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1、数学试验教学大纲课程的定位和目的数学试验是清华大学在数学教学体系和内容改革中为非数学类专业创立的 课，是四门数学主干课程的最终一门，起着承上启下的作用，承上是使微积分、代数与几何、随机数学中的原理得以应用，方法得以实现，启下是为后续课、争论生课程中数学问题的建模和求解供给思路，激发同学进一步学习数学、应用数学的意识和力量。课程对象主要是本科二年级学生。数学试验是一门重组课程，它集数值计算、优化方法、数理统计、数学建模以及数学软件于一体，以“应用数学根本原理、了解主要数值算法、借助数学软件实现、培育数学建模力量”为根本要求。数学试验课的目的是，在教师指导下以学生在计算机上自己动手、动眼、动脑为主
2、，通过用数学软件编程做试验，学习解决实际问题常用的数学方法，并在此根底上分析、解决经过简化的实际问题，提高学数学、用数学的兴趣、意识、方法和力量，促成数学教学的良性循环。课程的根本内容和根本要求依据课程的目的和学时的限制，从必要性和可行性动身，我们设计数学试验课内容的根本原则是：1. 介绍一些最常用的解决实际问题的数学方法，包括数值计算、优化方法、数理统计的根本原理和主要算法，一般不讲定理的证明，根本不做笔头练习；2. 选择一两个适宜的数学软件平台，如 MATLAB 和 LINGO，根本上能够便利地实现上述内容的有效算法；3. 用数学建模为线索贯穿整个课程，从建模初步练习开头，以建模综合练习完
3、毕， 对上述每一局部内容也尽量从实际问题引入，并落实于这些问题的解决；4. 最主要的是细心安排学生的试验，每个试验的内容除了为把握数学方法设计的纯计算题目外，要有足够的、经过简化的实际题目。这样的内容设计既保证本科生学到比较广泛、有应用意义的数学学问，以及初步的分析、解决实际问题的思路与方法，又为那些要求把握更深入的数学理论和方法的学生，供给了很多实际背景，也刺激了他们再学习的愿望。这样做还特别有利于争论型大学实行的“本硕贯穿”，数学试验课既为争论生的数学课如数值分析、数学规划、高等数值分析、高等统计等做了根本学问和实际背景的铺垫，又与这些课程在内容和要求上有较大的区分，形成明显的阶梯。课程根
4、本要求如下：1) 了解主要内容的根本原理；2) 知道主要内容的有效算法；3) 会用 MATLAB或 LINGO软件实现这些有效算法；4) 能对计算结果作简洁分析；5) 能对简化实际问题建模、求解和分析。课程的教学方式和教学进度针对数学试验课需要学问面广、实例多、计算方法与软件实现相互穿插等特点，课堂讲授宜承受多媒体课件，可以做到实例生动、信息量大、便于承受。数学试验是实践性很强的课程，课堂讲授只起辅导作用，需要细心安排学生自己做的试验，充分保证上机时间，对试验报告提出严格、合理的要求。学时安排为： 本课程共安排 15 章，教师每周讲授 1 章3 学时，至少需要 45 学时。清华大学每学期上课时
5、间为 16 周，其中一般有一周因节假日放假，因此安排 15 周上课。课下计算机试验按大约 60 学时设计，学生至少需完成 10 个试验报告，每个试验通常既有计算题，也有应用题，几乎都要用计算机和数学软件完成，并且全部试验报告都用校园互联网提交给教师或助教，作为寻常成绩的主要依据。期末考试完全开卷，在计算机试验室进展。课程总成绩由寻常成绩、考试成绩等综合评定。每周根本内容和要求第 1 章 试验 1：数学试验简介了解什么是数学试验及其特点；介绍数学试验实例；介绍数学软件、练习 Matlab 的根本使用方法。第 2 章 试验 2：数学建模初步通过实例了解数学建模的一般步骤;在以后的数学试验中用数学建
6、模方法解决经过简化的实际问题; 自觉培育用数学方法解决实际问题的意识和力量。第 3 章 试验 3： 插值与数值积分插值问题提法和求解思路; Lagrange 插值的原理和优缺点;分段线性和三次样条插值的原理和优缺点; 用 MATLAB 实现分段线性和三次样条插值;梯形、辛普森积分公式的原理及 MATLAB 实现； 数值积分公式的误差收敛阶的概念；高斯积分公式、代数精度的概念； 广义积分与多重积分；用插值和数值积分解决简洁的实际问题。第 4 章 试验 4：常微分方程数值解了解数值微分的根本概念和计算方法；欧拉方法的原理及龙格-库塔方法的思路； 局部截断误差和精度的概念；龙格-库塔方法的 MATL
7、AB 实现，包括求解微分方程组和高阶微分方程； 算法的收敛性、稳定性与刚性方程；用微分方程解决简洁的实际问题。第 5 章 试验 5： 线性代数方程组的数值解法主元素消去法和 LU 分解的原理；方程组病态、向量和矩阵范数、条件数的概念； 迭代法的原理以及收敛的概念和条件；用 MATLAB 解线性代数方程组，稀疏矩阵的处理； 用线性代数方程组解简洁的实际问题。第 6 章 试验 6：非线性方程的数值解法迭代法原理及收敛、收敛阶的概念和条件；用牛顿切线法和割线法解非线性方程和方程组的根本原理; 用 MATLAB 解非线性方程组;非线性迭代法差分方程与混沌现象； 用非线性方程组解简洁的实际问题。第 7
8、章 科学计算中的根本概念小结及期中习题课 科学计算中误差的根本概念；科学计算中的三个重要概念：收敛性、病态性、稳定性； 期中小结及习题课。第 8 章 试验 7： 无约束优化无约束优化模型及最优解的必要条件； 最速下降法、牛顿法、拟牛顿法的原理；拟合问题提法及最小二乘法的原理和结果; 最小二乘问题的解法；MATLAB 优化工具箱的用法，包括掌握参数的功能，算法选择等；用无约束优化包括线性、非线性最小二乘拟合解决简洁的实际问题。第 9 章 试验 8：线性规划线性规划模型、解的性质和求解思路(基矩阵、基变量、非基变量、检验数，单纯形算法)；线性规划的敏感性分析和对偶问题；用 MATLAB 解线性规划
9、，拉格朗日乘子的用途；用 LINGO 解线性规划，拉格朗日乘子、Reduced Cost 检验数的含义； 用线性规划解决简洁的实际问题。第 10 章 试验 9：非线性规划非线性规划模型、最优解的必要条件(KKT 条件)； 二次规划的有效集方法；一般非线性规划的根本求解思路;用 MATLAB、LINGO 解非线性规划，包括掌握参数的功能； 用非线性规划解决简洁的实际问题。第 11 章：试验 10 整数规划整数规划模型、解的性质、松弛问题； 分枝定界法解整数规划的根本原理； 动态规划法解整数规划的根本原理； 用 LINGO 解整数规划；用整数规划解决简洁的实际问题。第 12 章 试验 11：数据的
10、统计描述与分析样本、频数、直方图、统计量样本均值、标准差的概念；正态等常用分布的由来，用 MATLAB 计算这些分布(密度、逆分布； 正态总体下样本统计量的分布；蒙特卡罗方法的原理及 MATLAB 实现以计算数值积分为例； 用概率统计的根本思想解决简洁的实际问题。第 13 章 试验 12：统计推断参数估量、置信区间、置信水平；假设检验的思路，单总体和两总体均值的检验，双边和单边检验； 用 MATLAB 实现参数估量和假设检验；实际问题的参数估量和假设检验。第 14 章 试验 13：回归分析回归分析要解决的问题与数据拟合的关系；多元线性回归模型和系数的检验, 及 MATLAB 实现；一元多项式、多元二项式回归, 逐步回归，非线性回归，及 MATLAB 实现； 用回归分析解决简洁的实际问题。第 15 章 试验 14：数学试验与数学建模综合综合应用各种方法，对实际问题建模、求解和分析介绍几个实例； 讲解习题作业中同学常常消灭的问题；总结本课程的主要内容、根本要求。如还有讲课学时，可机动处理，如讲解习题、综合练习等