在区间 1,1上的最大值记为(,)M a b，则(,)M a b的最小值为 _.【答案】32 2【解析】设(,)M a bm，则有|1|1|mmxaxbxxx对任意的1,1x恒成立，分别求1|myxx的最大值，和|1|myxx的最小值，利用它们之间的不等式关系可求M的最小值.【详解】设
22、(,)M a bm，则对任意的的1,1x，()|(1|)f xxxaxbm恒成立，即|1|1|mmxaxbxxx对任意的1,1x恒成立（等号可取）因为函数111|myxx的最大值为m，而函数|1|11|1|mmyxxxx2(1|)11|mxx21m因为存在,a b，使得即|1|1|mmxaxbxxx对任意的1,1x恒成立（等号可取），故21,32 2mmm即(,)M a b的最小值为32 2.故答案为：32 2【点睛】本题考查含绝对值的函数的综合题型，重点考查函数与方程的思想，转化与化归的思想，第 15 页 共 21 页数形结合分析问题的能力，属于难题.四、解答题18已知函数22()sinco
23、s2 3 sincos()f xxxxx xR.（1）求()f x 的最小正周期期及单调递增区间；（2）若(0,)m，2()23mf，求sinm的值.【答案】（1），2,63kk()kZ；（2）32 26.【解析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简2sin26fxx，再求函数的周期和单调递增区间；（2）由条件得到1sin63m，并分析判断6m的范围得到2 3cos()63m，再利用角的变换得到sinsin()66mm，展开计算求值.【详解】（1）()cos23 sin 22sin(2)6f xxxx，故22T，又令322,2()622xkkkZ，解得单调递增区间为2,63xkk()kZ.
24、（2）21()sin()2363mfm，又11sin()sin6326m5(0,)(,)666m，又(0,)m，故5(,)66m2 3cos()63m，sinsin()66mm3132 2sin()cos()26266mm.【点睛】本题考查三角恒等和三角函数的性质的综合应用，重点考查转化与化归的思想，以及逻辑推理能力，属于基础题型.第 16 页 共 21 页19如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，E为CD中点，90APDo，ADC60o，已知313PAPDPB.（1）证明：ABPE；（2）求二面角APEB的平面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】（1）要证明线线垂直，需
25、线证明线面垂直，由条件可证明AEAB，并且根据边长可证明可知AB，BP，AP 三边适合勾股定理，则ABBP，这样有 AB 面 APE，可证明线线垂直；（2）以AD中点O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴，作oz垂直于平面ABCD，利用几何关系求各得坐标，并求平面APE和平面BPE的法向量，利用法向量求二面角的余弦值，再求正弦值.【详解】（1）连结 AE，由于 E 是 CD 中点，且 ADC=60，故 AEAB，又有22ABADAP，而3BP，1AP，故可知 AB，BP，AP 三边适合勾股定理，则ABBP，那么有 AB面 APE，而PEAPE面，故ABPE.（2）如图建系，其中O 是 AD 中点
26、，易知，20,02A，6,2,02B，62,044E对于 P 的坐标，易知0Py，有22212PPxyOP，记 P 在面 ABCD 上的投影为H，2222223PBPHBHPHBCHC2262()2PPzx，第 17 页 共 21 页可得66Px，33Pz，即63,0,63P.有623,1243PEuur，62 2,044AEuu u r，可求得平面APE 的法向量13,1,0muu r（不唯一），同理可求得平面BPE 的法向量25,3,22mr，很显然该二面角的余弦值的绝对值为121233mmmmrruur uu r，那么它的正弦值为63.【点睛】本题考查线面垂直的证明，以及空间直角坐标系求
27、二面角，重点考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，本题第二问的关键是求点P的坐标.20已知数列na满足0na，16a.设数列na的前n项和为nS，且2*11(21)(2)0(N)nnnnSanSann.（1）求数列na的通项公式及nS；（2）设1*2(1)(1)(N)nnnbSnn，记数列nb的的前n项和为nT，求证：32nT*()Nn.【答案】（1）16,122,2nnnan，222nnSn；（2）证明见解析.【解析】（1）由条件分解因式变形为12nnSan，再利用公式1221nnSan，两式相减变形为2122nnaa，通过构造，迭代求数列的通项公式，并验证首项；第 18 页
28、共 21 页（2）由（1）可知112(1)nnnb，分n为奇数和n为偶数两种情况证明32nT.【详解】（1）因式分解得11(2)102nnnnnSanSSan，又122(1)nnSan，两式相减得2122nnaa122(2)(2)nnaan，从而21122(2)2(2)nnnaaaL122(2)2nna，故当2n时，122nna，检验1a得16,122,2nnnan，从而，222nnSn.（2）由题意得112(1)nnnb，当 n 为奇数时，1111112121nnnnbb1113 2322212nnnnn，故35333338111222214nnTL；当 n 为偶数时，35133313122
29、2212nnnTL，得证！【点睛】本题考查利用na和nS的关系求数列的通项公式，并利用放缩法证明不等式，本题的关键和难点是第二问，利用放缩法证明不等式.21已知抛物线2:2(0)Cypx p的焦点为F，过 F 作直线交抛物线C 于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线C 的切线，两条切线交于点P.（1）若 P 的坐标为(1,4)，求直线的斜率；第 19 页 共 21 页（2）若P始终不在椭圆2241xy的内部（不包括边界），求ABP外接圆面积的最小值.【答案】（1）12（2）.【解析】（1）设:2pAB xmy，与抛物线方程联立，得到122yypm，212y yp，分别求在点,A B处的切线
30、方程，并且切线的交点，利用14P,，求解参数和直线的斜率；（2）由（1）可知212121pk ky y，得到APBP，并表示ABP外接圆的半径，并且,2pPpm，代入椭圆得到2221pp m，综合求得ABP外接圆的半径的最小值.【详解】（1）记11(,)A xy，22(,)B xy，设:2pABxmy，由222ypxpxmy可得方程2220ypmyp，由韦达定理可知122yypm，212y yp，设抛物线在A处的切线11xt yyx，由2112ypxxtyyx可得2112220yptyptypx，故2 2114880p tptypx即2 221120p tptyy，故1ytp，故111:()p
31、PA yyxxy，同理222:()pPByyxxy，联立解得,2pPpm，结合题意解得2m，4p，故112ABkm.（2）由（1）知两条切线的斜率之积为212121pk ky y，即APBP，则ABP的外接圆半径即为2212111122ABmyypm第 20 页 共 21 页又由题意知224()12ppm，即2221pp m，可知211p m所以外接圆的半径最小值为1，故外接圆的最小面积为.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线，切线，外接圆的综合问题，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型，第二问的关键是推理得到APBP，再表示半径后问题迎刃而解.22已知函数1()ln(1)2()1x
32、f xxaxa aRx.（1）求()fx在区间0,1上的最大值M；（2）证明：对任意的0,1x，恒有()2Mf x成立.【答案】（1）23,121,1aaaa；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求函数的导数，利用函数yfx在0,1上的单调性求fx的最大值；（2）首先讨论32a，3122a，12a时，函数的单调性或极值，求函数的最大值0max()max(0),(),(1)f xff xf，然后分别说明max2Mfx.【详解】（1）212()21(1)fxaxx，()fx在0,1上单调递减，故23,1max(0),(1)21,1aaMffaa.（2）当32a时，()(0)230fxfa，()f
33、x 单调递减；当3122a时，(0)(1)0ff，故有且仅有一个0(0,1)x使得0()0fx，()f x在00,)x上递增，在0,1x上递减；当12a时，()(1)210fxfa，()f x 单调递增.故0max()max(0),(),(1)f xffxf.而2123(0)142aaMfa，第 21 页 共 21 页11(1)ln 22ln 20222Mfa，33(1)0222Mfaa，故(1)22MMf，即(1)2Mf；0()(1)2Mf xf，由0()0fx得02032(1)xax，则000002001(21)(3)()12(1)xxxf xxxx32000202123243112(1)242aaxxxMx，故0()2Mf x.综上，0()max(0),(),(1)2Mf xff xf，证毕！【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质的综合应用，意在考查转化与化归的思想，推理证明，分类讨论的思想，属于难题.