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1、 数学归纳法应用总结 数学归纳法应用总结 数学归纳法的应用 数学归纳法是高考考察的重点内容之一.类比与猜测是应用数学归纳法所表达的比拟突出的思想，抽象与概括，从特别到一般是应用的一种主要思想方法. (1)数学归纳法的根本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基) 2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立. (2)数学归纳法的应用 详细常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. 歼灭难点训练一、选择题 1.()已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意
2、nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为() A.30B.26C.36D.62.()用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题 1311511173.()观看以下式子：1,122,1222则可归 223423234纳出_. 4.()已知a1=an=_. 三、解答题 5.()用数学归纳法证明42n1+3n+2能被13整除，其中nN*.6.()若n为大于1的自然数，求证： 3an1,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜测 an3211113.n1n22n247.()已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b
3、10=145. (1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+ 1)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和，试bn比拟Sn与 1logabn+1的大小，并证明你的结论.3第1页共5页8.()设实数q满意|q|1,数列an满意：a1=2,a20,anan+1=qn,求an表达式，又假如limS2n3,求q的取值范围. n 参考答案 难点磁场 14(abc)6a31b11解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有22(4a2bc)2c10709a3bc于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2= n(n1)(3n211n
4、10)12记Sn=122+232+n(n+1)2 k(k1)(3k2+11k+10)12k(k1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 2(k1)(k2)=(3k2+5k+12k+24) 12(k1)(k2)=3(k+1)2+11(k+1)+10 12设n=k时上式成立，即Sk= 也就是说，等式对n=k+1也成立. 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练 一、1.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜测f(n)能被36整
5、除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被36整除 f(1)不能被大于36的数整除，所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由题意知n3，应验证n=3.答案：C二、3.解析：1131211即1222112(11)111511221,即1 2122323(11)2(21)2第2页共5页归纳为11112n1* (nN) n12232(n1)2答案:11112n1(
6、nN*)222n123(n1)13a1233同理,4.解析:a2a131725323a23333333a3,a4,a5,猜测ana238359451055n5333333答案:、 78910n5三、5.证明：(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除 (2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2) 42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立. 由知，当nN*时，42n+1+3n+2能被13整
7、除. 117132122122411113(2)假设当n=k时成立，即k1k22k241111111则当nk1时,k2k32k2k12k2k1k1131111311242k12k2k1242k12k213113242(2k1)(k1)246.证明：(1)当n=2时， b11b117.(1)解：设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n210(101)d310bd14512(2)证明：由bn=3n2知 11)+loga(1+)43n211=loga(1+1)(1+)(1+) 43n2111而logabn+1=loga33n1,于是，比拟Sn与logabn+1的大小比拟(1+1)(1+)3341(
8、1+)与33n1的大小. 3n2Sn=loga(1+1)+loga(1+ 第3页共5页取n=1，有(1+1)=38343311取n=2，有(1+1)(1+)38373321推想：(1+1)(1+ 1411)(1+)33n1(*)43n2当n=1时，已验证(*)式成立. 11)(1+)33k143k21111)(1)33k1(1)则当n=k+1时，(11)(1)(143k23(k1)23k1假设n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ 3k233k1 3k1(3k233k1)3(33k4)33k1(3k2)3(3k4)(3k1)29k40 (3k1)2(3k1)233k1(3k2)33k
9、433(k1)13k1111从而(11)(1)(1)(1)33(k1)1,即当n=k+1时，(*)式成立 43k23k1由知，(*)式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，Sn 11logabn+1,当0a1时，Snlogabn+1338.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2= 9,2an1,即an+2=qanan2qanan+1=qn,an+1an+2=qn+1两式相除，得 于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜测：a2n+1= 1n q(n=1,2,3,)22qk1n2k1时(kN)综合，猜测通项公式为an=1k qn2k时(kN)2下证：(1)当n=1,2时猜测成立 (2)
10、设n=2k1时，a2k1=2qk1则n=2k+1时，由于a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时，a2k=1k q,则n=2k+2时，由于a2k+2=qa2k,2第4页共5页所以a2k+2=1k q+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2综上所述，对一切自然数n,猜测都成立. 2qk1当n2k1时(kN)这样所求通项公式为an=1k q当n2k时(kN)2S2n=(a1+a3+a2n1)+(a2+a4+a2n)=2(1+q+q2+qn-1) 1(q+q2+qn)22(1qn)1q(1qn)1qn4q()() 1q2(1q)1
11、q21qn4q)()由于|q|1,limq0,故limS2n=(nn1q2n依题意知 4q23,并留意1q0,|q|1解得1q0或0q 2(1q)5第5页共5页 扩展阅读：数学归纳法的应用习题 第2课时数学归纳法的应用 双基达标限时20分钟 1111 1利用数学归纳法证明n2n() Af(n)n1Cf(n)n1 Bf(n)nDf(n)n2 解析要使这n条直线将平面所分割成的局部最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点由于第n1条直线被原n条直线分成n1条线段或射线，这n1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n1)比f(n)多了n1局部答案C 111 4已知Sn1335
12、57 1 ，则S1_，S2_， 2n12n1 S3_，S4_，猜测Sn_.n 解析分别将1,2,3,4代入观看猜测Sn. 2n11234n 答案3579 2n1 5用数学归纳法证明“当n为正偶数时xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；其次步归纳假设成立应写成_解析由于n为正偶数，故第一个值n2，其次步假设n取第k个正偶数成立，即n2k，故应假设成x2ky2k能被xy整除答案2x2ky2k能被xy整除6用数学归纳法证明： 1111 12232n22n(n2) 1513 证明：(1)当n2时，1224222，命题成立 1111 (2)假设当nk时命题成立，即12232k22k，当nk
13、1时，11112232k2 1111111 222kk12kkk1kkk1211 2，命题成立k1k1 由(1)、(2)知原不等式在n2时均成立 综合提高限时25分钟7用数学归纳法证明不等式 111112n24(nN*)的过程中，由nkn1n2 递推到nk1时，以下说法正确的选项是 () A增加了一项B增加了两项 1 2k1 11和2k12k1 1k11k1 C增加了B中的两项，但又削减了一项 D增加了A中的一项，但又削减了一项解析当nk时，不等式左边为当nk1时，不等式左边为答案C 1112k，k1k2 111112k.k2k32k12k2 8命题P(n)满意：若nk(kN*)成立，则nk1
14、成立，下面说法正确的选项是()AP(6)成立则P(5)成立BP(6)成立则P(4)成立CP(4)成立则P(6)成立D对全部正整数n，P(n)都成立 解析由题意知，P(4)成立，则P(5)成立，若P(5)成立，则P(6)成立所以P(4)成立，则P(6)成立答案C 9已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立，则a、b、c的值为_ 解析等式对一切nN*均成立，n1,2,3时等式成立，即：c， 13ab 123322abc， 123332333abc， 3a3bc1， 整理得18a9bc7， 81a27bc34， 11 答案a2，bc411 解得a2，bc4.an 10数列an
15、中，已知a12，an1(nN*)，依次计算出a2，a3，a4后， 3an1归纳、猜想得出an的表达式为_222 解析a12，a27，a313，a419，猜想an2 答案an 6n5 n1111 11求证：121232n2n. 1 证明(1)当n1时，f(1)12，原不等式成立；(2)设nk(kN*)时，原不等式成立k1111 即121232k2k成立，当nk1时，f(k1)f(k) k111111 11 22k12k22k12k22k12k12 .6n5 k2 k1k1 12212，f(k1)f(k) 11111111kk12kkkk112(创新拓展)数列an满意Sn2nan，nN*，先计算前
16、4项后猜测an，并用数学归纳法证明 证明当n1时，S12a1，a11，3 n2时，S2a1a24a2，a22，7 n3时，S3a1a2a36a3，a34，15 n4时，S4a1a2a3a48a4，a48.2n1 猜测ann1. 2 用数学归纳法证明：当n1时，a11，猜测成立，2k1 假设nk时猜测成立，即akk1成立 2 那么，当nk1时，Sk12(k1)ak1Skak12kakak1，2ak12k12k11 2ak2k1k1， 22 2k11 ak12k，即nk1时猜测成立由可知，对nN*猜测均成立 友情提示：本文中关于数学归纳法应用总结给出的范例仅供您参考拓展思维使用，数学归纳法应用总结：该篇文章建议您自主创作。