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1、2018-2019 学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1已知 A x|x2，B 0，1，2，3，4，则 A B（）Ax|2x4B2，3，4C3，4Dx|x22复数 zi（1+i）的虚部是（）A0B1CiD 13已知点?=(?，?-?)，向量?=(?，-?)，且?，则 m（）A8B 8C6D 64一支田径队共有运动员98 人，其中女运动员42 人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取（）A18 人B16 人C14 人D12 人5已知 xx1，xx2，xx3，xx4 在如图所示的程序框图中，如果输入 x10，而输出y4，则在空
2、白处可填入（）ABCD6等差数列 an的首项为1，公差不为0若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为（）A 24B 3C3D87 将函数?(?)=?(?+?6)+?的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，所得函数的最小正周期为（）A?8B?4C?2D8如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A84B?+?C?+?D?+?9下列判断正确的个数是（）“若 x23x40，则 x 1”的逆否命题为“若x 1，则 x23x 40”；“?x R，cosx 1”的否定是“?x0 R，cosx01”；函数?(?)=?+1?的最小值为2；ABC 三内角成等差数列的充要条件
3、是B60A1B2C3D410已知函数?(?)=13?-12?，则 f（3x+4）f（x2）的解集为（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（，4）（1，+）D（4，1）11在 ABC 中，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若 acosC+ccosA2bcosB，且 cos2B+2sinAsinC1，则?+?的值为（）A1B?C?D212已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的右焦点为F，左顶点为A以 F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P，Q 两点，APQ 的一个内角为60，则 C 的离心率为（）A 2+12B?C43D53二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.
4、共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上.13函数 f（x）ex+x 在 x0 处的切线的方程为14已知变量x，y 满足?-?+?-?+?-?，则 z 2x5y 的最大值是15 已知 cos（）cos sin（）sin=13，且?(-?2，?)，则 sin2的值为16已知定义在R 上的函数f（x）满足 f（x）f（x），当 0 x3 时，f（x）|x2|，当 x3 时，f（x）f（x2），则函数 yf（x）|loga|x|（a1）的零点个数为8 个，则实数 a的取值范围是三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17平面直角坐标系xOy 中，直线l 经
5、过点M0（1，5），倾斜角为?3，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为曲线 4（）写出直线l 的参数方程及曲线C 的普通方程；（）求直线l 和曲线 C 的两个交点到点M0的距离的和与积18已知函数?(?)=13?-?+?(?)（）求函数的单调区间；（）若x 0，3，求 f（x）的最大值与最小值19如图，边长为2 的正方形ABCD 中，（1）点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将 AED，DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点A求证：ADEF；（2）当 BEBF=14BC 时，求三棱锥A EFD 的体积20随着经济全球化、信息
6、化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务在此背景下，某信息网站在15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示（）若某大学毕业生从这15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500 元的城市的概率；（）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000 元的城市中随机选择2 座城市，求这2 座城市的月平均期望薪资都低于8500 元的概率21在直角坐标系xOy 中，点 P 到两点（0，-?），（0，?）的距离之和为4，设点 P的轨迹为C，直线 ykx+1 与 A 交
7、于 A，B 两点（1）写出 C 的方程；（2）若?，求 k 的值22已知函数?(?)=?+12?-?-?(?)（）若f（x）的单调递增区间为12，?，单调递减区间为(?，12，1，+），求实数a 的值；（）对任意的a（3，2），及任意的x1，x2 1，2，恒有|f（x1）f（x2）|ln2ta 成立，求实数t 的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 个，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知 A x|x2，B 0，1，2，3，4，则 A B（）Ax|2x4B2，3，4C3，4Dx|x2【分析】进行交集的运算即可解：Ax|x2，B0，1，2，
8、3，4，AB3，4故选：C2复数 zi（1+i）的虚部是（）A0B1CiD 1【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则和复数的定义求解解：zi（1+i）i+i2 1+i复数 zi（1+i）的虚部是1故选：B3已知点?=(?，?-?)，向量?=(?，-?)，且?，则 m（）A8B 8C6D 6【分析】由题意利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求出m 的值解：?=(?，?-?)，向量?=(?，-?)，且?，?=43+（m 2）?（2）162m 0，求得 m8，故选：A4一支田径队共有运动员98 人，其中女运动员42 人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运
9、动员应抽取（）A18 人B16 人C14 人D12 人【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论解：有运动员98 人，其中女运动员42 人，男运动员56 人，每名运动员被抽到的概率都是27，男运动员应抽取5627=16，故选：B5已知 xx1，xx2，xx3，xx4 在如图所示的程序框图中，如果输入 x10，而输出y4，则在空白处可填入（）ABCD【分析】先根据输出的y 值，确定跳出循环的x 值，依次判断当“？”处填时是否满足，可得答案解：由 y（12）x4?x 2，输入 x10，当“？”处填 时，跳出循环x 1，错误；当“？”处填 时，跳出循环x 2，正确；当“？”处填 时，跳出循环x 2，正确
10、；当“？”处填 时，跳出循环x 2，正确故选：D6等差数列 an的首项为1，公差不为0若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为（）A 24B 3C3D8【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出an前 6 项的和解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，?=?，（a1+2d）2（a1+d）（a1+5d），且 a11，d0，解得 d 2，an前 6 项的和为?=?+652?=?+652(-?)=-24故选：A7 将函数?(?)=?(?+?6)+?的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，所得函数的最小正周期为（）A?
11、8B?4C?2D【分析】直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期解：函数?(?)=?(?+?6)+?的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，得到 g（x）sin（2x+?6）+2，所以函数的最小正周期为：T=2?2=?故选：D8如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A84B?+?C?+?D?+?【分析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4【解答】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4所以五棱柱的表面积为（44-12?）2+（4+4+2+2+2?）476+48?故选：B9下列判断正确的个数
12、是（）“若 x23x40，则 x 1”的逆否命题为“若x 1，则 x23x 40”；“?x R，cosx 1”的否定是“?x0 R，cosx01”；函数?(?)=?+1?的最小值为2；ABC 三内角成等差数列的充要条件是B60A1B2C3D4【分析】利用四种命题的逆否关系判断；命题的否定判断；函数的最值判断；充要条件判断 解：“若 x23x 40，则 x 1”的逆否命题为“若x 1，则 x23x40”；正确；“?x R，cosx 1”的否定是“?x0 R，cosx01”；正确；函数?(?)=?+1?的最小值为2；x（0，1）时，f（x）0，所以 不正确；ABC 三内角成等差数列，则B 60也可
13、能是A 或 C 为 60，所以 ABC三内角成等差数列的充要条件是B60，不正确；故选：B10已知函数?(?)=13?-12?，则 f（3x+4）f（x2）的解集为（）A（1，4）B（，1）（4，+）C（，4）（1，+）D（4，1）【分析】分段讨论函数的单调性，当x0 时，通过求导可判断f（x）在（，0）上单调递增；当 x0 时，f（x）2x是指数函数，且 21，单调递增 又由于当x0 时，0 20 1，因此 f（x）在 R 上单调递增，最后利用函数的单调性解不等式即可得解解：当 x0 时，?(?)=13?-12?，f（x）x2 x0 在（，0）上恒成立，即f（x）在（，0）上单调递增；当 x
14、0 时，f（x）2x，单调递增当 x0 时，有 020 1，函数f（x）在 R 上单调递增，若 f（3x+4）f（x2），则 3x+4x2，解得 x 4或 x 1故选：B11在 ABC 中，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若 acosC+ccosA2bcosB，且 cos2B+2sinAsinC1，则?+?的值为（）A1B?C?D2【分析】先利用正弦定理和二倍角公式，将 acosC+ccosA2bcosB，cos2B+2sinAsinC1化角，由前一个式子得cosB 的值，由后一个式子得b2ac，然后借助于余弦定理和整体代换，可求出(?+?)?，问题可解解：因为acosC+ccos
15、A 2bcosB，由正弦定理得sinAcosC+cosAsinC sin（A+C）2sinBcosB即 sinB 2sinBcosB，因为 sinB0，所以 cosB=12cos2B+2sinAsinC1 可化为 12sin2B+2sinAsinC 1，即 sin2BsinAsinC，所以 b2 ac所以 cosB=?2+?2-?22?=(?+?)2-2?-?2?=(?+?)22?-32=(?+?)22?2-32=12(?+?)2?2=?，所以?+?=?故选：D12已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的右焦点为F，左顶点为A以 F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P，Q 两
16、点，APQ 的一个内角为60，则 C 的离心率为（）A2+12B?C43D53【分析】由题意可得PAPB，由 APQ 的一个内角为60，得 PFB 为等腰三角形，PFPAa+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可解：如图所示，设左焦点为F1，圆与 x 轴的另一个交点为B，由 APQ 的一个内角为60知，PAF 30，PBF60，PF AFa+c，PF13a+c，在 PFF1中，由余弦定理可得?=PF2+?-2PF?FF1cos120；3c2 ac4a20，3e2 e4 0，e=43，e 1（不合题意，舍去）；则双曲线的离心率为43故选：C二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.共 20
17、 分.把答案填写在答题卡相应位置上.13函数 f（x）ex+x 在 x0 处的切线的方程为y2x+1【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程解：函数f（x）ex+x 的导数为 f（x）ex+1，即有 f（x）在 x0 处切线的斜率为ke0+12，切点为（0，1），则 f（x）在 x 0 处切线的方程为y2x+1，故答案为：y2x+114已知变量x，y 满足?-?+?-?+?-?，则 z 2x5y 的最大值是4【分析】作出不等式组对应的平面区域，平移目标函数对应的直线，利用数形结合即可的得到结论解：变量x，y 满足?-?+?-?+?-?的可行域如图：z2x5y 可
18、得 y=25x-15?，平移直线y=25x-15?，点直线y=25x-15?经过可行域A 时，z 取得最大值，由?-?=?+?-?=?解得 A（2，0），则 z2x5y 的最大值是：4故答案为：415 已知 cos（）cos sin（）sin=13，且?(-?2，?)，则 sin2的值为-429【分析】由已知结合两角和的余弦求得cos，进一步得到sin，再由二倍角的正弦求解解：由 cos（）cos sin（）sin=13，得 cos（）+cos=13，?(-?2，?)，sin=-?-?=-223sin2 2sin cos 2(-223)13=-429故答案为：-42916已知定义在R 上的函数
19、f（x）满足 f（x）f（x），当 0 x3 时，f（x）|x2|，当 x3 时，f（x）f（x2），则函数 yf（x）|loga|x|（a1）的零点个数为8 个，则实数 a的取值范围是（3，5）【分析】f（x）为偶函数，由当x3 时，f（x）f（x 2），可得x3 时的图象，可将 f（x）在 1，3的图象向右平移2k（k 为正整数）个单位；在y 轴左边的图象与右边的图象关于y 轴对称，作出f（x）的图象和函数y|ln|x|的图象，通过图象观察，即可得到所求个数解：定义在R 上的函数f（x）满足 f（x）f（x），可得 f（x）为偶函数，图象关于y 轴对称，又当 0 x3 时，f（x）|x2|
20、；当 x3 时，f（x）f（x 2），可得 x3 时的图象，可将f（x）在 1，3的图象向右平移2k（k 为正整数）个单位；在 y 轴左边的图象与右边的图象关于y 轴对称，作出 f（x）的图象和函数y|ln|x|的图象，可得它们有4 个交点，此时a（3，5）由偶函数的性质可知函数yf（x）|ln|x|的零点个数是8故答案为：（3，5）三、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解得应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M0（1，5），倾斜角为?3，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为曲线 4（）写出直线l 的参数方程及曲
21、线C 的普通方程；（）求直线l 和曲线 C 的两个交点到点M0的距离的和与积【分析】（）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（）直线 l 经过点 M0（1，5），倾斜角为?3，依题意直线l 的参数方程为?=?+32?=?+12?（t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为曲线 4转换为普通方程为x2+y216（）将直线参数方程代入圆x2+y216，化简得出?+(?+?)?+?=?，所以?+?=-(?+?)，t1t210，t1，t2符合为同号且为负值，|?+?|=?+?，|t1t2|10综上所述，直线l 和圆 x2+y2
22、16 的两个交点到点M0的距离的和为?+?，积为 1018已知函数?(?)=13?-?+?(?)（）求函数的单调区间；（）若x 0，3，求 f（x）的最大值与最小值【分析】（）求出函数的导数，判断导函数的符号，求解函数的单调区间（）由（）可知函数f（x）在0，2单调递减，2，3单调递增，求出函数的最小值，求出端点值，即可得到函数的最大值解：（）因为?(?)=13?-?+?，所以 f（x）x24（x 2）（x+2），当 f（x）0 即 x2 或 x 2，当 f（x）0，即 2x 2，所以函数f（x）单调递增区间为（，2），（2，+），单调递减区间为（2，2）（）由（）可知函数f（x）在0，2单调
23、递减，2，3单调递增，所以?(?)?=?(?)=-43，又因为 f（0）4，f（3）1，且 f（0）f（3），所以f（x）max4，故函数 f（x）最大值为4，最小值为-4319如图，边长为2 的正方形ABCD 中，（1）点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将 AED，DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点A求证：ADEF；（2）当 BEBF=14BC 时，求三棱锥A EFD 的体积【分析】（1）由正方形ABCD 知 DCF DAE 90，得 ADAF 且 ADAE，所以 AD平面 AEF 结合 EF?平面 AEF，得 ADEF；（2）由勾股定理的逆定理，得
24、AEF 是以 EF 为斜边的直角三角形，而AD 是三棱锥DAEF 的高线，可以算出三棱锥D AEF 的体积，即为三棱锥ADEF 的体积解：（1）由正方形ABCD 知，DCF DAE 90，ADAF，ADAE，AEAFA，AE、AF?平面 AEFAD平面 AEF 又 EF?平面 AEF，ADEF（2）由四边形ABCD 为边长为2 的正方形故折叠后A D 2，AEAF=32，EF=22则 cosEAF=(32)2+(32)2-(22)223232=89则 sinEAF=179故 EAF 的面积 SEAF=12?AE?A F?sinEAF=178由（1）中 AD平面 AEF可得三棱锥AEFD 的体积
25、 V=131782=171220随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务在此背景下，某信息网站在15 个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示（）若某大学毕业生从这15 座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500 元的城市的概率；（）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000 元的城市中随机选择2 座城市，求这2 座城市的月平均期望薪资都低于8500 元的概率【分析】（）设该生选中月平均收入薪资高于8500 元的城市为事件A，15 座城
26、市中月平均收入薪资高于8500 元的有6 个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率（）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000 元的城市有6 个，其中月平均期望薪资高于8500 元的有 1 个，记为 A；月平均期望薪资低于8500 元的有 5 个，记为 B1，B2，B3，B4，B5选取两座城市，利用列举法能求出2 座城市的月平均期望薪资都低于8500 元的概率【解答】（共13 分）解：（）设该生选中月平均收入薪资高于8500 元的城市为事件A，15 座城市中月平均收入薪资高于8500 元的有 6 个，所以?(?)=615=25（）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高
27、于1000 元的城市有6 个，其中月平均期望薪资高于8500 元的有 1 个，记为A；月平均期望薪资低于8500 元的有5 个，记为B1，B2，B3，B4，B5选取两座城市所有可能为：AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，共 15 种；其中 2 座城市的月平均期望薪资都低于8500 元的有：B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B2B3，B2B4，B2B5，B3B4，B3B5，B4B5，共 10 种；设 2 座城市的月平均期望薪资都低于8500 元为事件B，所以?(?)=1015=2321在
28、直角坐标系xOy 中，点 P 到两点（0，-?），（0，?）的距离之和为4，设点 P的轨迹为C，直线 ykx+1 与 A 交于 A，B 两点（1）写出 C 的方程；（2）若?，求 k 的值【分析】（1）根据椭圆的定义求出C 的方程即可；（2）联立直线和椭圆，根据韦达定理以及向量的垂直关系得到关于k 的方程，求出k的值即可解：（1）设 P（x，y），由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以（0，-?），（0，?）为焦点，长半轴为2 的椭圆它的短半轴b=?-?=1，故曲线 C 的方程为 x2+?24=1（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足?+?24=?=?+?，消去 y 并整理
29、得（k2+4）x2+2kx30，故 x1+x2=-2?2+4，x1x2=-3?2+4，若?，即 x1x2+y1y20而 y1y2k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是 x1x2+y1y2=-3?2+4-3?2?2+4-2?2?2+4+10，化简得 4k2+10，所以 k1222已知函数?(?)=?+12?-?-?(?)（）若f（x）的单调递增区间为12，?，单调递减区间为(?，12，1，+），求实数a 的值；（）对任意的a（3，2），及任意的x1，x2 1，2，恒有|f（x1）f（x2）|ln2ta 成立，求实数t 的取值范围【分析】（）求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解a
30、即可（）求出导函数，判断函数的单调性，求出函数的最值转化求解不等式即可解：（）因为?(?)=?+12?-?-?，定义域为（0，+），所以?(?)=(?+?)?-?-1?=(?+1)?2-?-1?=(?-1)(?+1)?+1?，依题意当f（x）0 的两个根分别为1，12，即（x1）（a+1）x+10 两个根分别为1，12，有-1?+1=12，a 3（）?(?)=(?+?)?-?-1?=(?+1)?2-?-1?=(?-1)(?+1)?+1?，由 a（3，2）知-1?+1(12，?)，f（x）在 1，2上递减，f（1）f（2）ln2ta，-?2-32+?-?，（2t1）a3，?32?+12对 a（3，2）恒成立，t0