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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第卷和第II 卷（非选择题）两部分，第卷第1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分150 分，考试时间为120 分钟。参考公式：如果事件A 与 B互斥，那么()()()P ABP AP B如果事件A 与 B相互独立，那么()()()P ABP A P B第卷（选择题共 50 分）一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，_z是复数z的共轭复数，若|()0Ix f x+2=2zzi，则z=（A）1+i（B）1i（C）1
2、+i（D）1-i【答案】A【解析】设2bi2a2)ib(a2bi)i-a(bi)+a(22zbi.z-a=z.bi,+a=z22zi则izbaa111222bba22所以选 A（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）16（B）2524（C）34（D）1112【答案】D【解析】.1211,1211122366141210ss,所以选D（3）在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有
3、一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。所以选 A（4）0a“是函数()=(-1)f xaxx在区间(0,+)内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当 a=0 时，时，且上单调递增；当，在xaxxfxaxfyxxf)1()(00)0()(|)(.)0()(0所以a.)0()(上单调递增的充分条件，在是上单调递增，在xfyxfy0a)0()(上单调递增，在相反，当xfy,.)0()(0a上单调递增的必要条件，在是xfy故前者是后者的充分必要条件
4、。所以选C（5）某班级有50 名学生，其中有30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】对 A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错。对 B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。对 C选项，男生方差为
5、40，女生方差为30。所以 C选项正确。对 D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。所以 D 选项错。所以选 C（6）已知一元二次不等式()0f x的解集为1|2x xx或，则(10)0 xf的解集为（A）|lg2x xx或（B）|-1-lg2x x（D）|0Ix f x（）求的长度（注：区间(,)的长度定义为）；（）给定常数(0,1)k，当时，求l长度的最小值。【答案】（）21aa.（）2)1(11kk【解析】（）)1,0(0)1()(22aaxxaaxxf.所以区间长度为21aa.（）由（）知，aaaal1112恒成立令已知kkkkkkakk-1110-111.1-10),1,0
6、(2。22)1(11)1(1111)(kkkklkaaaag这时时取最大值在所以2)1(111kklka取最小值时，当.（18）（本小题满分12 分）设椭圆2222:11xyEaa的焦点在x轴上（）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（）设12,FF分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线2F P交y轴与点Q，并且11F PF Q，证明：当a变化时，点p在某定直线上。【答案】（）1385822xx.（）01yx【解析】（）13858851,12,122222222xxacaacaa，椭圆方程为：.（）),(),),0(),(),0,(),0,(2221mcQFycxPFmQy
7、xPcFcF（则设.由)1,0(),1,0()1,0(012yxaa.0)()(,/).,(),(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由解得联立22222222222222111.)(caacyxayaxcyxycxcxyxyxyxyxyyxx1)1,0(),1,0(.)1(1121222222222所以动点P过定直线01yx.（19）（本小题满分13 分）如图，圆锥顶点为p。底面圆心为o，其母线与底面所成的角为22.5。AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60，（）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（）求cos CO
8、D。【答案】（）见下.（）212-17【解析】（）mABPCDABPCDCDCDABmC直线面面且直线面设面/,DPPABABCDmABCDAB面直线面/.所以,ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C.(证毕)（）rPOOPFFCDr5.22tan.60,由题知，则的中点为线段设底面半径为.5.22tan15.22tan245tan,2cos5.22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF.)223(3),1-2(321cos,1-25.22tan12cos2cos22CODCODCOD212-17cos.212-17cosCODCOD所以.(完)（20）（本小题满分13 分）
9、设函数22222()1(,)23nnnxxxfxxxR nNn，证明：（）对每个nnN，存在唯一的2,13nx，满足()0nnfx；（）对任意npN，由（）中nx构成的数列nx满足10nnpxxn。【答案】（）见下.（）见下.【解析】（）224232224321)(0nxxxxxxfnxyxnnn是单调递增的时，当是 x 的单调递增函数,也是 n 的单调递增函数.011)1(,01)0(nnff且.010)(,1,0(321nnnnxxxxxfx，且满足存在唯一xxxxxxxxxxxxxfxnnn1141114122221)(,).1,0(2122242322时当 1,320)23)(2(11
10、41)(02nnnnnnnnxxxxxxxf综上，对每个nnN，存在唯一的2,13nx，满足()0nnfx；(证毕)（）由题知04321)(,012242322nxxxxxxfxxnnnnnnnnpnn0)()1(4321)(2212242322pnxnxnxxxxxxfpnpnnpnnpnpnpnpnpnpnpn上式相减：22122423222242322)()1(432432pnxnxnxxxxxnxxxxxpnpnnpnnpnpnpnpnpnnnnnnn）（）（2212244233222)()1(-4-3-2-pnxnxnxxxxxxxxxxpnpnnpnnnnpnnpnnpnnpnpn
11、nnxxnpnnpnn1-111.(证毕)（21）（本小题满分13 分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x（）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（）求使()P Xm取得最大值的整数m。【答案】（）2)(2nknk.（）.)(22-10取最大值时时，当mfkmnk取最大值时时当)(2,2122-1mPkmnk取最大值时时，当当)(121mPnmnk【解析】（）nkAPnkAPA-1)()(，师的通知信息，则表示：学生甲收到李老设事件.)()(),()(APBPAPBPB师的通知信息，则表示：学生甲收到张老设事件.师或张老师的通知信息表示：学生甲收到李老设事件 C.则22)(2)1(1)BP()AP(-1=P(C)nknknk.所以，2)(2nknk老师的通知信息为学生甲收到李老师或张.（）（本问自己无法给出解答，抱歉，敬请参考网上答案）