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1、1 第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1.当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0.则直线l的倾斜角的范围是0.2.倾斜角不是 90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tank.如果知道直线上两点1122(,),(,)P xyP xy，则有斜率公式2121yykxx.特别地是，当12xx，12yy时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当12xx，12yy时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当=90时，斜率k=0；当090时，斜率0k
2、，随着的增大，斜率k也增大；当90180时，斜率0k，随着的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1.对于两条不重合的直线1l、2l，其斜率分别为1k、2k，有：（1）12/ll12kk；（2）12ll121kk.2.特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.直线的点斜式方程1.点斜式：直线l过点000(,)P xy,且斜率为k，其方程为00()yyk xx.2.斜截式：直线l的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为ykxb.3.点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线.若直线l过点000(,)P
3、 xy且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00 xx，或0 xx.4.注意：00yykxx与00()yyk xx是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P xy，后者才是整条直线.直线的两点式方程1.两点式：直线l经过两点111222(,),(,)P xyP xy，其方程为112121yyxxyyxx，2.截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为1xyab.3.两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4.线段12PP中点坐标公式1212(,)22xxyy.2 直线的一般式方程1.一
4、般 式：0AxByC，注 意A、B不 同 时 为0.直 线 一 般 式 方 程0(0)AxByCB化为斜截式方程ACyxBB，表示斜率为AB，y轴上截距为CB的直线.2.与直线:0lAxByC平行的直线，可设所求方程为10AxByC；与直线0AxByC垂直的直线，可设所求方程为10BxAyC.3.已 知 直 线12,l l的 方 程 分 别 是：1111:0lA xB yC（11,A B不 同 时 为0），2222:0lA xB yC（22,A B不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120llA AB B；（2）1212211221/0,0llABA BACA B；
5、（3）1l与2l重合122112210,0A BA BACA B；（4）1l与2l相交12210A BA B.如果2220A B C时，则11112222/ABCllABC；1l与2l重合111222ABCABC；1l与2l相交1122ABAB.两条直线的交点坐标1.一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组11122200AxB yCA xB yC.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2.方程111222()()0AxB yCA xB yC为直线系，所有的
6、直线恒过一个定点，其定点就是1110AxB yC与2220A xB yC的交点.两点间的距离1.平面内两点111(,)P xy，222(,)P xy，则两点间的距离为：22121212|()()PPxxyy.特别地，当12,P P所在直线与x轴平行时，1212|PPxx；当12,P P所在直线与y轴平行时，1212|PPyy；点到直线的距离及两平行线距离1.点00(,)P xy到直线:0lAxByC的距离公式为0022|AxByCdAB.2.利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0lAxByC，22:0lAxByC之间的距离公式1222|CCdAB，推导过程为：在直线2l上任取一
7、点00(,)P xy，则0020AxByC，即002AxByC.这时点00(,)P xy到直线11:0lAxByC的距离为001122222|AxByCCCdABAB3 对应练习一.选择题1.(安徽高考)过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.过点(1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（）A.012yx B.052yxC.052yx D.072yx3.已知过点(2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行，则m的值为（）A.0 B.8 C.2 D.104.(安徽高考)直
8、线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0 垂直，则直线的方程是（）A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 5.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sincos0则 a,b 满足（）A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 6.如果直线 ax+2y+2=0与直线 3x-y-2=0 平行，则系数 a=A、-3 B、-6 C、23 D、327.点 P（-1，2）到直线 8x-6y+15=0 的距离为（）A 2 B 21 C 1 D 278.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点，则该点的坐标是A（-2，1）B（
9、2，1）C（1，-2）D（1，2）9.（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,lkxk ylkxy与平行，则k得值是（）A.1或 3 B.1或 5 C.3或 5 D.1或 2 4 10、若图中的直线 L1、L2、L3的斜率分别为 K1、K2、K3则（）A、K1K2K3 B、K2K1K3 C、K3K2K1 D、K1K3K211.（05 北京卷）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的()（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件12、与直线 2x+3y-6=0 关于点(
10、1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0 13.若直线 ax+by+c=0 在第一、二、三象限，则()A.ab0，bc0 B.ab0，bc0 C.ab0，bc0D.ab0，bc0 14.（2005 北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y 3=0相互垂直”的 ()A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件15.如果直线l 经过两直线 2x-3y+1=0和 3x-y-2=0的交点，且与直线y=x垂直，则原点到直线l 的距离是(
11、)A.2 B.1 2C.22L1L2x o L35 16.原点关于x-2y+1=0的对称点的坐标为()A.52，54-B.54，52-C.52，54D.54，52-二、填空题1.点(1,1)P到直线10 xy的距离是 _.2.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则 a 的值为（）3.经过两直线 11x+3y7=0 和 12x+y19=0 的交点，且与 A（3，2），B（1，6）等距离的直线的方程是。4.（全国文 16）若直线m被两平行线12:10:30lxylxy与所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是15o30o45o60o75o其中正确答案的序号是 .（写出
12、所有正确答案的序号）6 三.解答题1.已知两条直线12:12,:2416lxm ym lmxy.m为何值时,12:ll与（1）相交（2）平行（3）垂直2.求经过直线0323:,0532:21yxlyxl的交点且平行于直线032yx的直线方程.3.求平行于直线20,xy且与它的距离为2 2的直线方程。7 4.已知直线l1:mx+8y+n=0 与 l2:2x+my-1=0 互相平行，求 l1，l2之间的距离为5时的直线 l1的方程.5.已知三角形 ABC的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是 BC边上的中点。（1）求 AB边所在的直线方程；（2）求中线 AM的长（3）求
13、 AB边的高所在直线方程。6.求与两坐标轴正向围成面积为2 平方单位的三角形，并且两截距之差为3 的直线的方程。8 一、选择题1设直线0axbyc的倾斜角为，且sincos0，则,a b满足（）A1baB1baC0baD0ba2过点(1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（）A012yx B052yxC052yx D072yx3已知过点(2,)Am和(,4)B m的直线与直线012yx平行，则m的值为（）A0 B8 C2 D104已知0,0abbc，则直线axbyc通过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D 第二、三、四象限5直线1x的倾斜角和斜率分别是（）A045
14、,1B0135,1C090，不存在D 0180，不存在6若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则实数m满足（）A0mB23mC1mD1m，23m，0m二、填空题1点(1,1)P到直线10 xy的距离是 _.2 已知直线,32:1xyl若2l与1l关于y轴对称，则2l的方程为 _;若3l与1l关于x轴对称，则3l的方程为 _;9 若4l与1l关于xy对称，则4l的方程为 _;3若 原 点 在 直 线l上 的 射 影 为)1,2(，则l的 方 程 为_。4点(,)P x y在直线40 xy上，则22xy的最小值是 _.5直线l过原点且平分ABCDY的面积，若平行四边形的两个顶点为
15、(1,4),(5,0)BD，则直线l的方程为 _。三、解答题1已知直线AxByC0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时是x轴；（5）设P xy00，为直线AxByC0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A xxB yy00010 2 求 经 过 直 线0323:,0532:21yxlyxl的 交 点 且 平 行 于 直 线032yx的直线方程。3 经过点(1,2)A并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4过点(5,4)A作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5