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1、第第2课时课时 奇偶性奇偶性 单调性单调性 最值最值1.4.2 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 1.1.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性；2.2.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间出的三角函数单调区间.1.1.请回答：什么叫做周期函数？请回答：什么叫做周期函数？2.2.正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？正弦函数、余弦函数是否是周期函数？周期是多少？最小正周期是多少？最小正周期是多少？对于函数对于函数 ，如果存在一个非零常数，如果存
2、在一个非零常数T T，使得当，使得当 取定义取定义域内的每一个值时，都有域内的每一个值时，都有 ，那么函数，那么函数 就就叫做周期函数，非零常数叫做周期函数，非零常数T T就叫做这个函数的周期就叫做这个函数的周期.正弦函数、正弦函数、余弦函数都是周期函数，余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是都是它的周期，最小正周期是 .3.3.函数的周期性对于研究函数有什么意义？函数的周期性对于研究函数有什么意义？对于周期函数，如果我们能把握它的一个周期内的情况，对于周期函数，如果我们能把握它的一个周期内的情况，那么整个周期内的情况也就把握了那么整个周期内的情况也就把握了.这是研究周期函数的这是研
3、究周期函数的一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数一个重要方法，即由一个周期的情况，扩展到整个函数的情况的情况.1.1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？xyo-1234-2-31正弦曲线关于原点正弦曲线关于原点o o对称对称yxo-1234-2-31余弦曲线关于余弦曲线关于 轴对称轴对称一一.奇偶性奇偶性为为奇奇函数函数为为偶偶函数函数2.2.从解析式出发，你有什么发现？从解析式出发，你有什么发现？为为奇奇函数，（函数，（0,0）对称点。还）对称点。还有没有其它对称点？有没有其它对称点？2.2.从图像出发，关于对称性你还有什
4、么发现？从图像出发，关于对称性你还有什么发现？为为奇奇函数，有没有对称轴？函数，有没有对称轴？余弦函数是偶函数，有没有对称点和对称轴余弦函数是偶函数，有没有对称点和对称轴？六、正弦、余弦函数的对称性六、正弦、余弦函数的对称性x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41yy=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=sinx的图象对称中心为：的图象对称中心为：y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为：y=cosx的图象对称中心为：的图象对称中心为：任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴(或对称中心或对称中心)的间距为半个周期；的间距为半个周期；对称轴与其相邻的对称中心的间距为
5、四分之一个周期对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（）解：经验证，当解：经验证，当时时为对称轴为对称轴练习练习2二、探究正弦函数在一个周期的区间上二、探究正弦函数在一个周期的区间上（如（如 ）的单调性的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。当当 在区间在区间上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。xyo-1234-2-31y=sinx3.3.正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的正弦函数有多少个增区间和减区间？观察正弦函数的各个增区
6、间和减区间，函数值的变化有什么规律？各个增区间和减区间，函数值的变化有什么规律？由由正弦函数得周期性可知正弦函数得周期性可知正弦函数有无数多个增区间和减区间正弦函数有无数多个增区间和减区间.在每个增区间，函数值从在每个增区间，函数值从 增大到增大到 ，在每个减区间，函数值从在每个减区间，函数值从 减小到减小到 .1、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数.3.3.正弦余弦函数的单调性正弦余弦函数的单调性函数函数若在指定区间任取若在指定区间任取 ，且且 ，都有：，都有：函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，
7、探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是减减函数函数.增函数：上升增函数：上升减函数：下降减函数：下降探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。xyo-1234-2-31y=sinx2.2.由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和由上面的正弦曲线你能得到哪些正弦函数的增区间和减区间？怎样把它们整合在一起？减区间？怎样把它们整合在一起？增区间：增区间：减
8、区间：减区间：周周期期性性 正弦函数在每一个闭区间正弦函数在每一个闭区间 上都是上都是增增增增函数，其值从函数，其值从-1-1增大到增大到1 1；在每一个闭区间在每一个闭区间 上都是上都是减减减减函数，其函数，其值从值从1 1减小到减小到-1.-1.4.4.余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？余弦函数可以得到怎样相似的结论呢？探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。曲线逐渐下降，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。当当 在区间在区间上时，上时，在每个区间在每个区间_上都是减函数，上都是
9、减函数，yxo-1234-2-31在每个区间在每个区间_上都是增函数，上都是增函数，其值从其值从_增大到增大到_其值从其值从_减小到减小到_正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 _时取得最大值时取得最大值_当且仅当当且仅当 _时取得最小值时取得最小值_三、最大值和最小值探究三、最大值和最小值探究xyo-1234-2-31余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 _时取得最大值时取得最大值_当且仅当当且仅当 _时取得最小值时取得最小值_三、最大值和最小值探究三、最大值和最小值探究yxo-1234-2-31x6o-12345-2-3-41y当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当四、正弦、余弦函数的最
10、值四、正弦、余弦函数的最值x6yo-12345-2-3-41练习练习P 40 练习练习21.1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:P40 练习练习函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性1-1时，时，时，时，时，时，时，时，增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数1-1对称轴对称轴：对称中心对称中心：对称轴对称轴：对称中心对称中心：奇函数奇函数偶函数偶函数例例3 3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出
11、取最大值、最小值时自变量值、最小值时自变量x x的集合，并说出最大值、最小值分别的集合，并说出最大值、最小值分别是多少是多少.解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.(1)(1)使函数使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合为的集合为 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为最大值为最大值为最小值为最小值为解：解：（2 2）令）令 ，由由 得，得，使函数使函数 取得最大值的取得最大值的的集合是的集合是因此使函数因此使函数 取得最大值的取得最大值的 的集合为的集合为最大值为最大值为3.3.想一想：想一想：最小值的最小值的 的集合怎么求？的集合怎么求？解：
12、解：同理使函数同理使函数 取得最小值的取得最小值的 的集合为的集合为最小值为最小值为-3.-3.例例4 4 根据函数单调性，比较下列各组数的大小：根据函数单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin()与与 sin()(2)cos()与与cos()解：解：（1 1）因为）因为又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数,sin()sin().所以所以解解:(2)(2)cos()=cos =cos cos()=cos =cos 因为因为cos cos 所以所以又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数 cos()cos().即即1.1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间观察正弦曲
13、线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间:P40 练习练习练习P40 练习1 3.3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少写出最大值、最小值各是多少.最大值为最大值为2 2最小值为最小值为-2-2答案：答案：（1 1）最大值为最大值为3 3最小值为最小值为1 1答案：答案：（2 2）3.3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少写出最大值、最小值各是多少.5.5.比较下列各组中两个三角函数值的大小：比较下列各组中两个三角函数值的大
14、小：例例5 5 求函数求函数 的单调递增区间的单调递增区间.解：解：令令函数函数 的递增区间是的递增区间是由由得得设设可得可得所以原函数的单调递增区间为所以原函数的单调递增区间为6.6.求函数求函数 的单调递减区间的单调递减区间.（补充）求函数（补充）求函数 的单调递增区间的单调递增区间.和和正弦函数、余弦函数的性质：正弦函数、余弦函数的性质：定义域定义域值域与最值值域与最值周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性函数函数y=sinxy=cosx图形图形定义域定义域值域值域最值最值单调性单调性奇偶性奇偶性周期周期对称性对称性1-1时，时，时，时，时，时，时，时，增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数1-1对称轴对称轴：对称中心对称中心：对称轴对称轴：对称中心对称中心：奇函数奇函数偶函数偶函数