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1、2020届郑州市高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。1.设集合2|xNxA，21xyyB，则BA的子集个数为A.2 B.4 C.8 D.16 2.复数iiz1在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至 2018年 12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客逐月增加B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年 1月至 6
2、月的月接待游客量相对于7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳4.定义在 R上的函数2)31()(|mxxf为偶函數，)21(log2fa，)21(31fb，)(mfc，则A.bacB.bcaC.cbaD.cab5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.516B.518C.10D.5326.已知向量 a与 b 夹角为3，且1|a，3|2|ba，则|bA.3B.2C.1D.237.宋元时期数学名著
3、算学启蒙中有关于“松竹并生 的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a，b 分别为 3，1，则输出的n等于.5B.4 C.3 D.2 8.函数21()=cos21xxfxx的图象大致是答案：C 9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A.60 B.90 C.120 D.150 10.已知抛物线xy22的焦点为F，准线为l，P是 l 上一点，直线PF与抛物线交于M，N 两点，若MFPF3，则|MN=A.316B
4、.38C.2D.33811.已知三棱锥ABCP内接于球 O，PA平面 ABC，ABC 为等边三角形，且边长为3，球 O 的表面积为16，则直线 PC与平面 PAB所成的角的正弦值为A.715B.515C.215D.101512.1),1(log1|,12|)(2xxxxxf,241545)(23mxxxg，若mxgfy)(有9个零点，则m的取值范围是A.)1,0(B.)3,0(C.)35,1(D.)3,35(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20分.13.曲线122xxeyx在点)1,0(处的切线方程为_.答案：10;xy14.若nS 是等差数列na的前n项和，若01a，123aa，
5、则510SS_ 15.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为A，以 A 为圆心，6 为半径做圆，圆A 与双曲线 C 的一条渐近线相交于M，N两点，若ONOM23（O 为坐标原点），则双曲线C的离心率为 _.答案：;53016.已知数列na满足：对任意*Nn均有221ppaann（p为常数，0p且1p），若30,11,6,2,6,18,5432aaaa，则1a 的所有可能取值的集合是_.答案：.66,2,0三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（12分）已知ABC外接圆半径为R，其内角 A，B，C的对边长分别为a，b，c，设CcaBARsin)()
6、sin(sin222.（1）求角 B；（）若 b=12，c=8，求 sinA的值17.【解析】(I)222(sinsin)()sin.RABacC2222(sinsin)()sin2,RRABacCR即：222.acbac 3 分2221cos.22acbBac因为0,B所以3B6 分(II)若12,8bc，由正弦定理，sinsinbcBC,3sin3C,由bc，故C为锐角，6cos.3C 9 分36133 23sinsin()sin().323236ABCC 12分18.（12分）已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为 AC 的中点，点N 在棱 BC
7、上，且BCBN32.（1）证明：BO平面 AMC；（2）求二面角N-AM-C 的正弦值.18.【解析】（I）如图所示：连接OM，在ABC中：2,2 2ABBCAC，则90,2ABCBO，OBAC.2 分在MAC中：22MAMCAC，O为AC的中点，则OMAC，且6.OM 4 分在MOB中：2,6,2 2BOOMMB，满足：222BOOMMB根据勾股定理逆定理得到OBOM,AC OM相交于O，NOACBM故OB平面AMC.6 分（）因为,OB OC OM两两垂直，建立空间直角坐标系?-?如图所示因为22MAMBMCAC,2ABBC则(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,6)A
8、BCM 8 分由23BNBCuuu ruuu r所以，2 2 2(,0)33N设平面MAN的法向量为(,)mx y zu r，则2 5 225 2(,0)(,)0,3333(0,2,6)(,)260AN nx y zxyAM nx y zyzuuu r ruuuu r r令3y，得(5 3,3,1)mu r 10 分因为BO平面AMC，所以(2,0,0)OBuu u r为平面AMC的法向量，所以(5 3,3,1)mu r与(2,0,0)OBuuu r所成角的余弦为5 65 3cos,79 279m OBu ru uu u r所以二面角的正弦值为25 322 79|sin,|1()797979m
9、 OBu ruu uu r.12分19.（12分）已知椭圆)0(1:2222babxayE的离心率为22，且过点)0,1(C.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若过点)0,1(的任意直线与椭圆E 相交于 A，B 两点，线段AB 的中点为M，求证，恒有|2|CMAB.19.【解析】（I）由题意知1b，22ca.1 分又因为222abc 解得，2a.3分所以椭圆方程为2212yx.4分（）设过点1(,0)3直线为13xty，设11,A x y，22,B xy由221312xtyxy得2291812160ttyy，且.NOMBCA则12212212,918616,918yy ytytt分又因为111,
10、CAxyuu u r，221,CBxyuu u r，212121212121244416(1)(1)13339CA CBxxy ytytyy yty ytyyuu u r uu u r22216412161091839189ttttt，10 分所以CACBuuu ruuu r.因为线段AB的中点为M，所以|2|ABCM.12分20.（12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0p1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B
11、系统处理后直接排放.某厂现有 4个标准水量的 A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越优.（1）若322p，求 2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）若322p，现有 4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个
12、最“优？若“方案三”比“方案四 更“优”，求 p的取值范围.20.【解析】(I)该混合样本达标的概率是22 28()39，2 分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199.4 分(II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为2，2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2246p64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E方案四：混在一起检测，记检测次数为4，4可取 1,5.其分布列如下，415p64811781
13、可求得方案四的期望为46417149()15818181E.比较可得42()()4EE，故选择方案四最“优”9 分(ii)方案三：设化验次数为3，3可取 2,5.325p3p31p3333()25(1)53Eppp；方案四：设化验次数为4，4可取1,5415p4p41p4444()5(1)54Eppp；由题意得34343()()53544EEppp.故当304p时，方案三比方案四更“优”12 分21.（12 分）已知函数xexxxfxln)(.（1）求)(xf的最大值；（2）若1)1()(bxexxxfx恒成立，求实数b 的取值范围.21.【解析】(I)()lnxefxxxx，定义域(0,)，
14、221(1)(1)()()1xxexxxefxxxx，由1xexx，()f x在(0,1增，在(1,)减，max()(1)1fxfe 4 分(II)1()()e1xfxxbxxeelne1xxxxxxbxxxlne10 xxxxbxeln1xxxxbxmineln1(),xxxxbx6 分令eln1()xxxxxx，2ln()xx exxx令2()lnxh xx ex，()h x在(0,)单调递增，0,()xh x，(1)0he()h x在(0,1)存在零点0 x，即02000()ln0 xh xx ex0001ln2000000ln1ln0(ln)()xxxxx exx eexx 9 分由于xyxe在(0,)单调递增，故0001lnln,xxx即001xex()x在0(0,)x减，在0(,)x增，000000min00eln111()2xxxxxxxxx所以2b.12 分