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1、2019-2020 学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8 小题）.1设 a，b，c R，且 ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa+c b+cBac2bc2Ca2b2D1?1?2抛物线x28y 的焦点坐标为（）A（4，0）B（0，4）C（2，0）D（0，2）3命题“?x R，x2 3x+40”的否定是（）A不存在x0 R，x23x+40B存在 x0 R，x2 3x+40C?x R，x23x+40D?x R，x23x+404平面 的法向量为?，直线 l 的方向向量为?，则“?=?”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知函数f（x）与 f（x）的
2、图象如图所示，则不等式?(?)?(?)?的解集为（）A（0，1）B(?，43)C(43，?)D（1，4）6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为（）A3 里B6 里C12 里D24 里7若数列 an中，a11，a2 2，an+1anan1，（n 2，n N*），则?=（）A 2B 1C1D28已知双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的两条渐近线分别
3、为直线l1，l2，直线 l 经过双曲线 C 的右焦点F 且垂直于l1，设直线l 与 l1，l2分别交于A，B 两点，若?=?，则双曲线C 的离心率为（）A2 33B32C 62D4 33二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.9 在空间直角坐标系中，已知点 M（1，0，1），M（1，1，2），则线段 MN 的长度为10已知双曲线?2?2-?=?（a 0）的离心率是?，则 a11曲线 f（x）（x+1）cosx 在点（0，f（0）处的切线方程是12在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线x2y21 有且只有一个公共点，请写出任意符合条件的一条直线l 方程13 已知二次不等式ax2+
4、2x+b0 的解集 x|x-1?，且 ab，则?2+?2?-?的最小值为14已知椭圆G：?26+?2?2=?(?)的两个焦点分别为F1和 F2，短轴的两个端点分别为 B1和 B2，点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|PF1|+|PF2|，当 b 变化时，给出下列三个命题：点 P 的轨迹关于y 轴对称；|OP|的最小值为2；存在 b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知等差数列an中，a12，a2+a48（）设?=?，求证：数列bn是等比数列；（）求数列an+b
5、n的前 n 项和16已知函数?(?)=13?-?-?-?(?)（）求函数f（x）的单调区间；（）判断函数f（x）零点的个数，并说明理由17如图，在四棱锥PABCD 中，平面PCD平面 ABCD，PCD 为等边三角形，?=?=12?=?，BAD ADC 90，M 是棱 PD 的中点（）求证：AD平面 PCD；（）求二面角MBCD 的余弦值；（）证明：直线CM 与平面 PAB 相交18已知函数?(?)=?+?(?-?)，a R（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）0 在1，+）上恒成立，求a 的取值范围19已知椭圆?：?2?2+?2?2=?（ab0）的离心率为 22，点
6、?(?，?)在椭圆上（）求椭圆C 的方程；（）若直线l：?-?+?=?(?)与椭圆C 交于两个不同的点A，B，直线MA，MB 与 x 轴分别交于P，Q 两点，求证：|PM|QM|20给定一个数列an，在这个数列里，任取m（m3，m N*）项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列an的一个 m 阶子数列已知数列 an的通项公式为an=1?+?（n N*，a 为常数），等差数列a2，a3，a6是数列 an的一个 3子阶数列（1）求 a 的值；（2）等差数列b1，b2，bm是 an的一个 m（m3，m N*）阶子数列，且b1=1?（k为常数，k N*，k2），求证：mk+1（3）等比数列
7、c1，c2，cm是an的一个 m（m3，m N*）阶子数列，求证：c1+c1+cm2-12?-1参考答案一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设 a，b，c R，且 ab，则下列不等式一定成立的是（）Aa+c b+cBac2bc2Ca2b2D1?1?解：ab，a+cb+c而 c0 时，ac2bc2不成立；取 a2，b 3时，a2b2与1?1?都不成立故选：A2抛物线x28y 的焦点坐标为（）A（4，0）B（0，4）C（2，0）D（0，2）解：抛物线x28y 的焦点坐标为：（0，2）故选：D3命题“?x R，x2 3x+40
8、”的否定是（）A不存在x0 R，x23x+40B存在 x0 R，x2 3x+40C?x R，x23x+40D?x R，x23x+40解：命题“?x R，x23x+40”是一个特称命题，本命题的否定是一个全称命题，命题“?x R，x23x+40”的否定是“?x R，x2 3x+40”故选：C4平面 的法向量为?，直线 l 的方向向量为?，则“?=?”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：?是直线 l 的方向向量，?是平面 的法向量，若?=?，则 l 成立，反之若 l，则?，即?=?成立，则?=?是 l的充要条件，故选：C5已知函数f（x）与 f（x）的
9、图象如图所示，则不等式?(?)?(?)?的解集为（）A（0，1）B(?，43)C(43，?)D（1，4）解：根据导数与单调性的关系可知，当 f（x）0 时，函数单调递减，当 f（x）0，函数单调递增，结合图象可知，图象中实线为f（x）的图象，虚线为f（x）的图象，由?(?)?(?)?可得，0 x1，故选：A6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为（）A3
10、 里B6 里C12 里D24 里解：记每天走的路程里数为an，可知 an是公比?=12的等比数列，由 S6378，得?=?1(1-126)1-12=?，解得：a1192，?=?125=?，故选：B7若数列 an中，a11，a2 2，an+1anan1，（n 2，n N*），则?=（）A 2B 1C1D2解：数列 an中，a11，a2 2，an+1anan1，所以当 n2 时，a3 a2a11，当 n 3 时，a4a3a2 1，当 n 4 时，a5a4a3 11 2，当 n 5 时，a6a5a4 2+1 1，当 n 6 时，a7a6a5 1，当 n 7 时，a8a7a6 2，所以：数列的周期为6
11、故 2019 336 6+3，即 a2019 a3 1故选：C8已知双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的两条渐近线分别为直线l1，l2，直线 l 经过双曲线 C 的右焦点F 且垂直于l1，设直线l 与 l1，l2分别交于A，B 两点，若?=?，则双曲线C 的离心率为（）A2 33B32C 62D4 33解：如图，双曲线?：?2?2-?2?2=?(?，?)的两条渐近线分别为直线l1：y=?，l2：y=-?，直线 l 的方程为y=-?（xc），联立?=?=-?(?-?)，解得 A（?2?，?），联立?=-?=-?(?-?)，解得 B（?2?2-?2，-?2-?2）由?=?，得（?2?2-?
12、2，-?2-?2）（3?2?，-3?），?2?2-?2=3?2?，即 2c23a2，e=?=62故选：C二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.9在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），M（1，1，2），则线段MN 的长度为?解：空间直角坐标系中，点M（1，0，1），N（1，1，2），所以线段AB 的长度为|MN|=(-?-?)?+(?-?)?+(?-?)?=?故答案为：?10已知双曲线?2?2-?=?（a 0）的离心率是?，则 a12解：双曲线?2?2-?=?（a0）的离心率是?，可得：?2+1?=?，解得 a=12故答案为：1211曲线 f（x）（x+1）cosx 在
13、点（0，f（0）处的切线方程是y x+1解：f（x）（x+1）cosx 的导数为f（x）cosx（x+1）sinx，可得曲线在点（0，f（0）处的切线斜率为kcos001，且切点为（0，1），可得曲线f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y x+1，故答案为：yx+112在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线x2y21 有且只有一个公共点，请写出任意符合条件的一条直线l 方程xyk，k0（k 是任意非零实数都正确）解：双曲线的渐近线方程为：xy0，在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线x2y2 1 有且只有一个公共点，所以直线方程为：xyk，k0故答案为：xyk，k0（k 是任意非零实数都正确）
14、13 已知二次不等式ax2+2x+b0 的解集 x|x-1?，且 ab，则?2+?2?-?的最小值为2?解：二次不等式ax2+2x+b0 的解集 x|x-1?，a0，且对应方程有两个相等的实根为-1?由根与系数的故关系可得-1?(-1?)=?，即 ab 1故?2+?2?-?=(?-?)2+2?-?=（ab）+2?-?，ab，ab0，由基本不等式可得（ab）+2?-?2(?-?)2?-?=2?，当且仅当ab=?时取等号故?2+?2?-?的最小值为：2?故答案为：2?14已知椭圆G：?26+?2?2=?(?)的两个焦点分别为F1和 F2，短轴的两个端点分别为 B1和 B2，点 P 在椭圆 G 上，
15、且满足|PB1|+|PB2|PF1|+|PF2|，当 b 变化时，给出下列三个命题：点 P 的轨迹关于y 轴对称；|OP|的最小值为2；存在 b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是解：椭圆 G：?26+?2?2=?(?)的两个焦点分别为F1（?-?，0）和 F2（-?-?，0），短轴的两个端点分别为B1（0，b）和 B2（0，b），设 P（x，y），点 P 在椭圆 G 上，且满足|PB1|+|PB2|PF1|+|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|2a2?2b，即有 P 在椭圆?26+?26-?2=1 上对于 ，将 x 换为 x 方程不变，则点P 的
16、轨迹关于y 轴对称，故 正确；对于 ，由图象可得，当P 满足 x2 y2，即有 6b2b2，即 b=?时，|OP|取得最小值，可得x2y22，即有|OP|的最小值为2，故 正确，对于 ，由图象可得轨迹关于x，y 轴对称，且0 b?，则椭圆 G 上满足条件的点P 有 4 个，不存在 b使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故 不正确；故答案为：三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知等差数列an中，a12，a2+a48（）设?=?，求证：数列bn是等比数列；（）求数列an+bn的前 n 项和解：（）证明：设等差数列an的公差为d，由题意可得：2
17、+d+2+3d8，解得d 1，an2+（n1）1n+1由?=?得 bn2n+1，又?+1?=2?+22?+1=2，b1224，数列 bn是首项为4，公比为 2 的等比数列；（）解：由（）可得an+bn（n+1）+2n+1，数列 an+bn的前 n 项和为（2+3+4+n+1）+（22+23+2n+1）=?(2+?+1)2+22(1-2?)1-2=?(?+3)2+2n+2416已知函数?(?)=13?-?-?-?(?)（）求函数f（x）的单调区间；（）判断函数f（x）零点的个数，并说明理由解：（）由f（x）=13?-?-?-?，得 f（x）x22x3，由 f（x）0，解得 x 1 或 x3；由
18、f（x）0，解得 1x3函数 f（x）的单调增区间为（，1），（3，+）；单调减区间为（1，3）（）由（）可知，f（x）有极大值f（1）=-13-?+?-?=-130，f（x）的极小值为f（3）=13?-?-?-?=-?0，且当 x+时，f（x）+函数 f（x）零点的个数只有1 个零点17如图，在四棱锥PABCD 中，平面PCD平面 ABCD，PCD 为等边三角形，?=?=12?=?，BAD ADC 90，M 是棱 PD 的中点（）求证：AD平面 PCD；（）求二面角MBCD 的余弦值；（）证明：直线CM 与平面 PAB 相交解：（）证明：取CD 中点 O，连结 PO，PCD 为等边三角形，P
19、O CD，平面 PCD平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCD CD，PO平面 ABCD，AD?平面 ABCD，POAD，BAD ADC90，AD DC，PO DCO，AD 平面 PCD（）解：以O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 D（0，1，0），P（0，0，?），M（0，-12，32），B（1，0，0），C（0，1，0），?=（1，-12，32），?=（1，1，0），设平面 BCM 的法向量?=（x，y，z），则?=-?-12?+32?=?=-?+?=?，取 x1，得?=（1，1，?），平面 BCD 的法向量?=（0，0，1），设二面
20、角MBC D 的平面角为，则 cos=|?|?|?|?|=35=155二面角MBC D 的余弦值为 155（）证明：A（1，1，0），?=（0，-32，32），?=（1，1，?），?=（0，1，0），设平面 PAB 的法向量?=（a，b，c），则?=?-?+?=?=?=?，取 a=?，得?=（?，0，1），?=-320，直线 CM 与平面 PAB 相交18已知函数?(?)=?+?(?-?)，a 一、选择题（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若f（x）0 在1，+）上恒成立，求a 的取值范围解：（）x1 时，f（1）e+a，f（x）=(?+?)(?-1)?2，f（1）0，故切
21、线方程是ye+a；（）问题等价于f（x）min0，f（x）=(?+?)(?-1)?2，x1，x10，x20，a0 时，显然ex+ax 0，f（x）0，f（x）在 1，+）递增，故 f（x）minf（1）e+a，显然 e+a0，a0 符合题意；a0 时，令 h（x）ex+ax，h（x）ex+a，令 h（x）0，解得：xln（a），若 ln（a）1 即 ea0 时，h（1）e+a0，当 x1 时，h（x）ex+a0，函数 yh（x）在 1，+）上递增，故 x1 时，函数有最小值h（1）e+a0，当 x1 时，显然ex+ax0，函数 yf（x）在 1，+）递增，故 x1 时，函数有最小值f（1）e+
22、a，由题意 e+a0，故 ea0 符合题意，若 ln（a）1 即 a e时，显然f（1）e+a 0，不合题意，综上，若f（x）0 在1，+）上恒成立，则 a e，故 a 的范围是（e，+）19已知椭圆?：?2?2+?2?2=?（ab0）的离心率为 22，点?(?，?)在椭圆上（）求椭圆C 的方程；（）若直线l：?-?+?=?(?)与椭圆C 交于两个不同的点A，B，直线MA，MB 与 x 轴分别交于P，Q 两点，求证：|PM|QM|解：（）由题意可得：?=?=222?2+1?2=?=?-?解得：a24，b22，所以椭圆的方程为：?24+?22=1；（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
23、联立直线与椭圆的方程?-?+?=?+?-?=?，整理可得：4x2+2?mx+m2 80，8m244（m28）0，即 4m4，且 m0，且 x1+x2=-22m，x1x2=?2-84因为 kMP+kMQ=?1-1?1-2+?2-1?2-2=(2?1+?2-1)(?2-2)+(2?2+?2-1)(?1-2)(?1-2)(?2-2)=22?1?2+(?-4)(?1+?2)-22?+422?1?2-2(?1+?2)+2=22(?2-8)4-22?(?-4)4-82?4+16242?1?2-2(?1+?2)+2=22?2-162-22?2+82?-82?+1628?1?2-2(?1+?2)+2=0，所以
24、 MPQ MQP，即 MPQ 为等腰三角形，所以|PM|QM|20给定一个数列an，在这个数列里，任取m（m3，m N*）项，并且不改变它们在数列an中的先后次序，得到的数列an的一个 m 阶子数列已知数列 an的通项公式为an=1?+?（n N*，a 为常数），等差数列a2，a3，a6是数列 an的一个 3子阶数列（1）求 a 的值；（2）等差数列b1，b2，bm是 an的一个 m（m3，m N*）阶子数列，且b1=1?（k为常数，k N*，k2），求证：mk+1（3）等比数列c1，c2，cm是an的一个 m（m3，m N*）阶子数列，求证：c1+c1+cm2-12?-1【解答】（1）解：a
25、2，a3，a6成等差数列，a2a3a3a6又 a2=12+?，a3=13+?，a6=16+?，代入得12+?-13+?=13+?-16+?，解得 a0（2）证明：设等差数列b1，b2，bm的公差为db1=1?，b21?+1，从而 db2b11?+1-1?=-1?(?+1)bmb1+（m1）d1?-?-1?(?+1)又 bm0，1?-?-1?(?+1)0即 m1k+1mk+2又 m，k N*，mk+1（3）证明：设c1=1?（t N*），等比数列c1，c2，cm的公比为qc21?+1，q=?2?1?+1从而 cnc1qn11?(?+1)?-?（1nm，n N*）c1+c2+cm1?+1?(?+1)?+1?(?+1)?+?+1?(?+1)?-?=?+1?-(?+1)?，设函数 f（x）x-1?-1，（m3，m N*）当 x（0，+）时，函数f（x）x-1?-1为单调增函数当 t N*，1?+1?2 f（?+1?）2-12?-1即 c1+c2+cm2-12?-1