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1、1 四边形知识点：一、关系结构图：二、知识点讲解：1平行四边形的性质（重点）：ABCD是平行四边形.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（2.平行四边形的判定（难点）：ABDOC2 CDABABCDO.3.矩形的性质：因为 ABCD 是矩形.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（(4)是轴对称图形，它有两条对称轴4 矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；(2)有三个角是直角的四边形；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形四边形 ABCD 是矩形
2、.5.菱形的性质：因为 ABCD 是菱形.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（6.菱形的判定：边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形.7.正方形的性质：ABCD是正方形.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（8.正方形的判定：一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321四边形 ABCD 是正方形.ABDOCADBCADBCOCDBAOCDBAO3 名称定义性质判定面积平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做
3、平行四边形。对边平行；对边相等；对角相等；邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形定义；两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；两组对角分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形。S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，还有：四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形又是轴对称图形。有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；定义。S=ab(a 为一边长，b 为另一边长)菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外，还有四边形相等；对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；既
4、是中心对称图形又是轴对称图形。四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直的平行四边形是菱形；定义。S=ah(a 为一边长，h 为这条边上的高)；(b、c为两条对角线的长)正方形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：四个角是直角，四条边相等；对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形。有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；定义。(a 为边长)；(b 为对角线长)三精典例题解答：1已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：（1）ADF CBE；（2）EB
5、DF。证明：（1）AE=CF AE+EF=CF+FE 即 AF=CE 又 ABCD 是平行四边形，AD=CB，AD BC DAF=BCE 在 ADF与 CBE中4 ADF CBE（SAS）（2）ADF CBE DFA=BEC DFEB 例 1 图例 2 图2如图，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD相交于点O，E、F 是直线 AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。证明：四边形 ABCD 是平行四边形 OA=OC，OB=OD 又 AE=CF OA+AE=OC+CF 即 OE=OF 四边形 BFDE 是平行四边形3如图，在梯形纸片ABCD中，AD BC，ADCD，将纸片
6、沿过点D 的直线折叠，使点C 落在 AD上的点 C处，折痕DE交 BC于点 E，连结。求证：四边形是菱形。证明：根据题意可知则，ADBC CDE=CED CD=CE 四 边 形为 菱 形例 3 图5 4 把正方形ABCD绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边 FG与 BC交于点 H（如图）。试问线段HG与线段 HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。解：HG=HB。证法 1：连结 AH，四边形 ABCD，AEFG都是正方形 B=G=90 由题意知AG=AB，又 AH=AH Rt AGH RtABH（HL）HG=HB 证法 2：连结 GB 四边形 ABCD，AEFG 都是正方形
7、 ABC=AGF=90 由题意知AB=AG AGB=ABG ABC-ABG=AGF-AGB 即 HBG=HGB HG=HB 5如图，正方形ABCD 绕点 A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边 EF与 CD交于点 O。（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是_AO_ 和_DE_。理由如下：在 Rt ADO 与 RtAEO中，AD=AE，AO=AO，Rt ADO RtAEO D
8、AO=OAE（即 AO平分 DAE）AODE（等腰三角形的三线合一）注：其它的结论也成立如GD BE。（2）四边形 AEOD 的面积为 三角形 ADO 的面积=AD=2 DAO=30 EAB=30 即旋转的角度是306 例 5 图例 6 图6四边形ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE、CG。（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与 CG之间的位置关系，并证明你的猜想。证明：（1）如图，AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90 又 CDG=90+ADG=ADE ADE CDG AE=CG（2）猜想：AE CG。证明：如图，设AE与 CG交点为 M，AD与 CG交点为 N ADE
9、 CDG DAE=DCG 又ANM=CND AMN CDN AMN=ADC=90 AECG 7已知：如图，在ABC中，AB=AC，AD BC，垂足为点D，AN是 ABC外角 CAM 的平分线，CE AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当 ABC满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明。证明：（1）在 ABC中，AB=AC，AD BC BAD=DAC AN 是 ABC外角 CAM 的平分线 MAE=CAE 又 ADBC，CE AN ADC=CEA=90 四边形 ADCE 为矩形（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。证明：AB=AC，AD BC于
10、 D 7 又 DC=AD 由（1）四边形 ADCE为矩形 矩形 ADCE 是正方形例 8 图8将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C与 A重合，点D落到处，折痕为EF。（1）求证：ABE ADF；（2）连接 CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。证明：（1）由折叠可知：，四边形 ABCD 是平行四边形 B=D，AB=CD，C=BAD B=D，AB=AD DAE=BAD，即 1+2=2+3 1=3 ABE AD F（2）四边形AECF是菱形。由折叠可知：AE=EC，4=5 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC 5=6 4=6 AF=AE AE=EC AF=EC 又
11、 AFEC 四边形 AECF是平行四边形 AF=AE 四边形 AECF是菱形。9如下图，已知P 正方形 ABCD的对角线AC上一点(不与 A、C重合)，PE BC于点 E，PFCD8 于点 F（1）求证：BP=DP；（2）若四边形PECF绕点 C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形 PECF绕点 C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论思路分析：（1）解法一：在ABP与 ADP中，利用全等可得BP=DP 解法二：利用正方形的轴
12、对称性，可得BP=DP（2）不是总成立当四边形PECF 绕点 C按逆时针方向旋转，点P旋转到 BC边上时，DPDCBP，此时 BP=DP不成立说明：未用举反例的方法说理的不得分（3）连接 BE、DF，则 BE与 DF始终相等在图中，可证四边形PECF 为正方形，在 BEC与 DFC中，可证 BEC DFC 从而有 BE=DF 10为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形种植花草部分用阴影表示请你在图、图、图中画出三种不同的的设计图案提示：在两个图案中，只有半径
13、变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图、图只能算一种解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一11如图，等腰梯形ABCD 中，AB=15，AD=20，C=30。点 M、N同时以相同速度分别从点A、点 D开始在 AB、AD（包括端点）上运动。9（1）设 ND的长为 x，用 x 表示出点N到 AB的距离，并写出x 的取值范围。（2）设，用 t 表示 AMN 的面积。（3）求 AMN 的面积的最大值，并判断取最大值时AMN 的形状。解：（1）过点 N作 BA的垂线 NP，交 BA的延长线于点P。由已知：，。四边形 ABCD 是等腰梯形，AB CD，D=C=30，PAN=D=30。在 RtAPN
14、中，即点 N到 AB的距离为。点 N在 AD上，点 M在 AB上，x 的取值范围是。（2）根据（1），。（3），当 t=0 时，即 x=10 时，有最大值25。当 x=10 时，即 ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即 AM=AN。此时，AMN 为等腰三角形。12（08 通州 22 改编）如图，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，DAB=60，点 M是边 AD上一点，且 DM=2cm，点 E、F 分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交 AD于 O，设 AE=CF=x，（1）试用含x 的代数式表示CGF的面积；（2）当 GF AD时，求 AE的值。解：（1）在平行四边形ABCD中 CD=AB=8，BC=AD=6 DM=2，AD=6，AM=4，10 取 AM、ME中点 P、Q，则由中位线定理知，PQ AE且。由 AE GD可得 PQ GD从而 DGM PQM，过点 F 作 FNCD于 N，C=A=60，CF=x（2）当 GF AD时，ADBC，GDA=A=60 OGD=30，GF BC 在 RtGFC中，即：当 GF AD时，