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1、10.2 一阶微分方程一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 一阶方程的初值问题的数学模型为 根据方程本身的特点，一阶方程又可分为：一阶微分方程是最简单的方程.求解的方法主要是采用初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题.1一一.变量可分离的方程变量可分离的方程 形如 f(y)dy=g(x)dx 的一阶方程方程,称为变量已分离的方程.形如 y=f(x)g(y)的一阶方程方程,称为变量可分离的方程.设 g(y)0,则方程 可写成变量已分离的方程 若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分,得 就为变量可分离方程的通解.其中c为任意常数.2例例2 2 求方程 y=2xy 的通解.解解 分
2、离变量,得两边积分，得于是原方程的通解为例例3 3 求方程的特解.满足初始条件 解解 分离变量,得 两边积分，得于是原方程的通解为3又将初始条件 故满足初始条件的特解为代入通解中,得 例例4 已知需求价格弹性为 =-1/Q2,且当 Q=0 时,p=100.试求价格p与需求Q的函数关系 p=f(Q).解解 由需求价格弹性的定义,有 这是变量可分离的方程,移项化简，得两边积分,得4即又将初始条件Q=0 时,p=100代入上式,得 c 1=100 故需求函数为二二.可化为变量可分离的方程可化为变量可分离的方程1.齐次方程的一阶方程，称为齐次微分方程,简称形如齐次方程.引入新的变换就可将齐次方程化为变
3、量可分离的方程.5分离变量,得 若 u-f(u)0,两端积分,得 于是,得 将变量还原,便可得原方程的通解.例例5 5 求方程的通解.解解 令代入原方程,得 则得6分离变量,得 两端积分,得 例例6 求方程的通解.解解 将方程恒等变形 则得7代入原方程,得 分离变量,得 两端积分,得 8三三.一阶线性微分方程一阶线性微分方程 形如 y+p(x)y=q(x)的方程，称为一阶线性微分方程.若 q(x)=0,则称方程 y+p(x)y=0 为一阶齐次线性微分方程若 q(x)0,则称方程 y+p(x)y=q(x)为一阶非齐次线性微分方程.1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y+p(x)y=0 是变量可
4、分离的方程,其通解为 其中c为任意常数.92.一阶非齐次线性微分方程的通解的解,但其中的 c 为 x 的待定函数.将 y与y代入方程 y+p(x)y=q(x),并整理,得一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=q(x)是齐次方程的一般情况.我们可以设想非齐次线性微分方程有形如两端积分,得10于是,一阶非齐次线性微分方程的通解为 注注1 1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式.它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解相加而成的.这也是线性微分方程解的一个性质解的一个性质.注注2 2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为待定函数c(x),使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x)
5、,从而得到非齐次线性方程通解的方法称为“常数变易常数变易法法”.是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.11例例7 7 求方程解解 将方程改写为 的通解.先求齐方程的通解 分离变量,得 两端积分并整理,得齐方程的通解 用常数变易法求非齐次线性方程的通解 12故原方程的通解为 y=(ex+c)(x+1)2 将 y与y代入方程,并整理,得两端积分,得 例例8 8 求方程(sin2y+xcoty)dy=dx 的通解及满足初始条件 y|x=1=/2 的特解.解解 将方程改写为 所以由非齐次线性方程的通解公式,得13将初始条件 x=1,y=/2 代入上式,得 c=1故满足初始条件的特解为 x=siny(
6、1-cosy)143.贝努里方程 (n0,1)的方程称为贝努里方程.这种方程，虽然不是线性的，但是采用变量变换的方法，就可将其化为一阶线性方程.事实上,在方程的两端同除以 ,得 形如利用微分的性质,方程也可写成 15 求出此方程的通解，并将变量代回 ，便可得到贝努里方程的通解.例例9 9 求方程 y=xy+x3y2 的通解.解解 将方程改写为 所以由非齐次线性方程的通解公式,得1617*例例1010 设可微函数 f(x)满足 解解 为了求 f(x)在等式两端同时求导,得 求 f(x).这是关于未知函数 f(x)的一阶方程，且 f(2)=1 令 y=f(x)，得 所以由非齐次线性方程的通解公式,得1819