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1、第一讲：第一讲：函数、极限和连续函数、极限和连续(一）函数一）函数 已知某种函数关系，求函数的表达式已知某种函数关系，求函数的表达式（1.5+1+2)设函数在上有定义，在区间上，若对任意的都满足，（1）写出在表达式；在 处，是否可导？（2）判断上的例例1：（：（：（：（94949494年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题）例例2：（：（：（：（91919191年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题年北京市竞赛题）设 是可导的函数，对于任意实数，有，且 ，求的表达式。练习练习：求求满满足方程足方程的的表达式，其中表达式，其中，为为任意任意实实数，且已知数，且已知。例例3：
2、设，求，。，判断函数具有某些性质：如有界性、周期性、奇判断函数具有某些性质：如有界性、周期性、奇偶性以及单调性偶性以及单调性(各个的一般性结论)判断函数在内有界：常利用在内连续，且，存在，则有界。(二）极限二）极限 重要的结论重要的结论思考题：（思考题：（0606考研考研）保号性保号性 求极限的几种重要方法求极限的几种重要方法1 1、利用极限的四则运算法则、利用极限的四则运算法则2、利用连续函数的性质、利用连续函数的性质例例5：设设在点在点处连续处连续，且，且，求，求。3、利用两个重要极限公式、利用两个重要极限公式例例4：（：（9898北京市竞赛题北京市竞赛题）例例例例6 6：4、利用等价无穷
3、小代换简化计算、利用等价无穷小代换简化计算（常见的等价无穷小和用法注意）（常见的等价无穷小和用法注意）例例例例8 8：例例9 9：（哈工大哈工大2 2届竞赛题届竞赛题）5、利用洛必达法则、利用洛必达法则（用之前三种方法考虑）（用之前三种方法考虑）例例11：（：（0808考研考研）求极限求极限例例10：(9797考研考研)求极限求极限例例7：（：（0202考研考研）设设常数常数，则则_例例12：0909年全国竞赛题年全国竞赛题，其中是给定的正整数。思考思考题题：0909年年考研题考研题求极限求极限例例13：9595年北京市竞赛题年北京市竞赛题6、利用左、右极限、利用左、右极限（哪些特殊函数用左右
4、极限）（哪些特殊函数用左右极限）例例14：例例15：7、利用无穷小量的性质、利用无穷小量的性质例例16：思考题：思考题：不存在不存在例例17：8、利用夹逼准则、利用夹逼准则9、利用单调有界准则、利用单调有界准则例例18：设设 为为正数，求正数，求思考题：思考题：1.设设 则则例例19：（：（0606年考研题年考研题）设设数列数列 满满足足（1）证明：）证明：存在，并求该极限；存在，并求该极限；（2）计算）计算1 例例20：（8888北京市竞赛题北京市竞赛题）设求证存在，并求其值10、利用极限的定义求极限、利用极限的定义求极限11、利用泰勒公式、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定）（复习公
5、式及展到哪一项的确定）例例21：练习练习：思考思考题题：（：（国外高校竞赛题国外高校竞赛题）12、利用拉格朗日中值定理、利用拉格朗日中值定理例例22：例例23：13、利用定积分性质和积分中值定理、利用定积分性质和积分中值定理（略讲）（略讲）例例24：（：（9393北京市竞赛北京市竞赛）14、利用定积分的定义、利用定积分的定义（略讲）（略讲）15、利用函数极限与数列极限的关系求极限、利用函数极限与数列极限的关系求极限例例27：（9999年北京市竞赛年北京市竞赛）例例26：求求例例25：求求练习练习：求求16、利用级数收敛的必要条件（、利用级数收敛的必要条件（11章）（略）章）（略）例例28：（：
6、（0000北京市竞赛北京市竞赛）_利用极限运算进行无穷小量阶的比较利用极限运算进行无穷小量阶的比较 例例29：（：（0101考研考研）设设当当时时，是比是比高高阶阶无无穷穷小，而小，而是比是比高高阶阶的无的无穷穷小，小，则则正整数正整数等于（等于（）17、要注意变量代换的应用、要注意变量代换的应用例例30：（：（9797考研考研）设设当当时时，与与为为同同阶阶无无穷穷小量，小量，则则为为（）已知极限，来确定未知的东西已知极限，来确定未知的东西（往往利用什么）（往往利用什么）例例31：（：（0808考研考研）已知已知连续连续，且，且，则则_例例32：（：（0606考研考研）试试确定确定值值，使得
7、，使得其中其中是当是当时时，比，比高高阶阶的无的无穷穷小。小。例例33：（：（0101考研考研）已知已知在在内可内可导导，且，且，求，求的的值值。例例34：（：（9494考研考研），其中，其中，则则必有（必有（）例例35：设设在在的某的某邻邻域内二域内二阶阶可可导导，且，且求求，及及设设在在的某的某邻邻域内二域内二阶阶可可导导，且，且，求，求，.9595北京市竞赛题北京市竞赛题思考题：思考题：思考题思考题：设设求求a,b的值的值 利用极限求曲线的渐近线利用极限求曲线的渐近线（方法）（方法）例例36：（：（9494考研考研）曲线的渐近线有（）(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条B例例3
8、7：（：（9898考研考研）曲线的渐近线的方程 .(三）连续三）连续 判定函数在一点的连续性判定函数在一点的连续性（方法（方法3）找函数的间断点及判断其类型找函数的间断点及判断其类型（找的方法及类型的判别（找的方法及类型的判别）例例38：（：（03考研）考研）设函数设函数问：问：a为何值时，为何值时，在在 处连续，处连续，a为何值时，为何值时，是是 的可去间断点。的可去间断点。关于闭区间上连续函数的性质的证明题关于闭区间上连续函数的性质的证明题（放到中值定理部分）（放到中值定理部分）例例39：（：（0404考研考研）设设试补充定义试补充定义 ，使得，使得 在在 上连续上连续例例40：设设 连续
9、，求连续，求a,b.例例41：（：（0101考研考研）求极限求极限 ，记此极，记此极限为限为 ，求函数，求函数 的间断点并指出其类型。的间断点并指出其类型。例例42：（：（0707考研考研）函数函数 在在 上上第一类间断点是第一类间断点是x=()(A)0 (B)1 (C)(D)例：（例：（2003年考研年考研题题），其，其导导数在数在处连续处连续，则则的取的取值值范范围围是是_设设例：已知例：已知，且，且 ，求求并写出它的定并写出它的定义义域（域（88年考研，年考研，90年北理年北理竞竞）例：（例：（例：（例：（0404年考研年考研年考研年考研题题题题）备用题备用题练习：练习：若把 换成 。（9696年考研题年考研题）例：设，证明：数列存在极限，并求 。