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1、二项式定理引入课题引入课题 1.(1.(ab)2 2和和(ab)3 3展开后分别等于展开后分别等于什么？什么？(ab)2 2a2 22 2abb2 2，(ab)3 3a3 33 3a2 2b3 3ab2 2b3 3.2.2.对于对于ab，(ab b)2 2，(ab b)3 3，(ab b)4 4，(ab b)5 5等代数式，数学上统等代数式，数学上统称为称为二项式二项式，其一般形式为，其一般形式为(ab b)n n（nNnN*）.由于在许多代数问题中需要由于在许多代数问题中需要将它展开，因此，研究将它展开，因此，研究(ab b)n n展开后的展开后的表达式的一般结构，就是一个具有重要表达式的一
2、般结构，就是一个具有重要意义的课题意义的课题.探究（一）：探究（一）：二项式定理二项式定理 问题问题1 1：将将(ab b)2 2(ab b)()(ab b)按多按多项式乘法法则展开，每个括号内各取一项式乘法法则展开，每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项，根据分个数相乘得到展开式中的一项，根据分步计数原理，在合并同类项之前共有多步计数原理，在合并同类项之前共有多少项？其中不取少项？其中不取b b，取一个，取一个b b和一个和一个a，取，取二个二个b b的项数用组合数分别怎样表示？由的项数用组合数分别怎样表示？由此可得此可得(ab b)2 2的展开式是什么？的展开式是什么？(ab)2 (a
3、 b)(a b)a22abb2共有三项问题问题2 2：类似地，将类似地，将(ab b)3 3(ab b)(ab b)()(ab b)按多项式乘法法则展开，按多项式乘法法则展开，在合并同类项之前共有多少项？其中不在合并同类项之前共有多少项？其中不取取b b，取一个，取一个b b和二个和二个a，取二个，取二个b b和一个和一个a，取三个，取三个b b的项数用组合数分别怎样表示的项数用组合数分别怎样表示？由此可得？由此可得(ab b)3 3的展开式是什么？的展开式是什么？(ab)3(ab)(ab)(ab)共有四项a3 :a2b:同理，同理，ab2 有有 个；个；b3 有有 个；个；每个括号都不取每个
4、括号都不取b的情况有一种，即的情况有一种，即 种，种，相当于有一个括号中取相当于有一个括号中取b的情况有的情况有 种，种，所以所以a2b的系数是的系数是 所以所以a3的系数是的系数是问题问题3 3：在在(ab b)4 4(ab b)()(ab b)()(ab b)(ab b)的展开式中，有哪几种形式的项的展开式中，有哪几种形式的项？合并同类项之后各项的系数分别是什？合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数？由此可得么组合数？由此可得(ab b)4 4的展开式是的展开式是什么？什么？1 11 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 研究
5、(a+b)n的展开式n1.在在n=1,2,3,4时，研究时，研究(a+b)n的展开式的展开式.(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 n2.规律规律:n(1)展开式各项次数有什么特点？展开式各项次数有什么特点？(2)展开式各项系数有什么特点？展开式各项系数有什么特点？n n次齐次式次齐次式次齐次式次齐次式a a降次，降次，降次，降次，b b升次升次升次升次问题问题4 4：根据归纳推理，你能猜测出根据归纳推理，你能猜测出 (ab b)n n(nN(nN*)的展开式是什么吗？的展开式是
6、什么吗？问题问题5 5：如何证明这个猜想？如何证明这个猜想？定理的证明定理的证明如何求(a+b)n的展开式二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理二项式定理(1)每一项的系数每一项的系数(k=0,1,2,n)叫做该项的叫做该项的二项式系二项式系二项式系二项式系数数数数(2)叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项通项通项，表示第表示第k+1项项,记作记作T Tk k+1+1(ab)n的的二项展开式二项展开式二项展开式二项展开式,共有共有n n+1+1项项(3)若取若取a=1,b=x则得一个重要公式：则得一个重要公式：1、二项式系数规律、二项式系数规律2、指数规律、指数规律（1）各项的
7、次数均为）各项的次数均为n；（2）字母字母 a 的次数由的次数由n降到降到0，字母字母 b 的次数由的次数由0升到升到n.3、项数规律、项数规律二项展开式共有二项展开式共有n+1项项4、通项公式、通项公式二项式定理规律问题问题7 7：根据二项式定理，根据二项式定理，(1(1x)x)n n (nNnN*)等于什么？等于什么？问题问题8 8：(ab b)n n(nN(nN*)的展开式是什么的展开式是什么？经典范例经典范例 例例1 1 求求 的展开式的展开式.课堂检测课堂检测 课堂小结课堂小结 1.1.二项式定理是以公式的形式给出的二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式，其中一个恒等式，其中n n
8、是正整数，是正整数，a，b b可以可以任意取值，也可以是代数式任意取值，也可以是代数式.2.(2.(ab b)n n的展开式统一规定按的展开式统一规定按a的的 降幂排列，各项的系数与降幂排列，各项的系数与a，b b的取值有的取值有关，各项的二项式系数与关，各项的二项式系数与a，b b的取值无的取值无关关.3.3.二项展开式的通项二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具，但是研究二项展开式问题的重要工具，但需注意通项是表示二项展开式中的第需注意通项是表示二项展开式中的第 k k1 1项项.对于求展开式中某些特定的项，对于求展开式中某些特定的项，一般要分析通项中字母的幂指数来解决一般要分析通项中字母的幂指数来解决.