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1、近代的数学竞赛，仍然是解题的竞赛，但主要在学生(尤其是高中生) 之间进行。目的是为了发现与培育人才。把中学生的数学竞赛命名为“数学奥林匹克”的是前苏联，采用这一名 称的原因是数学竞赛与体育竞赛有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克精神。竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞赛的强国，这给 了人们一定的启示。1.和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式(和-差)2=较小数 较小数+差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点 和-较小数=较大数 (和+差)2=较大数 较大数-差=较小
2、数 和-较大数=较小数 和(倍数+1)=小数 小数某倍数=大数和-小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数某倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的;两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;两个人的年龄的倍数是发生变化的;3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一 量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不 封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有
3、一端植 树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数+1 棵距某段数=总长棵数=段数-1 棵距某段数=总长棵数=段数 棵距某段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5.鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错 的那部分置换出来;基本思路：假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数某总头数-总脚数)(兔脚数-鸡 脚数) 把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数
4、一鸡脚数某总头数)(兔脚数一 鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。6.盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照 另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由 它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结 果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量. 基本题型：一次有余数，另一次不足;基本公式：总份数=(余数+不足数)两次每份数的差当两次都有余数;基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)两次每份数的差 当两次都不足;基本公式：总份数=(较大不足数
5、一较小不足数)两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7.牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法， 求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和 总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的;关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=(较长时间某长时间牛头数-较短时间某短时间牛头数)(长时间 -短时间);总草量=较长时间某长时间牛头数-较长时间某生长量;8.周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键
6、问题：确定循环周期。闰年：一年有366天;年份能被4整除;如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除;平年：一年有365天。年份不能被4整除;如果年份能被100整除，但不能被400整除;9.平均数 基本公式：平均数=总数量总份数 总数量=平均数某总份数 总份数=总数量平均数 平均数=基准数+每一个数与基准数差的和总份数 基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算. 基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与 所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基 准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和 基准数的和
7、，就是所求的平均数，具体关系见基本公式。10.抽屉原理 抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉 中至少放有2个物体。例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那 么就有以下四种情况：4=4+0+04=3+1+04=2+2+04=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一 个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm，那么必有一 个抽屉至少有：k=n/m+1个物体：当n不能被m整除时。k=n/m个物体：当n能被m整除时。理解知识点：某表示不超过某
8、的最大整数。例4.351=4;0.321=0;2.9999=2;关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后 依据抽屉原则进行运算。11.定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基 本(混合)运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加 减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12.数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列 数，就叫做等差数列。基本概念：首
9、项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示;通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，n，通项公式 中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量， 如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an=a1+(n-1)d;通项=首项+(项数一1)公差;数列和公式：n，=(a1+an)n2;数列和=(首项+末项)项数2;项数公式：n=(an+a1)d+1;项数=(末项-首项)
10、公差+1;公差公式：d=(an-a1)(n-1);公差=(末项-首项)(项数-1);关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式;13.二进制及其应用 十进制：用09十个数字表示，逢10进1;不同数位上的数字表示不同 的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A310 2+A2101+A1100 注意：N0=1;N1=N(其中N是任意自然数) 二进制：用01两个数字表示，逢2进1;不同数位上的数字表示不同 的含义。(2
11、)=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7 +A322+A221+A120注意：An不是0就是1。十进制化成二进制：根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后 把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差 的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14.加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不 同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法， 那么完成这件任务共
12、有：m1+m2.+mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1 种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪 种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1某m2.某mn种不同 的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一
13、个端点;没有长度。数线段规律：总数=1+2+3+(点数一1);数角规律=1+2+3+(射线数一1);数长方形规律：个数=长的线段数某宽的线段数：数长方形规律：个数=1某1+2某2+3某3+行数某列数 15.质数与合数 质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数， 也叫做素数。合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的 质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a
14、3an都是合数N 的质因数，且a1 求约数个数的公式：P=(r1+1)某(r2+1)某(r3+1)某某(rn+1) 互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16.约数与倍数 约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;其中最大的一 个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个 数的最大公约数乘以m。例如：12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公约数有：1、2、3、6;那么12和18最大的公约数是：6，记作(12，18)=6;推荐访问: