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1、2002 年 第 17 卷 第 1 期 电 力 学 报 Vol.17 No.1 2002(总第 58 期)JOURNAL OF ELECT RIC POWER (Sum.58)文章编号:1005-6548(2002)01-0004-03开环零极点对消情况下的闭环系统稳定性判别X尤小军1(11 山西大学工程学院,山西 太原 030013)Distinguishing Closed-loop System Stability inthe Condition of Open-loop Pole-zero CancellationYOU Xiao-jun1(11Engineering College
2、of Shanxi University,Taiyuan 030013,China)摘 要:针对开环传递函数出现零极点对消情况时如何进行闭环系统的稳定性判别作出了全面的分析阐述,给出了开环零极点在所有可能的对消情况下闭环系统的稳定性判别方法。关键词:传递函数;零极点对消;外部稳定性;内部稳定性中图分类号:TP13 文献标识码:AAbstract:Howto distinguish the stability ofclosed-loop system is analyzed and expounded whenpole-zero cancellation takes place in the o
3、pen-looptransfer function,and methods of distinguishing thestability of closed-loop system under various situa-tions of open-loop pole-zero cancellation are provided.Key Words:transfer function;pole-zero cancella-tion;external stability;internal stability引 言在对线性定常闭环系统进行稳定性判别分析时,通常是针对闭环系统的开环传递函数应用奈魁斯
4、特(Nyquist)稳定判据或针对闭环特征方程应用劳斯)赫尔维茨(Routh-Hurwitz)稳定判据来判稳。一般来说开环传递函数不会出现零极点对消情况,这时进行闭环稳定性判别不存在困难和问题。但当开环传递函数分子分母中包含有公因子,则相应的开环零点和开环极点将出现对消,在这种情形下应用上述两种判稳的方法可能会得出不正确的结论 1、2。这就提出了一类问题:在出现了开环零极点的各种对消情况下如何进行闭环系统的稳定性判别?分析清楚问题的类型和实质,掌握对应的解决方法,不论对自动控制领域的教与学还是工程实际应用都具有重要的意义。1 无开环零极点对消情况时闭环系统稳定性判别典型闭环系统结构如图 1 所
5、示。图 1 典型闭环系统结构图G(s)=KGNG(s)DG(s)前向通道传递函数。X收稿日期:2002-01-18 作者简介:尤小军(1956-),男,河北高阳人,山西大学工程学院教授,从事电力传动控制系统方面的研究。式中:KG)常系数;NG(s)前向通道传递函数分子多项式(前向零点因子),为 p 次;DG(s)前向通道传递函数分母多项式(前向极点因子),为 q 次。H(s)=KHNH(s)DH(s)反馈通道传递函数。式中:KH)常系数;NH(s)反馈通道传递函数分子多项式(反馈零点因子),为 r 次;DH(s)反馈通道传递函数分母多项式(反馈极点因子),为 s 次。G(s)H(s)=KGKH
6、NG(s)NH(s)DG(s)DH(s)开环传递函数。式中:NG(s)NH(s)开环传递函数分子多项式(开环零点因子),为 p+r=m 次;DG(s)DH(s)开环传递函数分母多项式(开环极点因子),为 q+s=n 次;且 n m.当开环传递函数无零极点对消时,闭环传递函数为GB(s)=G(s)1+G(s)H(s)=KGNG(s)DG(s)1+KGKHNG(s)NH(s)DG(s)DH(s)=KGNG(s)DH(s)DG(s)DH(s)+KGKHNG(s)NH(s)(1)显然闭环传递函数无零极点对消,则系统是由闭环传递函数完全表征的,闭环传递函数的特征多项式(即闭环传递函数的分母多项式)等于系
7、统特征多项式,闭环极点等于系统特征根3。需要特别指出的是在这种情况下开环传递函数的分母与分子之和就是闭环传递函数的特征多项式,若令其为零则是闭环系统的特征方程。众所周知,可以针对开环传递函数应用奈氏几何判据或劳斯)赫尔维茨代数判据进行闭环判稳。2 有开环零极点对消情况时闭环系统稳定性判别开环零极点对消共有四种情况,下面分别进行讨论分析。211 G(s)的零点与 G(s)的极点对消为分析简洁又不失一般性,设NG(s)=DG(s),则有闭环传递函数GB(s)=KGNG(s)DG(s)1+KGKHNG(s)NH(s)DG(s)DH(s)=KGDG(s)DH(s)1DH(s)+KGKHNH(s)2DG
8、(s)=KGDH(s)DH(s)+KGKHNH(s)(2)显然闭环传递函数有零极点对消情况1DG(s)/DG(s)2出现,系统是由闭环传递函数不完全表征。此时针对零极点对消后的开环传递函数应用几何判据或代数判据进行闭环系统的判稳是外部稳定性(BIBO 稳定性)的判稳问题 4。若要进行内部稳定性(渐近稳定性)的判稳则需将被对消的闭环极点因子 DG(s)考虑进来,若这两者都稳定,则闭环系统是内部稳定的,否则不是内部稳定的。线性定常系统外部稳定性与内部稳定性之间的关系是:外部稳定的不一定是内部稳定的;外部不稳定的一定是内部不稳定的;内部稳定的一定是外部稳定的;内部不稳定的不一定是外部不稳定的。212
9、 H(s)的零点与 H(s)的极点对消为分析简洁又不失一般性,设NH(s)=DH(s),则有闭环传递函数GB(s)=KGNG(s)DG(s)1+KGKHNG(s)NH(s)DG(s)DH(s)=KGNG(s)DH(s)1DG(s)+KGKHNG(s)2DH(s)=KGNG(s)DG(s)+KGKHNG(s)(3)显然闭环传递函数有零极点对消情况1DH(s)5第 1 期 尤小军:开环零极点对消情况下的闭环系统稳定性判别 /DH(s)2出现,系统是由闭环传递函数不完全表征。其判稳问题和判稳的方法与 211 中所述相同,不再赘述。213 G(s)的零点与 H(s)的极点对消为分析简洁又不失一般性,设
10、NG(s)=DH(s),则有闭环传递函数GB(s)=KGNG(s)DG(s)1+KGKHNG(s)NH(s)DG(s)DH(s)=KGNG(s)DH(s)1DG(s)+KGKHNH(s)2DH(s)=KGNG(s)DG(s)+KGKHNH(s)(4)显然闭环传递函数有零极点对消情况1DH(s)/DH(s)2出现,系统是由闭环传递函数不完全表征。其判稳问题和判稳的方法与 211 中所述相同。214 H(s)的零点与 G(s)的极点对消为分析简洁又不失一般性,设NH(s)=DG(s),则有闭环传递函数GB(s)=KGNG(s)DG(s)1+KGKHNG(s)NH(s)DG(s)DH(s)=KGNG
11、(s)DH(s)DG(s)DH(s)+KGKHNG(s)DG(s)=KGNG(s)DH(s)1DH(s)+KGKHNG(s)2DG(s)(5)显然闭环传递函数无零极点对消情况出现,系统是由闭环传递函数完全表征。注意这个结论与在 211、212、213 中所述三种不完全表征情况有所不同,在这种情况下系统的内部稳定性与外部稳定性是等价的4、5。另需注意的是:将式(5)与式(1)比较可知两种情况下虽然都是完全表征,但闭环传递函数的特征多项式不同,并且式(5)的特征多项式并不等于开环传递函数的分母与分子之和。由式(5)可知针对这种情况下的闭环判稳方法是:根据闭环传递函数分母多项式(而不是根据开环传递函
12、数的分母与分子之和)写出闭环特征方程式应用劳斯)赫尔维茨判据判稳,或将原典型闭环系统结 构(图 1)等效变换为全反馈系统结构(见图 2)。图 2 图 1 的等效全反馈系统结构图图 2 所示系统由两个环节串联组成,一个是原系统反馈通道传递函数的倒数 1/H(s),另一个是全反馈系统。只有当两个环节都稳定,原闭环系统才稳定;否则,原系统就不稳定。具体应用时先判别1/H(s)的稳定性(容易判断),后判别全反馈系统的稳定性(应用奈氏判据或劳斯)赫尔维茨判据均可),从而判别出原闭环系统的稳定性。3 结束语通过上述分析讨论可知,闭环系统的开环传递函数若出现零极点对消情况,将导致闭环传递函数可能出现两种情形
13、:闭环有零极点对消;闭环无零极点对消。由于第一种情形是不完全表征的,可应用 211、212、213 中介绍的判稳方法:即先判断外部稳定性,然后判断对消的闭环极点因子的稳定性,两者结合起来得出闭环系统外部稳定性和内部稳定性的判稳结论。由于第二种情形是完全表征的,可应用 214 中介绍的判稳方法得出闭环系统的判稳结论。参考文献:1 韩祯祥,于 渤等1 电力系统自动化 1 北京:电力工业出版社,198016412 绪方胜彦.现代控制工程.卢伯英,佟明安,罗维铭译.北京:科学出版社,1976125813 孙扬声,张永立,等1 自动控制理论1 北京:水利电力出版社,1986130 3214 郑大钟 1 线性系统理论 1 北京:清华大学出版社,19901121 12415 谢克明,刘文定,等1 现代控制理论基础1 北京:北京工业大学出版社,20001140 1411 责任编辑:张 炜6 电 力 学 报 2002年