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1、 第第 八八 章章 假假 设设 检检 验验 假假 设设 检检 验验 的的 基基 本本 概概 念念 第第 一一 节节假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题这类问题称作假设检验问题.总体分布已知，总体分布已知，检验关于未知参数检验关于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问题假设检验问题 在在本本讲讲中中，我我们们将将讨讨论论不不同同于于参参数数估估计计的的另另一一类类重重要要的的统统计计推推断断问问题题.这这就就是是根根据据样样本本的的信信息息检检验验关关于于总总体体的的某某个个假假设设是是否否正确正确.让我们先
2、看一个例子让我们先看一个例子.我们主要讨论对参数的假设检验我们主要讨论对参数的假设检验.生产流水线上罐装可生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱乐不断地封装，然后装箱外运外运.怎么知道这批罐装怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？可乐的容量是否合格呢？例例1罐装可乐的容量按标准应在罐装可乐的容量按标准应在245毫升和毫升和255毫升之间毫升之间.通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查.正常情况下，总体正常情况下，总体，现在抽取了，现在抽取了4罐，其容量分别为罐，其容量分别为248，246，252，242,问系统问系统是否正常工作？是否正常工作？2.H0：(=
3、250)1.提出假设提出假设原假设原假设备择备择假设假设参数检验参数检验小概率事件原理：概率很小的事件在一次小概率事件原理：概率很小的事件在一次试验中不可能发生。试验中不可能发生。需预先给定需预先给定检验的显著性水平检验的显著性水平。接受域接受域 拒绝域拒绝域最后作出接受或拒绝原假设的结论。最后作出接受或拒绝原假设的结论。临界值临界值正常情况下，总体正常情况下，总体，现在抽取了，现在抽取了4罐，其容量分别为罐，其容量分别为248，246，252，242,问系统问系统是否正常工作？是否正常工作？(=0.05)2.4.由样本计算统计量的值并与临界值比较：由样本计算统计量的值并与临界值比较：H0：(
4、=250)1.提出假设提出假设3.根据给定的检验水平，查表确定临界值根据给定的检验水平，查表确定临界值5.下结论下结论:没有落入拒绝域，所以接受没有落入拒绝域，所以接受H0.即认为系统正常工作。即认为系统正常工作。假设检验中的两类错误假设检验中的两类错误以真为假以真为假以假为真以假为真H0为真为真实际情况实际情况决定决定拒绝拒绝H0接受接受H0H0不真不真第一类错误第一类错误正确正确正确正确第二类错误第二类错误奈曼奈曼皮尔逊皮尔逊(NeymanNeymanPearson)Pearson)提出了一提出了一个原则：个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指在控制犯第一类错误的概率不超过指定值定值
5、的条件下的条件下,尽量使犯第二类错误尽量使犯第二类错误 小小”。按这种法则做出的检验称为按这种法则做出的检验称为“显著性检显著性检验验”,称为显著性水平或检验水平。称为显著性水平或检验水平。例例2：某砖瓦厂生产砖的：某砖瓦厂生产砖的“抗断强度抗断强度”服从正态分服从正态分布布 ，现随机抽取，现随机抽取6块，测的平均抗断强块，测的平均抗断强度为度为31.13。检验这批砖的平均抗断强度是否小于。检验这批砖的平均抗断强度是否小于32.50(=0.05)。1.提出假设提出假设原原假设假设备选假设、对立假设备选假设、对立假设4.根据样本值，计算统计量的值，与临界值比较根据样本值，计算统计量的值，与临界值
6、比较5.下结论下结论2.选取统计量选取统计量3.根据给定的检验水平，查表确定临界值根据给定的检验水平，查表确定临界值单侧检验单侧检验下面我们用一例说明这个原则下面我们用一例说明这个原则.小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.这里有两个盒子，各装有这里有两个盒子，各装有100个球个球.一盒中的白球和红球数一盒中的白球和红球数99个红球个红球一个白球一个白球99个个另一盒中的白球和红球数另一盒中的白球和红球数99个白球个白球一个红球一个红球99个个小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子现从
7、两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球里是白球99个还是红球个还是红球99个？个？小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.我们不妨先假设：我们不妨先假设：这个盒子里有这个盒子里有99个白球个白球.现在我们从中随机摸出一个球，发现是现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时你如何判断这个假设是否成立呢？此时你如何判断这个假设是否成立呢？假设其中真有假设其中真有99个白球，个白球，摸出红球的概率只有摸出红球的概率只有1/100，这是小概率事件，这是小概率事件.这个例子中所使用的推理方法，可以称为这个例子中所使用的推理方法，可以称为小概率事件在一次试验中竟然发生了，
8、不能不小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作的假设使人怀疑所作的假设.带概率性质的反证法带概率性质的反证法不妨称为概率反证法不妨称为概率反证法.小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中基本上不会发生中基本上不会发生.在假设检验中，我们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为显显著性水平著性水平，用，用 表示表示.常取常取 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。单单 个个 正正 态态 总总 体体 参参 数数 的的 假假 设设 检检 验验第第 二二 节节1 1）、）、2 2已知的情形已知的情形-U U检验法检验法 对于假设对于假设 H H0 0：=0 0 H H
9、1 1：0 0,构造构造查表查表,计算计算,比较大小比较大小,得出结论得出结论一、单正态总体均值的假设检验一、单正态总体均值的假设检验例例1 1 某天开工时，需检验自动装包机工作是否某天开工时，需检验自动装包机工作是否正常。根据以往经验，其装包的重量在正常情正常。根据以往经验，其装包的重量在正常情况下服从正态分布况下服从正态分布 ,现抽测了九包，现抽测了九包，其重量其重量X X为为99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.599.5 102.1 100.5试问这天装包机工作是否正
10、常？试问这天装包机工作是否正常？说明：说明：(1)(1)H H0 0：=0 0 H H1 1：0 0 称为双侧称为双侧HTHT问题；而问题；而(2)(2)H H0 0：=0 0H H1 1：0 0(或或 0 0 或或 H H0 0：0 0 H H1 1：uuu2.33故拒绝原假设故拒绝原假设H0.落入拒绝域落入拒绝域解解:提出假设提出假设:取统计量取统计量拒绝域为拒绝域为 W:=2.33 （注：此时可能犯第一类错（注：此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过误，犯错误的概率不超过0.01.）例例3 3 正态分布正态分布N(4.55,0.11N(4.55,0.112 2).).某日测得某日测得5
11、 5炉铁炉铁水含碳量如下水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.4.37.如果标准差不变如果标准差不变,该日铁水的平均含碳该日铁水的平均含碳量是否显著偏低量是否显著偏低?(?(取取 =0.05=0.05)解解:得水平为得水平为 的拒绝域为的拒绝域为这里这里落入了拒绝域。所以落入了拒绝域。所以拒绝拒绝H0即即认为该日铁水的平均含碳量显著偏低。认为该日铁水的平均含碳量显著偏低。例例4 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米毫米.实际生产的产品，其长度实际生产的产品，其长度X假定服从假定服
12、从正态分布正态分布 未知，现从该厂生产的未知，现从该厂生产的一批产品中抽取一批产品中抽取6件件,得尺寸数据如下得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格问这批产品是否合格?分析：这批产品分析：这批产品(螺钉长度螺钉长度)的全体组成问题的总体的全体组成问题的总体X.现在要现在要检验检验E(X)是否为是否为32.5.2 2、2 2未知的情形未知的情形-T T检验法检验法提出原假设和备择假设提出原假设和备择假设 (第一步第一步:)已知已知 X未知未知.(第二步第二步:)能衡量差异能衡量差异大小且分布大小且分布已知已知在在H0成立下取检验统
13、计量成立下取检验统计量(第三步第三步:)对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ，查表确，查表确定临界值定临界值得得拒绝域为拒绝域为即即|t|4.0322(第四步第四步:)将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 T 的实测值的实测值,（注：这并不意味着（注：这并不意味着H0一定对，只是差一定对，只是差异还不够显著异还不够显著,不足以否定不足以否定H0.）故不能拒绝故不能拒绝H0，而而接受接受H0 。没有落入拒绝域。没有落入拒绝域。(第五步第五步:)二、单正态总体方差的假设检验二、单正态总体方差的假设检验1)、假定、假定 已知已知-双边检验双边检验:提出假设提出假设得水平为得水平为 的拒绝域
14、为的拒绝域为P213例例8.2.32)、假定、假定 未知未知-双边检验双边检验:对于假设对于假设得水平为得水平为 的拒绝域为的拒绝域为例例5:某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量服从正态分布，其方差为服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测。在某段时间抽测了了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？情况下的方差有无显著差异？(显著水平为显著水平为0.05)。4.根据样本值，计算统计量的值，与临界值比较根据样
15、本值，计算统计量的值，与临界值比较5.下结论下结论2.选取统计量选取统计量3.根据给定的检验水平，确定临界值根据给定的检验水平，确定临界值1.提出假设提出假设设设保保险险丝丝的的融融化化时时间间服服从从正正态态分分布布，取取9 9根根测测得得其其熔熔化化时时间间（minmin）的的样样本本均均值值为为62,62,标标准准差差为为 10.10.(1)(1)是是否否可可以以认认为为整整批批保保险险丝丝的的熔熔化化时时间间服服从从N(60,9N(60,92 2)?()?(=0.05)=0.05)(2)(2)是是否否可可以以认认为为整整批批保保险险丝丝的的熔熔化化时时间间的的方方差显著大于差显著大于7
16、070?(?(=0.05)=0.05)(2)X2=11.4215.507,认为方差不显著大于70 答:(1)|t|=0.62.306,接受 ;2.18X2=9.8771.3304,T=1.861.3304,故拒绝故拒绝H H0,0,认为甲认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著。安眠药比乙安眠药疗效显著。上题中上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?两样本独立两样本独立,给定检验水平给定检验水平 ,由观测值由观测值二、双正态总体方差的假设检验二、双正态总体方差的假设检验1).在假设在假设H0成立的条件下，由由p(Fp(FFFFF/2/2(n(n1 1,n,n2
17、2)=)=F1/2F/2得拒绝域得拒绝域F FFFFF/2/2(n(n1 1,n,n2 2)2).在假设在假设H0成立的条件下，p(Fp(FFFFF/2/2(n(n1 1 1,n1,n2 2 1)=1)=得拒绝域得拒绝域F FFFFF/2/2(n(n1 1 1,n1,n2 2 1)1)F1/2F/2而对应的单边问题而对应的单边问题拒绝域为拒绝域为FFFF(n(n1 1 1,n1,n2 2 1)1)F FFF1 1(n(n1 1 1,n1,n2 2 1)1)拒绝域为拒绝域为 例例3 为比较两台自动机床的精度，分别取容为比较两台自动机床的精度，分别取容量为量为10和和8的两个样本，测量某个指标的尺
18、的两个样本，测量某个指标的尺寸寸(假定服从正态分布假定服从正态分布)，得到下列结果：，得到下列结果：在在 =0.1时，时，问这两台机床是否有同样的问这两台机床是否有同样的精度精度?车床甲：车床甲：1.08,1.10,1.12,1.14,1.15,1.25,1.36,1.38,1.40,1.42车床乙：车床乙：1.11,1.12,1.18,1.22,1.33,1.35,1.36,1.38解解:假设假设 其中其中 为两样本的样本方差为两样本的样本方差取统计量取统计量 得拒绝域为得拒绝域为W:或或由由p(Fp(FFFFF/2/2(n(n1 1 1,n1,n2 2 1)=1)=由样本值可计算得由样本值
19、可计算得F的实测值为的实测值为:查表得查表得由于由于 0.3041.513.68，故接受故接受H0 .F=1.51注注:这时可能犯第二类错误这时可能犯第二类错误.单总体单总体条件假设接受域2已知已知 2未知未知已知已知未知未知双总体双总体条件假设接受域 其它情况可参看书上表其它情况可参看书上表，否定域请自己否定域请自己写出写出.注意：我们讨论的是注意：我们讨论的是正态总体正态总体均值和均值和方差的假设检验，或样本容量较大，可用方差的假设检验，或样本容量较大，可用正态近似的情形正态近似的情形.下面我们对本讲内容作简单小结下面我们对本讲内容作简单小结.提出提出假设假设 根据统计调查的目的根据统计调
20、查的目的,提出提出原假设原假设H0 和备选假设和备选假设H1作出作出决策决策抽取抽取样本样本检验检验假设假设 对差异进行定量的分析，对差异进行定量的分析，确定其性质确定其性质(是随机误差是随机误差还是系统误差还是系统误差.为给出两为给出两者界限，找一检验统计量者界限，找一检验统计量T，在在H0成立下其分布已知成立下其分布已知.）拒绝还是不能拒绝还是不能拒绝拒绝H0显著性显著性水平水平P(T W)=-犯第一犯第一类错误的概率，类错误的概率，W为拒绝域为拒绝域总总 结结在大样本的条件下，若能求得检验统计量的在大样本的条件下，若能求得检验统计量的极限分布，依据它去决定临界值极限分布，依据它去决定临界
21、值C.F 检验检验 用用 F分布分布一般说来，一般说来，按照检验所用的统计量的分布按照检验所用的统计量的分布,分为分为U 检验检验 用正态分布用正态分布t 检验检验 用用 t 分布分布检验检验用用分布分布 按照对立假设的提法按照对立假设的提法，分为，分为单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧单侧检验，它的拒绝域取在左侧或右侧.双侧检验，它的拒绝域取在两侧双侧检验，它的拒绝域取在两侧;练习练习：设某厂生产一种灯管：设某厂生产一种灯管,其寿命其寿命X N(X N(,200,2002 2),),由以往经验知平均寿命由以往经验知平均寿命 =1500=1500小时小时,现采用新工艺现采用新工艺后后,在所生产
22、的灯管中抽取在所生产的灯管中抽取2525只只,测得平均寿命测得平均寿命16751675小时小时,问采用新工艺后问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)=0.05)解解:这里这里从而拒绝从而拒绝H H0 0练习练习某地某年高考后随机抽得某地某年高考后随机抽得15名男生、名男生、12名名女生的物理考试成绩如下：女生的物理考试成绩如下：男生：男生：49 48 47 53 51 43 39 57 56 46 42 44 55 44 40女生：女生：46 40 47 51 43 36 43 38 48 54 48 34从这从这27名学生的成绩能说明这个地区男女生的名
23、学生的成绩能说明这个地区男女生的物理考试成绩不相上下吗物理考试成绩不相上下吗?(显著性水平为显著性水平为0.05)练习练习 有甲乙两种机床有甲乙两种机床,加工同样产品加工同样产品,从这两台机床从这两台机床加工的产品中加工的产品中 随随 机机 地地 抽抽 取取 若若 干干 产品产品,测得产品测得产品直径为直径为(单位单位:mm):mm):甲甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.19.9.乙乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲假定甲,乙两台机床的产品直径都服从正态分布乙两台机床的产品直径都服从正态分布,试比试比较甲较甲,乙两台机床加工的精度有无显著差异乙两台机床加工的精度有无显著差异?(?(=0.05=0.05)从而接受从而接受H H0 0拒绝域拒绝域为为F F F F1 1 0.0250.025(7,6)=1/5.12=0.1953(7,6)=1/5.12=0.1953或或F F F F0.0250.025(7,6)=5.7(7,6)=5.7解解:这里这里: