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1、不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场应用数学和力学,第17卷第8期(1996年8月)AppliedMathematicsandMechanits应用数学和力学编委会编重庆出版社出版不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场7z卜.7z王振清史守峡(钱伟长推荐,1995华6月2目收到)弓z.鞠耍A.本文对平面应变情况下不可压缩橡胶类材科裂纹尖端弹性场进行了有限变形分析.裂纹尖端场被分为收缩区和扩张区.借助于新的应变能函数和变形模式,推出了尖端场各区的渐近方程.得到了尖端场的完整描述.本文对奇异性作了讨论.得到了不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力及应变分布曲线,揭示了裂纹尖端应力应变场的特性.关麓词橡胶类材
2、料塑里窭童塑_-梅脓一,弓应力应可压缩搀月青早期对裂纹问题的研究,是在线弹性理论范围内进行的,即假定应变为无限小.但是,这样得到的结果,应变在裂尖处具有奇异性.尽管奇异性包含有大变形区域,但对于一般的工程材料,人们仅仅考虑小变形区域.而对于能够承受大变形的橡胶类材料必须用非线性理论来分析奇异场的应力应变特性.Knowlos和Sfernberg对平面应变情况下的裂尖场给出了系统的分析.但他们的本构方程中有三个弹性常数,使溉近解变得十分复杂.同时,由于裂尖场没有分为收缩区和扩张区,因此必须引入高阶渐近.GaorA-个独立的不变量,然后给出了一个应变能函数U=a(R一3)+6(一J)71(1.1)从
3、方程(1.1),我们能够知道,应力被分成了静水应力局部和偏应力局部,因此它具有明显的物理意义.借助于这个本构理论,采用合理的分区思想,高玉臣等研究了一系列问题,取得了许多成果.最近,Gao又提出了一种新的应变能函数U=e(:一3)+(:l一3)(1.2)其中,e,为材料常数,为第一不变量,一l为,一1d一1:G(1.3)式中的d.1为Cauchy应变张量d的逆变张量,G为单位张量.本文将采用这一本构关系解决不可压缩橡胶类材料受拉伸作用时的有限变形问题.*黑龙江省自然科学基金资助工程1哈尔滨工程大学啥承滨150001王振蒲史守峡二,根本理论考虑一个兰维弹性体,在变形前和变形后一般物质点的位置向量
4、用P和P表示,设物质坐标为x(jl,2,3),那么两种局部标架为Pz=zPP=巩P(2.1)其中a;a/.定义变形梯度为F=p0P(2.2)P为Pr的逆变基,0为并矢符号,今后将省略不写,求和约定适用于本文.Green和Cauchy应变张量及其逆应变张量为D=F?F=(PJ?pJ)PP,d=F?F=(P?pJ)p(2.3)Dl=(F)?F一(P?P)PfP,dlF?(F)=(P?P,)plp.Z(2.4)式中上标r表示转置,上标一1表示逆.用G表示二阶单位张量,那么可引入如下不变量j=D:G;d:G,2=D:G=dlG,3一D.:G=d.;G(2.5)l=DllG=djlGf2.6)体应变为,
5、=(ji一3JlJ2+213)(2.7)由(1.2)式,我们能够求得Kirchhoff应力和aauchy应力为a=一朋eG一iD(2.8)11T=iF?口?Fi一2neId譬d一1(2.0)考虑无体力作用下的弹性体的平衡,那么平衡方程可写为FT=O(2.10)式中v=pZdf三,扩张区本文考虑平面应变情况下半无限体I型裂纹,如图l所示.对于二维问题,选择第三个坐标轴垂直于所考虑的平面.取(月,0)为Lagrange坐标,原点位于变形前的裂纹尖端.(r,0)为Euler坐标,原点位于变形后的裂纹尖端.显然,(r,口)是(月,0)的函数.由于裂纹尖端附近变形很大,因此我们假定裂纹尖端场是由三个区域
6、组成的.这三个区域是一个扩张区(称之为F医),两个收缩区(称之为区).假定变形前位于裂纹前方很狭窄的区域,变形后变得十分宽广,几乎充满整个圈1受力模型空间,这就是扩区;而位于扩张区两恻的区域,变形前极其宽广,几乎充满整个区域,变形不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场23后却变得十分狭窄,这就是收缩区.由于上下对称,我们仅仅考虑其上半局部.对于扩张区,设变形模式为=月p()10:詈一()鲫(口,>0)(3.1)J式中,卢,a为材料常数,00c,.为一非常小的正数.由(2.1)式可得扩张区的局部基矢量为pR=RP(1+)p一pe+aCPoe,p.=RP(pe,一pe.)(.?)式中.Or=P
7、re,=Q,pf3.3)将(32)代入(2.3)式,略去高阶量,井注意P?PB=1,PR?P6=Pe?PB=0,P.?P6=月f34)可得d=R(一)p.erer+Pee日-pp(e,eo+eef)】1,l=d:G=R(一,(f)(3.5)k=R()1式中(=p雎+p.,()=一(1+)卢L3.6)对于不可压缩材料,体应变l,即日=2卢,=1(37)同理可求得dl=Rp0,9erer+peeeJcPP.(e,e.+e?e)】,jl=d_llG=Il:月(f)(.,.)将上述各式代入(29)式,可得本构方程为T=2netR-2p.(p一P.肛)rer0一e?e)一2PP(ere?+e?ot)】(
8、3.9)因为7Ff7(3lO)日=月一-p+月一(1+1p】J将(3.9)式代入f2j0)式,经过极其复杂的推导可得一斋1一叫(州川式申A=2Pf12n)2(2nI)pi(3.12)由该问题的对称性可知,在=0上的点只有方向的位移,而无0方向的位移.根据(3.1)式,我们有边界条件(当=0)王振清史守蛱(0,一0,(0j/2(3.13)由问题本身我们知道,在fo.即z/2时有.(o.)=O(3.14)假设p1()和()是根本方程的一组解,贝jJ由【3.11),l3.12)式可知p():口.p1(),0()一.l(0f)(3.15)也是方程的解.因此,我们可以把口作为自由参数,在知道典型解p()
9、,.(f)后,通过变换(3.15)式,可以得到方程的其它解.的大小反映了场的强弱.我们取=1对应的解为典型解,即Pl(0)=1,来进行数值计算.因此可得另一边界条件.p(0)=1(3.16)通过调节(o)来满足方程(311),得到不同材料常数时的p,的变化曲线.四,收缩区设0o为一非常小的正常数,对于中的任一角度满足0.<,设变形摸式为r=R(0),=鲁一R(0),一z(4.1)式中材料常数d,v>o.可求得局部基矢量为pn=R(10)e一月eD,pe:尺,e一只妒,e|j(_.)同扩张区的推导一样,我们可以求得Cauchyd,不变量厶,体应变为,d=R呵,1月A,k=R.-B(月
10、?1)(4.3)式中百=/erer+月:De口e日-RC(ere口+e口er)(4.41(1一凸)+,B=(1一古)Ic=(1)+f?,D(.+)J对于不可压缩材料,一1,即=2d,B一Evec1d)=If4.6)同理我们可求得dI=R,一1一月A=Il(月?1)(4.71式中一J=De,e+月C(ere口+e神r)+AR一eDe口(4.8)代入本构方程(2.9)T=2neA一R()月一呵一月一1(4.9)同样由(4.1)式可求得;月一+vqR1=月一0A+(1一d)月一d口f?.j不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场从上式可见,当月O时,/r与月d具有相同的奇异性,记作1一只以=R-比拟平衡
11、方程(2.1O)中的两个式子,可知TP口r对于受拉情况下的裂纹问题,d和d一中Ieeee项必须是相互协调的.在(4.1)这样变形模式情况下,dl不起作用,即我们只能取一l0.T2ne.ARAer一只C(ereo+e8e,)+月*SDe.eBR->o时,r?,因此平衡方程(21o)的第一式简化为725f4.1l1(4.12)再由(4.I2)式可知,+r=0将t4.I4)式代(4i5)式,经过非常繁杂的推导后,可得最前方程为十(Id)1+2d(1一n)(1一d)=.由于裂纹外表为自由外表(0=),不受外力作用,故应有应力边界条件T88(一只()O.由(2.3),(2.9)可得p0=O,0=从
12、f4.2)式可知,下式可渐近地满足(4.18)式()=0.在00处,由收缩区在0时的方程与扩张区在foo时的方程相一致,界条件为f0)0五,数值分析与计算(4.13)(4.i4)(4.i9)即可得男一边(420)对于收缩区r最后控制方程为(4l6)式,边界条件为(4.19),(4.20)式,我们可以进行数值计算.计算结果说明,对不同的n值,有唯一确定的鄙,且6=l/2n.在计算中我们发现,无论(D)取什幺值,都不影响()一0,只是的艟不同而巴,囡此计算中为了方便,我们取(0)=1.图2给出了=2时,.的关系曲线.由变形模式,我们知道当foo时,/2.因此,收缩区在变形后几乎变成一条直线,而扩张
13、区在变形后那么几乎充满整个空间.所以,我们只需计算扩张区的应力,应变,实际上就是整个尖端场的应力,应变,只是应力,应变当日/2时不适用.将扩张区的应力(4.11)写成坐标r的函数一,;r一Tf朗2e关系曲螋卧726王振清史守姨可求得=28./(1+卢)f52)即T(0)=pf(1f5.3)同理我们可得(1=d()(5.4)式中=2卢/(1+f1)f5.5)这样,对于从0o.,我们就可以计算出与对应的应力T(),应变d(1.图3给出了n=2时的应力71(),应变d(1与变化的关系曲线.(a)田5Td目的关系曲战六,结论1.本文采用的新的一类橡胶材料的本构模型,尽管本构关系中只包含两项,但却能充分
14、反映材料的特性,因而得到台理的解答.而且,在研究奇异性场方面具有很大的优越性.2.对于不可压缩类橡胶材料,裂纹尖端场是由两个收缩区和一个扩张区组成.变形前几乎充满整个空间的收缩区,变形后却变得极为狭窄,几乎变成为一条线而变形前很狭窄的扩张区,变形后却变得十分宽大,几乎占满整个裂尖场周围.3.裂纹尖端各区具有相同的奇异性r,其中=2fln/(1+卢)在裂致外表(=)时,6=1/2n,6仅仅是材料常数的函数.参考文献theelasticfieldne8rthetipofacrack,.Elasticity.5(2)(1972),67108.staticfieldnearthetipofaCVack
15、,.Elaqticitg4(3),(1974).2O12333456f78】不可压缩橡胶类材料裂纹尖端应力应变场727YC.Gao.Elastostaticfieldnearthecracktipinarubberllkemedia了1ho一llcalandAppliedFractureMechanits,14(1990j.219201.ShiZhlfeiandGaoYuehen,Stressstrainfieldnearthenotehti口ofarubbPrsheet,ActaMechanlcaSinlca,11(2)(1995).169-177.T.S.Gao,Arubberwedgeu
16、ederthetensionofalineloadatitstip,C月Aead.Sc1.Paris,SerleI.518(1994).-6.TSGaoandY.C.Gao,Arubberwedgeunderthecompressionofa1ineload,Interna1.,.SolidsandSfractures.1(1994),2398-2406.Y.C.GaoandB.L;u.ArllbberconeunderthetensionofaCODcentr8tedf0rcP.Int.,.SolidsSlructures,2(11)(1995),1485一l493.王振渚.受拉情况下一类橡
17、胶材料缺口顶端犬变形分折,工学博士学位论文.哈尔滨工程大学(1994).StressStrainFieldneartheCrackTipofanIncompressRubberLikeMaterialWangZhenqingShiShouxia(HarbinEngineerlnoUniversity,Harbin150001,P.R.,China)AbstractThispaperconrainstinasymptoticfinire-deformationanalysisabouttheel8s.tostatiefieldnearthecraektipinanincompressrubber
18、-llkemateria1.Thecracktipfieldisdlvidedintotwonarrowingsectorsandoneexpandingsector.Bthenewstrainenergyfunctionanddeformationpattern,wederireandsolvetheasympLotc.quationsforeachsectorofthetipfield.Thesinga1arfrofthecrarktipfieldisdis:ussed.TheCdtVC:S0fstressstFainofthecraekLipfieldf0ranincompressrttbberlikematerialaregivenandfiedorainantbehaviors0fstressalldstrain11earthecraek-tiparerovealedKeywordsrubberllkematerialfinite-deformation,crack